Covers the various sections relating to Functions and Limits within the Advanced Mathematics programme.
Includes notes from the textbook, as well as additional class, video and research information, diagrams and practice questions.
Applicable to all IEB Grade 12s.
Functions and Limits
Split functions
= The function is defined by different rules over different parts of the domain
Example: x iff x ≥ 0
lxl =
-x iff x < 0
x - 1 if x < 0
Example:
f(x) = 1 if x = 0
x + 2 id x > 0
f(- 2) = (- 2) – 1 = -3
f(4) = 4 + 2 = 6
f(0) = 0
Domain: x ∈ R
Range: y ∈ (-∞ ; 1) ∪ (2 ; ∞) ∪ y = 1
f(x) = 3
. x=1
f(x) = - 3
. x=-2
f(x) = 0
. x = no solution
f(x) = 1
. x=0
f(x) = 2
. x = no solution
The graph has discontinuities.
,Composite functions
The composite function (f o g)(x) also called (“f circle g” or “ f of g”) is defined by
(f o g )(x) = f (g(x) )
Example: h(x) = 2x + 5 can be seen as a combination of 2 functions,
1. f(x) = 2x and g(x) = x + 5
1. g(f(x)) = g(2x) = 2x + 5
or
2. f(x) = x + 5 and g(x) = 2x
2. f(g(x)) = f(2x) = 2x + 5
Note: g(f(x)) = g(x + 5) = 2(x + 5) = 2x + 10, so f(g(x)) ≠ g (f(x))
Note: We are not limited to only 2 functions e.g. f(g(h(x)))
Domain of f o g :
- {x : x ∈ domaing and g(x) ∈ domainf }
- g(x) must be defined and must be such that f(x) can be applied to it
Example:
Determine f o g and g o f and find their domains if:
f o g = f(2x + 1)
. = (2x + 1)2 + 1
. = 4x2 + 4x + 1 + 1
. = 4x2 + 4x + 2
g o f = g(x2 + 1)
. = 2(x2 + 1) + 1
. = 2x2 + 2 + 1
. = 2x2 + 3
x∈R
f o g = f(x - 2)
. = √(x - 2)
g o f = g(√x)
. = √x - 2)
x≥0
, Limits
1 1 1 1
e.g. 2
+ 4 + 8 + … + 2𝑛
As the denominator gets bigger, the faction gets smaller.
The sum will never equal 1, but it will keep approaching 1.
It is therefore logical to assume that there must be a limit to the sum.
This can be written as:
Sn→1 as n→∞
. lim can never stand alone. One always finds the limit of something.
. x→a
e.g. 6x = 30 if x=5
. lim 6x
x →5
= 30
x is approaching 5, then 6x is approaching 30.
Example:
c
c
y=x
As x→c- then y = c
so lim f(x) = c = f(c)
. x→c-
As x→c+ then y = c
so lim f(x) = c = f(c)
. x→c+
so lim f(x) = lim f(x)
. x→c- x→c+
and it can be said that, lim f(x) = lim x = c = f(c)
. x→c x→c
If the limit of a function as x approaches from the left is the same as the limit of the function as x
approaches from the right, the limit exists and equals the function value for that particular x,
even if the function value is not part of the range of the function.
This leads us to the concept of discontinuity.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper KirstenBarbour. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,64. Je zit daarna nergens aan vast.
