Lecture 11 – Analysis of covariance
Interest in treatment effects (voorbeeld 1)
quantitative factor = covariance
ANCOVA:
-het gebruiken van extra informatie van een quantitative variabele x
(getallen), dat niet gebruikt wordt in het design.
- We voegen β1x toe aan het ANOVA model om te corrigeren voor verschillen
tussen x
model: yij = β0 + τ1 + β1xij + εij met εij ~ N(0, σ) independent, met τref = 0 (zelf
kiezen welke)
- Assumptions:
linear relationship between response y en covariate x
slope (β1) is the same for all treatments
testen door een full vs reduced model F test
covariate x does not depend on the treatments
β0 = mean yield voor τref = C at x = 0
β0 + τ2 = mean yield for F at x = 0
β0 + τ3 = mean yield for S at x = 0
Adjusted treatment means
y i, adj = y i - ^β 1( x i. - x ..) = ^β 0 + τ^ i + ^β 1 x .. voor elke i = 1,…, t
y 1, adj - y 2, adj = y 1 - y 2 - ^β 1( x 1. - x 2) = τ^ 1 - τ^ 2
F-test for treatment effects
H0 = geen treatment effects τi = 0
Full model vs reduced model
Full model:
- Intercept β0
- Treatment effects τi
- Coefficient β1 van x (3 lijnen -> zie voorbeeld)
Reduced model:
- Intercept β0
- Coefficient β1 van x (1 lijn)
Interest in x-effect(s) (voorbeeld 2)
- Linear model met quantitative en qualitative explanatory variables
interest in the relationship between variable y (response) and x
(explanatory of regressor)
x is nu ook van belang, niet alleen meer om de precisie te verhogen
Assume:
- relatie tussen y en covariabele x is linear
, Lecture 11 – Analysis of covariance
- slopes van covariabele mogen verschillen tussen treatments
interaction term tussen treatment en covariate
Parallel-lines model
model: yij = β0 + τ1 + β1xij + εij
Voordrug A: μy = β0 + β1x
- Intercept = β0
- Slope = β1
Voordrug B: μy = β0 + τ2 + β1x
- Intercept = β0 + τ2 -> τ2 is het verschil tussen de bovenste en onderste
lijn in de grafiek
- Slope = β1
Interaction: non parallel lines
model: yij = β0 + τ1 + β1xij + λixij + εij met τ1 = λ1 = 0, εij ~ N(0, σ) indep
Slopes/hellingen vergelijken met t-test
H0: λ2 = 0 vs Ha: λ2 ≠ 0
TS: t = ^λ 2/se( ^λ 2)
under H0 t~t(dfE)
under Ha t tends to larger of smaller values -> two tailed
uitkomst t =
p = … dus:
Slopes/hellingen vergelijken met F-test
H0: λ2 = 0 vs Ha: λ2 ≠ 0
TS: F = MSDrug*dose/MSE (zie voorbeeld)
under H0 F ~ F(df 1 = df interactie, df 2 = dfE)
Under Ha F tends to lager values (altijd)
Rechter P waarde
Interest in treatment effects (voorbeeld 1)
quantitative factor = covariance
ANCOVA:
-het gebruiken van extra informatie van een quantitative variabele x
(getallen), dat niet gebruikt wordt in het design.
- We voegen β1x toe aan het ANOVA model om te corrigeren voor verschillen
tussen x
model: yij = β0 + τ1 + β1xij + εij met εij ~ N(0, σ) independent, met τref = 0 (zelf
kiezen welke)
- Assumptions:
linear relationship between response y en covariate x
slope (β1) is the same for all treatments
testen door een full vs reduced model F test
covariate x does not depend on the treatments
β0 = mean yield voor τref = C at x = 0
β0 + τ2 = mean yield for F at x = 0
β0 + τ3 = mean yield for S at x = 0
Adjusted treatment means
y i, adj = y i - ^β 1( x i. - x ..) = ^β 0 + τ^ i + ^β 1 x .. voor elke i = 1,…, t
y 1, adj - y 2, adj = y 1 - y 2 - ^β 1( x 1. - x 2) = τ^ 1 - τ^ 2
F-test for treatment effects
H0 = geen treatment effects τi = 0
Full model vs reduced model
Full model:
- Intercept β0
- Treatment effects τi
- Coefficient β1 van x (3 lijnen -> zie voorbeeld)
Reduced model:
- Intercept β0
- Coefficient β1 van x (1 lijn)
Interest in x-effect(s) (voorbeeld 2)
- Linear model met quantitative en qualitative explanatory variables
interest in the relationship between variable y (response) and x
(explanatory of regressor)
x is nu ook van belang, niet alleen meer om de precisie te verhogen
Assume:
- relatie tussen y en covariabele x is linear
, Lecture 11 – Analysis of covariance
- slopes van covariabele mogen verschillen tussen treatments
interaction term tussen treatment en covariate
Parallel-lines model
model: yij = β0 + τ1 + β1xij + εij
Voordrug A: μy = β0 + β1x
- Intercept = β0
- Slope = β1
Voordrug B: μy = β0 + τ2 + β1x
- Intercept = β0 + τ2 -> τ2 is het verschil tussen de bovenste en onderste
lijn in de grafiek
- Slope = β1
Interaction: non parallel lines
model: yij = β0 + τ1 + β1xij + λixij + εij met τ1 = λ1 = 0, εij ~ N(0, σ) indep
Slopes/hellingen vergelijken met t-test
H0: λ2 = 0 vs Ha: λ2 ≠ 0
TS: t = ^λ 2/se( ^λ 2)
under H0 t~t(dfE)
under Ha t tends to larger of smaller values -> two tailed
uitkomst t =
p = … dus:
Slopes/hellingen vergelijken met F-test
H0: λ2 = 0 vs Ha: λ2 ≠ 0
TS: F = MSDrug*dose/MSE (zie voorbeeld)
under H0 F ~ F(df 1 = df interactie, df 2 = dfE)
Under Ha F tends to lager values (altijd)
Rechter P waarde
