Sumario Matemáticas, Probabilidades, 2025 – Guía con teoría, ejemplos y ejercicios PSU/PAES

Clase 13 M1:
Probabilidades
14/06/2025

PROBABILIDAD
La probabilidad es una medida de la certidumbre de que ocurra un evento. Se utiliza para definir
el cálculo matemático que establece todas las posibilidades que existen de que ocurra un
fenómeno en determinadas circunstancias de azar.

CONCEPTO BÁSICOS
1.​ EXPERIMENTOS
[Experimento determinístico] No depende del azar y su resultado puede predecirse,
siempre que el experimento se realice bajo las mismas condiciones.
[Experimento aleatorio] Su resultado no se puede predecir, pues es incierto.

2.​ ESPACIO MUESTRAL (Ω)
Es el conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento.

3.​ SUCESO O EVENTO
Es un subconjunto del espacio muestral Ω del experimento.
[Evento simple o elemental] Subconjunto de Ω que contiene un solo elemento.
[Evento compuesto] Subconjunto de Ω que contiene dos o más elementos.
[Evento seguro o cierto] Subconjunto de Ω que contiene todos los elementos del espacio
muestral.
[Evento imposible] Subconjunto de Ω que no contiene ningún elemento del espacio
muestral. Es decir, es un conjunto vacío, ya que al ser subconjunto de Ω, no puede tener
elementos que no estén contenidos en Ω.

REGLA DE LAPLACE
La regla de Laplace indica que se puede calcular la probabilidad de un experimento aleatorio
como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles:
Sea un evento A, la probabilidad de que ocurra va a estar dada por:​

#𝐴 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
P(A) = #Ω
= 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
, con 0 ≤ P(A) ≤ 1




1

, ¡Ojo! Lo anterior solo se va a aplicar si es distinto de vacío, Ω con un número finito de sucesos
equiprobables, es decir, que tienen la misma probabilidad de ocurrencia.

Si un suceso es seguro, significa que 𝑃(𝐴) = 𝑃(Ω) = 1. Por otro lado, si un evento es imposible,
entonces 𝑃(𝐴) = 0, es decir 𝐴 no está contenido en Ω. Por ejemplo, en un mazo de cartas inglés
(de 4 pintas: trébol, pica, corazón y diamante), la probabilidad de sacar una carta y obtener pinta
oro, es cero, ya que estamos buscando una carta española en un mazo inglés.

[Ejemplo regla Laplace] Si se tiene un dado no cargado con 6 caras numeradas del 1 al 6, ¿cuál
es la probabilidad de que al lanzarlo se obtenga un número par?

Respuesta: Al ser un dado no cargado, el espacio muestral (Ω) contiene solo sucesos
equiprobables. Es decir, la probabilidad de que salga 1 es igual a la probabilidad de que salga un
2, y así. Por lo tanto, se puede utilizar la regla de Laplace.

Casos favorables: conjunto de números pares (A) = { 2, 4, 6 } → #A = 3
Casos posibles: elementos del espacio muestral (Ω) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } → #Ω = 6

DIAGRAMA DE ÁRBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite organizar información,
generalmente utilizado en problemas de conteo y probabilidad.

Cuando se tiene un mismo evento que se
repite, o incluso distintos eventos sucesivos, se
puede observar la situación de manera
general utilizando un diagrama de árbol. De
esta manera, se pueden identificar cada uno de
los casos posibles (espacio muestral Ω) y el
evento de interés, para luego utilizar la regla de
Laplace.

El clásico ejemplo que se utiliza para diagramas de árbol es el lanzamiento de monedas. Si se
lanza una moneda 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener la misma cara las 3 veces
consecutivas?




2