MATH 225 FINAL EXAM QUESTIONS WITH 100%
COMPLETE AND ACCURATE SOLUTIONS.
If the columns of A are linearly dependent -- Correct Answer ✔✔ Then the matrix is
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
not invertible and an eigenvalue is 0
d. d. d. d. d. d. d.
Note that A−1 exists. In order for λ−1 to be an eigenvalue of A−1, there must exist a
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
nonzero x such that Upper A Superscript negative 1 Baseline Bold x equals lambda
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Superscript negative 1 Baseline Bold x . A−1x=λ−1x. Suppose a nonzero x satisfies
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Ax=λx. What is the first operation that should be performed on Ax=λx so that an
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
equation similar to the one in the previous step can be obtained? -- Correct Answer
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
✔✔ Left-multiply both sides of Ax=λx by A−1.
d. d. d. d. d. d. d. d.
Show that if A2 is the zero matrix, then the only eigenvalue of A is 0. -- Correct
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Answer ✔✔ If Ax=λx for some x≠0, then 0x=A2x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ2x=0. Since
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
x is nonzero, λ must be zero. Thus, each eigenvalue of A is zero.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Finding the characteristic polynomial of a 3 x 3 matrix -- Correct Answer ✔✔ Add the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
first two columns to the right side of the matrix and then add the down diagonals and
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
subtract the up diagonals
d. d. d. d.
In a simplified n x n matrix the Eigenvalues are -- Correct Answer ✔✔ The values of
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
the main diagonal
d. d. d.
Use a property of determinants to show that A and AT have the same characteristic
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
polynomial -- Correct Answer ✔✔ Start with detAT−λI)=detAT−λI)=det(A−λI)T.
d. d. d. d. d. d. d. d.
Then use the formula det AT=det A.
d. d. d. d. d. d. d.
The determinant of A is the product of the diagonal entries in A. Select the correct
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
choice below and, if necessary, fill in the answer box to complete your choice. --
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Correct Answer ✔✔ The statement is false because the determinant of the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
2×2 matrix A= [ 1 1 (1 1 below) ] is not equal to the product of the entries on the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
main diagonal of A.
d. d. d. d.
, An elementary row operation on A does not change the determinant. Choose the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
correct answer below. -- Correct Answer ✔✔ The statement is false because scaling
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
a row also scales the determinant by the same scalar factor.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
(det A)(det B)=detAB. Select the correct choice below and, if necessary, fill in the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
answer box to complete your choice. -- Correct Answer ✔✔ The statement is true
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
because it is the Multiplicative Property of determinants.
d. d. d. d. d. d. d. d.
If λ+5 is a factor of the characteristic polynomial of A, then 5 is an eigenvalue of A.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Select the correct choice below and, if necessary, fill in the answer box to complete
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
your choice. -- Correct Answer ✔✔ The statement is false because in order for 5 to
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
be an eigenvalue of A, the characteristic polynomial would need to have a factor of
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
λ−5.
d.
Determine whether the statement "If A is 3×3, with columns a1, a2, a3, then det A d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
equals the volume of the parallelepiped determined by a1, a2, a3" is true or false.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Choose the correct answer below. -- Correct Answer ✔✔ The statement is false
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
because det A equals the volume of the parallelepiped determined by a1, a2, a3. It is
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
possible that det A≠det A.
d. d. d. d. d.
Determine whether the statement "det AT=(−1)det A"is true or false. Choose the d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
correct answer below. -- Correct Answer ✔✔ The statement is false because det
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
AT=det A for any n×n matrix A.
d. d. d. d. d. d. d.
Determine whether the statement "The multiplicity of a root r of the characteristic
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
equation of A is called the algebraic multiplicity of r as an eigenvalue of A" is true or
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
false. Choose the correct answer below. -- Correct Answer ✔✔ The statement is
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
true because it is the definition of the algebraic multiplicity of an eigenvalue of A.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Determine whether the statement "A row replacement operation on A does not d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
change the eigenvalues" is true or false. Choose the correct answer below. -- Correct
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Answer ✔✔ The statement is false because row operations on a matrix usually
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
change its eigenvalues.
d. d. d.
A matrix A is diagonalizable if A has n eigenvectors. -- Correct Answer ✔✔ The
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
statement is false. A diagonalizable matrix must have n linearly independent
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
eigenvectors.
d.
If A is diagonalizable, then A has n distinct eigenvalues -- Correct Answer ✔✔ The
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
statement is false. A diagonalizable matrix can have fewer than n eigenvalues and still
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
have n linearly independent eigenvectors.
d. d. d. d. d.
COMPLETE AND ACCURATE SOLUTIONS.
If the columns of A are linearly dependent -- Correct Answer ✔✔ Then the matrix is
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
not invertible and an eigenvalue is 0
d. d. d. d. d. d. d.
Note that A−1 exists. In order for λ−1 to be an eigenvalue of A−1, there must exist a
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
nonzero x such that Upper A Superscript negative 1 Baseline Bold x equals lambda
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Superscript negative 1 Baseline Bold x . A−1x=λ−1x. Suppose a nonzero x satisfies
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Ax=λx. What is the first operation that should be performed on Ax=λx so that an
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
equation similar to the one in the previous step can be obtained? -- Correct Answer
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
✔✔ Left-multiply both sides of Ax=λx by A−1.
d. d. d. d. d. d. d. d.
Show that if A2 is the zero matrix, then the only eigenvalue of A is 0. -- Correct
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Answer ✔✔ If Ax=λx for some x≠0, then 0x=A2x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ2x=0. Since
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
x is nonzero, λ must be zero. Thus, each eigenvalue of A is zero.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Finding the characteristic polynomial of a 3 x 3 matrix -- Correct Answer ✔✔ Add the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
first two columns to the right side of the matrix and then add the down diagonals and
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
subtract the up diagonals
d. d. d. d.
In a simplified n x n matrix the Eigenvalues are -- Correct Answer ✔✔ The values of
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
the main diagonal
d. d. d.
Use a property of determinants to show that A and AT have the same characteristic
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
polynomial -- Correct Answer ✔✔ Start with detAT−λI)=detAT−λI)=det(A−λI)T.
d. d. d. d. d. d. d. d.
Then use the formula det AT=det A.
d. d. d. d. d. d. d.
The determinant of A is the product of the diagonal entries in A. Select the correct
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
choice below and, if necessary, fill in the answer box to complete your choice. --
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Correct Answer ✔✔ The statement is false because the determinant of the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
2×2 matrix A= [ 1 1 (1 1 below) ] is not equal to the product of the entries on the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
main diagonal of A.
d. d. d. d.
, An elementary row operation on A does not change the determinant. Choose the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
correct answer below. -- Correct Answer ✔✔ The statement is false because scaling
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
a row also scales the determinant by the same scalar factor.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
(det A)(det B)=detAB. Select the correct choice below and, if necessary, fill in the
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
answer box to complete your choice. -- Correct Answer ✔✔ The statement is true
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
because it is the Multiplicative Property of determinants.
d. d. d. d. d. d. d. d.
If λ+5 is a factor of the characteristic polynomial of A, then 5 is an eigenvalue of A.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Select the correct choice below and, if necessary, fill in the answer box to complete
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
your choice. -- Correct Answer ✔✔ The statement is false because in order for 5 to
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
be an eigenvalue of A, the characteristic polynomial would need to have a factor of
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
λ−5.
d.
Determine whether the statement "If A is 3×3, with columns a1, a2, a3, then det A d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
equals the volume of the parallelepiped determined by a1, a2, a3" is true or false.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Choose the correct answer below. -- Correct Answer ✔✔ The statement is false
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
because det A equals the volume of the parallelepiped determined by a1, a2, a3. It is
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
possible that det A≠det A.
d. d. d. d. d.
Determine whether the statement "det AT=(−1)det A"is true or false. Choose the d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
correct answer below. -- Correct Answer ✔✔ The statement is false because det
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
AT=det A for any n×n matrix A.
d. d. d. d. d. d. d.
Determine whether the statement "The multiplicity of a root r of the characteristic
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
equation of A is called the algebraic multiplicity of r as an eigenvalue of A" is true or
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
false. Choose the correct answer below. -- Correct Answer ✔✔ The statement is
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
true because it is the definition of the algebraic multiplicity of an eigenvalue of A.
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Determine whether the statement "A row replacement operation on A does not d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
change the eigenvalues" is true or false. Choose the correct answer below. -- Correct
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
Answer ✔✔ The statement is false because row operations on a matrix usually
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
change its eigenvalues.
d. d. d.
A matrix A is diagonalizable if A has n eigenvectors. -- Correct Answer ✔✔ The
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
statement is false. A diagonalizable matrix must have n linearly independent
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
eigenvectors.
d.
If A is diagonalizable, then A has n distinct eigenvalues -- Correct Answer ✔✔ The
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
statement is false. A diagonalizable matrix can have fewer than n eigenvalues and still
d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d. d.
have n linearly independent eigenvectors.
d. d. d. d. d.
