Samenvatting Maths in Motion
Hoofdstuk 1 – Basistechnieken
1.1 ‘A model of reality’
Niet belangrijk voor tentamen
1.2 Stelsel van Vergelijkingen
Regels voor oplossen van stelsel van vergelijkingen:
- ‘Wanneer je n onbekende variabelen hebt, heb je ook minstens n onafhankelijke
vergelijkingen nodig’
- Beide kanten van een lineaire vergelijking mogen met hetzelfde getal
vermenigvuldigd worden (behalve met 0)
- Vergelijkingen onder elkaar in een stelsel van vergelijkingen mogen bij elkaar
opgeteld, of van elkaar afgehaald worden
Voorbeeld (stelsel van 2 vergelijkingen):
{82x−2
x+3 y =3
y=26
Bovenste vergelijking vermenigvuldigen met – 4 geeft:
{−88x−12 y=−12
x −2 y =26
Bovenste en onderste vergelijking optellen geeft:
−14 y =14
y=−1
Waarde van y invullen in bovenste vergelijking geeft:
2 x+3 ×−1=3
2 x=6
x=3
Hetzelfde is te doen voor een stelsel van 3 vergelijkingen:
3 x +2 y −z=4
{ x + y + z=6
2 x−2 y +3 z=7
Je hebt verschillende opties om dit stelsel op te lossen. De eerste stap is altijd om van dit
stelsel van 3 vergelijkingen, 2 vergelijkingen te kiezen (eigen keuze) en deze in een stelsel
van 2 vergelijkingen te zetten. Bijvoorbeeld de bovenste 2:
{3 xx++2y+y−z=4
z=6
,Hier kan je kiezen welke variabele je elimineert, in dit geval kies ik om x te elimineren door
de onderste vergelijking te vermenigvuldigen met – 3. Door beide vergelijkingen daarna op te
tellen krijg je:
− y−4 z=−14
Hierna neem je de onderste 2 vergelijkingen als stelsel:
x + y + z=6
{2 x−2 y +3 z=7
Hier elimineer je x ook uit door de bovenste vergelijking te vermenigvuldigen met –2 en de
vergelijkingen daarna op te tellen:
−4 y + z=−5
Nu heb je 2 ‘nieuwe’ vergelijkingen:
{−−4y−4y +z=−14
z=−5
Hieruit elimineer je y door de bovenste met –4 te vermenigvuldigen en daarna de
vergelijkingen op te tellen:
17 z=51
z=3
Z invullen in een vergelijking om y uit te rekenen geeft y = 2
y = 2 en z = 3 invullen in één van de eerste 3 vergelijkingen geeft x = 1
1.3 Goniometrische Functies
Onder andere uit de eenheidscirkel volgen de volgende regels:
, cos ( hoek )=cos (−hoek )sin ( hoek ) =−sin (−hoek ) sin ( hoek ) =−sin ( hoek + pi )
cos ( hoek )=−cos ( hoek + pi )sin ( hoek ) =sin ( hoek− pi )cos ( hoek )=sin ( hoek + 0.5 pi )
sin ( hoek )
sin ( hoek ) =−cos ( hoek + 0.5 pi )cos 2 ( hoek )+ sin 2 ( hoek )=1 tan ( hoek )=
cos (hoek )
Cosinusregel: Relatie tussen hoek en lengtes van driehoek
c 2=a2+ b2−2 a b cos (hoek bij c)
1.4 Complexe Getallen
Met behulp van het complexe getal i kunnen bepaalde lastige berekeningen makkelijker
gemaakt worden, voor het tentamen is alleen het kunnen rekenen met i belangrijk.
i 2=−1
Een voorbeeld van een complex getal is: z=a+bi Hier zijn a en b reële getallen. a is het
reële gedeelte en bi is het imaginaire gedeelte.
Bij complexe getallen in een breuk, kan je de breuk vermenigvuldigen met de noemer waarbij
het teken voor het imaginaire gedeelte ( - of +) veranderd is in het tegenovergestelde (dit
noem je het toegevoegd complexe getal). Zie voorbeeld 1.4.1 in het boek
Modulus |z| berekenen van z=a+bi:
|z|=√ a2 +b2
Argument θ berekenen van z=a+bi:
b b
tanθ= θ=arctan ( )
a a
Een complex getal z=a+bi kan ook op de volgende manier geschreven worden:
z=r (cos ( θ ) +i sin ( θ ))
Door gebruik van de formule van Euler:
e iθ =cos ( θ )+i sin ( θ)
Kan het complexe getal z=a+bi geschreven worden als
z=r e iθ
Met de formule van Euler kunnen complexe goniometrische functies worden omgeschreven
in makkelijker op te lossen complexe exponentiële functies.
Hoofdstuk 2 – Differentiëren
2.1 De Differentiequotiënt
De differentiequotiënt geeft aan hoeveel een functie f verandert gedurende een bepaald
tijdsinterval ∆t:
Hoofdstuk 1 – Basistechnieken
1.1 ‘A model of reality’
Niet belangrijk voor tentamen
1.2 Stelsel van Vergelijkingen
Regels voor oplossen van stelsel van vergelijkingen:
- ‘Wanneer je n onbekende variabelen hebt, heb je ook minstens n onafhankelijke
vergelijkingen nodig’
- Beide kanten van een lineaire vergelijking mogen met hetzelfde getal
vermenigvuldigd worden (behalve met 0)
- Vergelijkingen onder elkaar in een stelsel van vergelijkingen mogen bij elkaar
opgeteld, of van elkaar afgehaald worden
Voorbeeld (stelsel van 2 vergelijkingen):
{82x−2
x+3 y =3
y=26
Bovenste vergelijking vermenigvuldigen met – 4 geeft:
{−88x−12 y=−12
x −2 y =26
Bovenste en onderste vergelijking optellen geeft:
−14 y =14
y=−1
Waarde van y invullen in bovenste vergelijking geeft:
2 x+3 ×−1=3
2 x=6
x=3
Hetzelfde is te doen voor een stelsel van 3 vergelijkingen:
3 x +2 y −z=4
{ x + y + z=6
2 x−2 y +3 z=7
Je hebt verschillende opties om dit stelsel op te lossen. De eerste stap is altijd om van dit
stelsel van 3 vergelijkingen, 2 vergelijkingen te kiezen (eigen keuze) en deze in een stelsel
van 2 vergelijkingen te zetten. Bijvoorbeeld de bovenste 2:
{3 xx++2y+y−z=4
z=6
,Hier kan je kiezen welke variabele je elimineert, in dit geval kies ik om x te elimineren door
de onderste vergelijking te vermenigvuldigen met – 3. Door beide vergelijkingen daarna op te
tellen krijg je:
− y−4 z=−14
Hierna neem je de onderste 2 vergelijkingen als stelsel:
x + y + z=6
{2 x−2 y +3 z=7
Hier elimineer je x ook uit door de bovenste vergelijking te vermenigvuldigen met –2 en de
vergelijkingen daarna op te tellen:
−4 y + z=−5
Nu heb je 2 ‘nieuwe’ vergelijkingen:
{−−4y−4y +z=−14
z=−5
Hieruit elimineer je y door de bovenste met –4 te vermenigvuldigen en daarna de
vergelijkingen op te tellen:
17 z=51
z=3
Z invullen in een vergelijking om y uit te rekenen geeft y = 2
y = 2 en z = 3 invullen in één van de eerste 3 vergelijkingen geeft x = 1
1.3 Goniometrische Functies
Onder andere uit de eenheidscirkel volgen de volgende regels:
, cos ( hoek )=cos (−hoek )sin ( hoek ) =−sin (−hoek ) sin ( hoek ) =−sin ( hoek + pi )
cos ( hoek )=−cos ( hoek + pi )sin ( hoek ) =sin ( hoek− pi )cos ( hoek )=sin ( hoek + 0.5 pi )
sin ( hoek )
sin ( hoek ) =−cos ( hoek + 0.5 pi )cos 2 ( hoek )+ sin 2 ( hoek )=1 tan ( hoek )=
cos (hoek )
Cosinusregel: Relatie tussen hoek en lengtes van driehoek
c 2=a2+ b2−2 a b cos (hoek bij c)
1.4 Complexe Getallen
Met behulp van het complexe getal i kunnen bepaalde lastige berekeningen makkelijker
gemaakt worden, voor het tentamen is alleen het kunnen rekenen met i belangrijk.
i 2=−1
Een voorbeeld van een complex getal is: z=a+bi Hier zijn a en b reële getallen. a is het
reële gedeelte en bi is het imaginaire gedeelte.
Bij complexe getallen in een breuk, kan je de breuk vermenigvuldigen met de noemer waarbij
het teken voor het imaginaire gedeelte ( - of +) veranderd is in het tegenovergestelde (dit
noem je het toegevoegd complexe getal). Zie voorbeeld 1.4.1 in het boek
Modulus |z| berekenen van z=a+bi:
|z|=√ a2 +b2
Argument θ berekenen van z=a+bi:
b b
tanθ= θ=arctan ( )
a a
Een complex getal z=a+bi kan ook op de volgende manier geschreven worden:
z=r (cos ( θ ) +i sin ( θ ))
Door gebruik van de formule van Euler:
e iθ =cos ( θ )+i sin ( θ)
Kan het complexe getal z=a+bi geschreven worden als
z=r e iθ
Met de formule van Euler kunnen complexe goniometrische functies worden omgeschreven
in makkelijker op te lossen complexe exponentiële functies.
Hoofdstuk 2 – Differentiëren
2.1 De Differentiequotiënt
De differentiequotiënt geeft aan hoeveel een functie f verandert gedurende een bepaald
tijdsinterval ∆t:
