Hoofdstuk 1
Stelsels van Lineaire vergelijkingen
Oplossen van lineaire stelsels
Een stelsel kan adhv een matrix opgelost worden
Meetkundige interpretatie van een stelsel vergelijkingen
=> de snijlijn van de vergelijkingen (punt, rechte, vlak, …) in een 3D of meerdimensionale ruimte = al de
oplossingen van het stelsel: 0,1, meer of oneindig veel oplossingen
Indien je een stelsel met twee vergelijkingen hebt die een veelvoud van elkaar zijn, kun je dit meetkundig als 2
parallelle lijnen, vlakken, …. beschouwen dat geen punt gemeenschappelijk hebben dus de nulverzameling als
oplossingsverzameling = de lege verzameling
Equivalente stelsel = als hun oplossingsverzameling identiek is aangeduid met ~, bij matrix
Equivalentie veranderd niet bij
▪ Omwisseling twee vergelijkingen van plek wisselen (rijen wisselen in matrix)
▪ Herschaling elke term in de rij met een getal verschillend van 0 vermenigvuldigen
▪ Substitutie een herschaling van een rij optellen bij een andere rij (kan ook herschaling op gebeuren)
Gereduceerde echelonvorm
A = coëfficiëntenmatrix
𝑏⃗ = constantenmatrix
𝑥 = vectormatrix (met de onbekenden)
Heeft Ax = b tenminste 1 oplossing voor elke mogelijke b?
Mag geen strijdigheid hebben dus, dus vermijden dat A een nulrij heeft, als je in elke rij een pivot krijgt
en het aantal rijen = aantal pivots, dan kan het niet en heb je een strijdigheid want op de laatste rij zal je
0 + 0 + 0 + … = getal uitkomen
Uitgebreide matrix = [A 𝑏⃗]
Voorwaarden voor gereduceerde echelonvorm (kan ook niet gereduceerd zijn)
▪ Nulrijen bevinden zich onderaan de matrix
▪ Het meest linkse element op een rij dat geen 0 is, is een 1
▪ De pivot is het enige niet nul element in z’n kolom
▪ De pivots moeten trapsgewijs gaan, i of j mag niet groter zijn
Afhankelijke/basis variabele = als in de kolom van de variabele een pivot staat = pivotkolom
Vrije variabele = als er geen pivot in de kolom staat = geen pivotkolom (basisvariabelen in functie van deze
schrijven)
Stelsels van Lineaire vergelijkingen
Oplossen van lineaire stelsels
Een stelsel kan adhv een matrix opgelost worden
Meetkundige interpretatie van een stelsel vergelijkingen
=> de snijlijn van de vergelijkingen (punt, rechte, vlak, …) in een 3D of meerdimensionale ruimte = al de
oplossingen van het stelsel: 0,1, meer of oneindig veel oplossingen
Indien je een stelsel met twee vergelijkingen hebt die een veelvoud van elkaar zijn, kun je dit meetkundig als 2
parallelle lijnen, vlakken, …. beschouwen dat geen punt gemeenschappelijk hebben dus de nulverzameling als
oplossingsverzameling = de lege verzameling
Equivalente stelsel = als hun oplossingsverzameling identiek is aangeduid met ~, bij matrix
Equivalentie veranderd niet bij
▪ Omwisseling twee vergelijkingen van plek wisselen (rijen wisselen in matrix)
▪ Herschaling elke term in de rij met een getal verschillend van 0 vermenigvuldigen
▪ Substitutie een herschaling van een rij optellen bij een andere rij (kan ook herschaling op gebeuren)
Gereduceerde echelonvorm
A = coëfficiëntenmatrix
𝑏⃗ = constantenmatrix
𝑥 = vectormatrix (met de onbekenden)
Heeft Ax = b tenminste 1 oplossing voor elke mogelijke b?
Mag geen strijdigheid hebben dus, dus vermijden dat A een nulrij heeft, als je in elke rij een pivot krijgt
en het aantal rijen = aantal pivots, dan kan het niet en heb je een strijdigheid want op de laatste rij zal je
0 + 0 + 0 + … = getal uitkomen
Uitgebreide matrix = [A 𝑏⃗]
Voorwaarden voor gereduceerde echelonvorm (kan ook niet gereduceerd zijn)
▪ Nulrijen bevinden zich onderaan de matrix
▪ Het meest linkse element op een rij dat geen 0 is, is een 1
▪ De pivot is het enige niet nul element in z’n kolom
▪ De pivots moeten trapsgewijs gaan, i of j mag niet groter zijn
Afhankelijke/basis variabele = als in de kolom van de variabele een pivot staat = pivotkolom
Vrije variabele = als er geen pivot in de kolom staat = geen pivotkolom (basisvariabelen in functie van deze
schrijven)
