Hoofdstuk 7
Complexe getallen
Bewerkingen met complexe getallen
Essentie: i² = -1 met i = √−1
Complex getal 𝑧 = a + bi met a,b reële getallen
Complex toegevoegde 𝑧̅ = a – bi
Kan a + bi als x + yi zien wat correspondeert met een beeldpunt P(x,y) met x-as = reëel en y-as = imaginair deel
Bepaal de polaire vorm van volgende complex getalen
Complexe coördinaten → poolcoördinaten met z = x + yi respectievelijk a + bi
▪ Modulus r r = |z| = √𝑥 2 + 𝑦²
𝑦 𝑦
▪ Argument θ tan(θ) = → 𝜃 = arctan( )
𝑥 𝑥
𝑥 𝑦
▪ Polaire vorm z = r(cos(θ) + isin(θ)) = = |z|(cos(θ) + isin(θ)) met cos(θ) = 𝑟 en sin(θ) = 𝑟
!! opletten voor de hoek θ, je komt twee waarden uit, kijken in welke kwadranten P(x,y) ligt
Altijd θ tussen -π en π kiezen
Eigenschappen van bewerkingen
▪ Complexe getallen vermenigvuldigen is commutatief
▪ Meerdere complexe getallen vermenigvuldigen is associatief
▪ Ook distributief
▪ Zie p174
Eigenschappen van complex toegevoegde
𝑤+𝑧=𝑤
̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ + 𝑧̅
̅̅̅̅ = 𝑤
𝑤𝑧 ̅ ∙ 𝑧̅
̅
𝑤=𝑤
𝑧̅ ∙ 𝑧 = a² + b²
Vermenigvuldiging van 2 complexe getallen = product van moduli + som van de argumenten
z1z2 = r1r2(cos(θ1+θ2) + isin(θ1+θ2))
Stelling van de Moivre: zn = rn(cos(nθ) + isin(nθ))
Toepassing hierop is de n-de machtswortel berekenen
Bereken de n-de machtswortels van het complex getal z
Stel 𝑧 = 𝑤 𝑛
𝑛
√𝑧 = 𝑤 en gebruik bovenstaande formule dan om de n-de machtswortels te berekenen
Bereken r en θ0 en schrijf de formule met parameter k op
Als je n-wortels moet berekenen zal k = 0,1,2, ..., n-1
Vul ze allemaal eens in en zo bekom je de n-de machtswortels, werk uit om polaire vorm weg te werken
Complexe getallen
Bewerkingen met complexe getallen
Essentie: i² = -1 met i = √−1
Complex getal 𝑧 = a + bi met a,b reële getallen
Complex toegevoegde 𝑧̅ = a – bi
Kan a + bi als x + yi zien wat correspondeert met een beeldpunt P(x,y) met x-as = reëel en y-as = imaginair deel
Bepaal de polaire vorm van volgende complex getalen
Complexe coördinaten → poolcoördinaten met z = x + yi respectievelijk a + bi
▪ Modulus r r = |z| = √𝑥 2 + 𝑦²
𝑦 𝑦
▪ Argument θ tan(θ) = → 𝜃 = arctan( )
𝑥 𝑥
𝑥 𝑦
▪ Polaire vorm z = r(cos(θ) + isin(θ)) = = |z|(cos(θ) + isin(θ)) met cos(θ) = 𝑟 en sin(θ) = 𝑟
!! opletten voor de hoek θ, je komt twee waarden uit, kijken in welke kwadranten P(x,y) ligt
Altijd θ tussen -π en π kiezen
Eigenschappen van bewerkingen
▪ Complexe getallen vermenigvuldigen is commutatief
▪ Meerdere complexe getallen vermenigvuldigen is associatief
▪ Ook distributief
▪ Zie p174
Eigenschappen van complex toegevoegde
𝑤+𝑧=𝑤
̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ + 𝑧̅
̅̅̅̅ = 𝑤
𝑤𝑧 ̅ ∙ 𝑧̅
̅
𝑤=𝑤
𝑧̅ ∙ 𝑧 = a² + b²
Vermenigvuldiging van 2 complexe getallen = product van moduli + som van de argumenten
z1z2 = r1r2(cos(θ1+θ2) + isin(θ1+θ2))
Stelling van de Moivre: zn = rn(cos(nθ) + isin(nθ))
Toepassing hierop is de n-de machtswortel berekenen
Bereken de n-de machtswortels van het complex getal z
Stel 𝑧 = 𝑤 𝑛
𝑛
√𝑧 = 𝑤 en gebruik bovenstaande formule dan om de n-de machtswortels te berekenen
Bereken r en θ0 en schrijf de formule met parameter k op
Als je n-wortels moet berekenen zal k = 0,1,2, ..., n-1
Vul ze allemaal eens in en zo bekom je de n-de machtswortels, werk uit om polaire vorm weg te werken
