Hoofdstuk 10
Complexe eigenwaarden
Complexe vector- en matrixbewerkingen
Eigenschappen:
𝑥̅̅̅̅̅̅̅
⃗ + 𝑦⃗ = 𝑥⃗̅ + 𝑦̅⃗
̅̅̅̅
𝛼𝑥⃗ = 𝛼 ∙ 𝑥⃗̅
[𝐴̅]ij = ̅̅̅̅
[𝐴]ij → het element op de ide rij en jde kolom van de complex toegevoegde matrix is hetzelfde als
het element op de ide rij en jde kolom van A nemen + complex toegevoegde ervan nemen
̅𝑥⃗𝑦
̅̅̅⃗ = 𝑥⃗̅ ∙ 𝑦̅⃗
Berekenen van complexe eigenwaarden
Net hetzelfde als bij gewone eigenwaarden om de eigenwaarden/vectoren te berekenen, wel rekening houden
met de rekenregels voor complexe getallen
Als λ een complexe eigenwaarde is vd vierkante matrix A, dan is 𝝀̅ ook een eigenwaarde, z’n complex
toegevoegde
Discrete dynamische systemen
Stel een vierkante matrix A met complexe eigenwaarde λ = a – bi met een bijhorende eigenvector elem van ICn
A valt dan te schrijven als (ontbinding van A):
Heeft niet met diagonalisatie te maken
Herschrijf A als = PCP-1
Met a het reëel deel van λ en b het imaginair deel in 𝜆 en in P de reële delen van de eigenvectoren die in de
eigenruimte dat horen bij die eigenwaarde onder elkaar en in de tweede kolom de imaginaire delen
!!!heeft niets met diagonalisatie te maken!!!
C kun je schrijven als de modulusmatrix R (herschaling met factor r) maal de rotatiematrix
Met R = de modulus op de hoofdiagonaal van de eigenwaarde = √𝑎2 + 𝑏²
a + bi zien als x + yi, rcost = x = a, -rsint = -y = -b, …
Als r = 1 zal er geen herschaling gebeuren, r>1 → verder van oorsprong
!!! -b in C stel λ = a - bi voor, worden veel fouten tegen gemaakt, je moet het dus niet nog eens negatief maken
Complexe eigenwaarden
Complexe vector- en matrixbewerkingen
Eigenschappen:
𝑥̅̅̅̅̅̅̅
⃗ + 𝑦⃗ = 𝑥⃗̅ + 𝑦̅⃗
̅̅̅̅
𝛼𝑥⃗ = 𝛼 ∙ 𝑥⃗̅
[𝐴̅]ij = ̅̅̅̅
[𝐴]ij → het element op de ide rij en jde kolom van de complex toegevoegde matrix is hetzelfde als
het element op de ide rij en jde kolom van A nemen + complex toegevoegde ervan nemen
̅𝑥⃗𝑦
̅̅̅⃗ = 𝑥⃗̅ ∙ 𝑦̅⃗
Berekenen van complexe eigenwaarden
Net hetzelfde als bij gewone eigenwaarden om de eigenwaarden/vectoren te berekenen, wel rekening houden
met de rekenregels voor complexe getallen
Als λ een complexe eigenwaarde is vd vierkante matrix A, dan is 𝝀̅ ook een eigenwaarde, z’n complex
toegevoegde
Discrete dynamische systemen
Stel een vierkante matrix A met complexe eigenwaarde λ = a – bi met een bijhorende eigenvector elem van ICn
A valt dan te schrijven als (ontbinding van A):
Heeft niet met diagonalisatie te maken
Herschrijf A als = PCP-1
Met a het reëel deel van λ en b het imaginair deel in 𝜆 en in P de reële delen van de eigenvectoren die in de
eigenruimte dat horen bij die eigenwaarde onder elkaar en in de tweede kolom de imaginaire delen
!!!heeft niets met diagonalisatie te maken!!!
C kun je schrijven als de modulusmatrix R (herschaling met factor r) maal de rotatiematrix
Met R = de modulus op de hoofdiagonaal van de eigenwaarde = √𝑎2 + 𝑏²
a + bi zien als x + yi, rcost = x = a, -rsint = -y = -b, …
Als r = 1 zal er geen herschaling gebeuren, r>1 → verder van oorsprong
!!! -b in C stel λ = a - bi voor, worden veel fouten tegen gemaakt, je moet het dus niet nog eens negatief maken
