Hoofdstuk 15
Functies van meerdere variabelen
Inleidende begrippen
Functie van 2 variabelen: nu heb je 2 inputs (x en y) en 1 output (z) dus gaan nu in de hoogte
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = oppervlak in de ruimte
Met D het domein van f en het bereik van f is de verzameling van alle mogelijke outputs (welke z’s bereikt
worden), domein = alle inputs, bereik = alle outputs (z)
Niveaukromme van f(x,y)
= de krommen gegeven door f(x,y) = constante
= krommen waarop de hoogte (z) constant blijft, dus f(x1, x2, …., xn) = constante
Hier zijn het krommes, bij 3 variabelen krijg je niveau-oppervlakten
Limieten en continuïteit
Een functie f is continu in een inwendig punt c van haar domein als
▪ De limiet bestaat (niet oneindig en LL = RL)
▪ De limiet = de functiewaarde in dat punt
Open bal B in IRn met middelpunt x0 en straal r
= je pakt een punt en alles in een cirkel errond is de open bal
▪ P is een randpunt als de bal punten van S als punten buiten S bevat (P1)
▪ P is een inwendig punt als een open bal bestaat rond P met enkel punten uit S (P2)
▪ P is een ophopingspunt als er in de omgeving nog een punt ligt dat tot S behoort (rand + inwendige)
Verzameling S
▪ Is open
▪ Is gesloten
▪ Is begrensd als er een M > 0 bestaat zodat een open bal met de oorsprong als middelpunt en straal M,
S bevat, dus S helemaal insluit, dan is de verzameling begrensd. Je kiest dus een open bal rond de
oorsprong met een willekeurig grote straal zodat heel de verzameling erin past, indien dit niet kan is de
verzameling onbegrensd (naar oneindig)
Limiet
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒙𝟎
Limiet L: als je een gebied rond L pakt met 𝜀 zal er in het xy-vlak
een open bal zijn zodat bij elke uitwijking (punt in de bal) je nog binnen
L – 𝜀 , L + 𝜀 zit → dit moet gelden zodat de limiet bestaat
Als voor iedere 𝜀 > 0 er een 𝛿 > 0 bestaat zodat voor alle x in S met x ≠ x0
geldt dat als x in de open bal ligt met middelpunt x0 en straal 𝛿, dan is
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
, Bestaat de limiet van (x,y) → (x0,y0)?
▪ Bereken de limiet vanuit verschillende richtingen bv y = x of
y = x², y = 0, … en vervang dit in het functievoorschrift en bereken de
limiet, de limieten zouden gelijk moeten zijn om te bestaan
▪ Afvragen: bestaat er een open bal als je een random punt neemt
Continuïteit
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
De limiet = de functiewaarde in x0, dan is de functie continu in x0
Is de functie f(x,y) continu in (x0,y0)?
▪ lim 𝑓(𝑥, 𝑦) Berekenen adhv l’hopital of andere technieken zoals verschillende paden benaderen
𝑥,𝑦→𝑥0 ,𝑦0
bv x = y of y = x², x = 0 en zo bekom je dus een functie van 1 variabele en kan je de limieten vergelijken of
speciale limieten zoals sin(x)/x
▪ Kijken of de limietwaarde = de functiewaarde om continu te zijn
Partieel afgeleiden
Een functie van 2 variabelen f(x,y) kan je naar x en naar y afleiden
▪ fx(x,y) → enkel de x als variabele beschouwen, de y is een constante (1ste afgeleide van f(x,y) naar x)
= de helling van de raaklijn van de snijlijn van de kromme met het vlak (y = y0) // met de x-as (variabele)
▪ fy(x,y) → nu is x een constante (1ste afgeleide van f(x,y) naar y)
= de helling van de raaklijn van de snijlijn van de kromme met het vlak (x = x0) // met de y-as (variabele)
Notaties voor partiële afgeleiden:
Eerste orde afgeleide kan je uitbreiden naar tweede orde afgeleiden
Hetgeen dat laatst staat dus eerst naar afleiden
Functies van meerdere variabelen
Inleidende begrippen
Functie van 2 variabelen: nu heb je 2 inputs (x en y) en 1 output (z) dus gaan nu in de hoogte
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = oppervlak in de ruimte
Met D het domein van f en het bereik van f is de verzameling van alle mogelijke outputs (welke z’s bereikt
worden), domein = alle inputs, bereik = alle outputs (z)
Niveaukromme van f(x,y)
= de krommen gegeven door f(x,y) = constante
= krommen waarop de hoogte (z) constant blijft, dus f(x1, x2, …., xn) = constante
Hier zijn het krommes, bij 3 variabelen krijg je niveau-oppervlakten
Limieten en continuïteit
Een functie f is continu in een inwendig punt c van haar domein als
▪ De limiet bestaat (niet oneindig en LL = RL)
▪ De limiet = de functiewaarde in dat punt
Open bal B in IRn met middelpunt x0 en straal r
= je pakt een punt en alles in een cirkel errond is de open bal
▪ P is een randpunt als de bal punten van S als punten buiten S bevat (P1)
▪ P is een inwendig punt als een open bal bestaat rond P met enkel punten uit S (P2)
▪ P is een ophopingspunt als er in de omgeving nog een punt ligt dat tot S behoort (rand + inwendige)
Verzameling S
▪ Is open
▪ Is gesloten
▪ Is begrensd als er een M > 0 bestaat zodat een open bal met de oorsprong als middelpunt en straal M,
S bevat, dus S helemaal insluit, dan is de verzameling begrensd. Je kiest dus een open bal rond de
oorsprong met een willekeurig grote straal zodat heel de verzameling erin past, indien dit niet kan is de
verzameling onbegrensd (naar oneindig)
Limiet
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒙𝟎
Limiet L: als je een gebied rond L pakt met 𝜀 zal er in het xy-vlak
een open bal zijn zodat bij elke uitwijking (punt in de bal) je nog binnen
L – 𝜀 , L + 𝜀 zit → dit moet gelden zodat de limiet bestaat
Als voor iedere 𝜀 > 0 er een 𝛿 > 0 bestaat zodat voor alle x in S met x ≠ x0
geldt dat als x in de open bal ligt met middelpunt x0 en straal 𝛿, dan is
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
, Bestaat de limiet van (x,y) → (x0,y0)?
▪ Bereken de limiet vanuit verschillende richtingen bv y = x of
y = x², y = 0, … en vervang dit in het functievoorschrift en bereken de
limiet, de limieten zouden gelijk moeten zijn om te bestaan
▪ Afvragen: bestaat er een open bal als je een random punt neemt
Continuïteit
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
De limiet = de functiewaarde in x0, dan is de functie continu in x0
Is de functie f(x,y) continu in (x0,y0)?
▪ lim 𝑓(𝑥, 𝑦) Berekenen adhv l’hopital of andere technieken zoals verschillende paden benaderen
𝑥,𝑦→𝑥0 ,𝑦0
bv x = y of y = x², x = 0 en zo bekom je dus een functie van 1 variabele en kan je de limieten vergelijken of
speciale limieten zoals sin(x)/x
▪ Kijken of de limietwaarde = de functiewaarde om continu te zijn
Partieel afgeleiden
Een functie van 2 variabelen f(x,y) kan je naar x en naar y afleiden
▪ fx(x,y) → enkel de x als variabele beschouwen, de y is een constante (1ste afgeleide van f(x,y) naar x)
= de helling van de raaklijn van de snijlijn van de kromme met het vlak (y = y0) // met de x-as (variabele)
▪ fy(x,y) → nu is x een constante (1ste afgeleide van f(x,y) naar y)
= de helling van de raaklijn van de snijlijn van de kromme met het vlak (x = x0) // met de y-as (variabele)
Notaties voor partiële afgeleiden:
Eerste orde afgeleide kan je uitbreiden naar tweede orde afgeleiden
Hetgeen dat laatst staat dus eerst naar afleiden
