Hoofdstuk 17
Vectorfuncties
Definitie en grafiek
Hebben al functies van 1 input, 1 output gezien f(x) en van meerdere inputs en 1 output f(x,y) of f(x,y,z)
Vectorfunctie = 1 input, meerdere outputs vectorveld (hfst 19) = meerdere inputs, meerdere outputs
!!! een vectorfunctie is geen scalair maar een vector → de afgeleide ervan kan dus ook niet de helling
van de raaklijn aan de grafiek van een vectorfunctie voorstellen want de afgeleide is ook een vector
Vectorfunctie:
▪ Input = t
▪ Output = vectoren van de componentfuncties f1, f2, …
Kan hiervan ook de afgeleiden, limiet, extrema bepalen maar zal een vector opleveren
▪ Domein van vectorfunctie r
Kijken naar de domeinen van de component functies
Hier de doorsnede van nemen, als er eentje enkel IR+ heeft en de rest IR zal domein r = IR+ zijn
▪ Beeld = verzameling van alle mogelijke outputs = vectoren
Probeer volgende zaken niet te verwarren
▪ Kortste afstand ‖𝑑⃗‖ = verplaatsing
𝑃𝑄 te berekenen = 𝑑⃗
Door ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Kan de grootte bepalen door de norm te nemen ‖𝑑⃗‖
▪ Netto verplaatsing 𝑑⃗
Wil zeggen hoeveel passen je naar links/rechts en naar beneden/boven genomen hebt
Is af te lezen uit⃗⃗⃗⃗
𝑑
𝑟⃗(𝑡1 ) − 𝑟⃗(𝑡0 )
▪ Afgelegde weg D
= de booglengte
Adhv een integraal
Calculus en vectorfuncties
Als je de limiet, continuïteit, afgeleide en integraal van een vectorfunctie bestudeert of berekent moet je dat
doen voor elke componentfunctie
, Afleiden van vectorfuncties
Neem 2 inputs die niet ver uit elkaar liggen, en kijken naar
hun outputs. Zo krijg je de nettoverplaatsing, dan deze
delen door de afstand tussen de 2 punten en deze afstand
laten we naderen tot 0 (dus de 2 punten steeds dichter bij
elkaar brengen) → krijgt afgeleide
𝑟⃗(𝑡+ℎ)−𝑟⃗(ℎ)
𝑟⃗′(𝑡) = lim ℎ
ℎ→0
Afgeleide van vectorfunctie in een punt = raakvector
Hiermee kan je de raaklijn construeren (met een vector en een aangrijpingspunt)
Zoek de raaklijn aan de vectorfunctie 𝒓
⃗⃗(𝒕)in het punt met t = c
Eerst kijken met welke t-waarde dit punt overeenstemt
Bereken 𝑟⃗′(𝑡) en vul die t-waarde in
Zo bekom je de raakvector nodig in de vergelijking van de raaklijn
Raaklijn = 𝑟⃗(𝑐) + 𝑡 ∙ 𝑟⃗′(𝑐)
Bereken de keerpunten van de kromme
Bereken de afgeleide van de vectorfunctie
Stel deze gelijk aan 0 en bereken de t-waarden
Vul deze t waarden in de vectorfunctie in en bekom zo de keerpunten
Keerpunt = punt waarop de zin 180° draait, waarop de beweging omkeert
Rekenregels voor afgeleiden van vectorfuncties: (zelfde als voor f(x))
Booglengte van een kromme tussen twee punten
Vectorfunctie 𝑟⃗(𝑡) = (x,y,z,…) = (f(t), g(t), h(t), …)
voor 𝑟⃗(𝑡) = (x,y) = (f(t), g(t)) is de booglengte van de kromme:
Je kan dit naar zoveel dimensies als je wil uitbreiden bv h’(t)² toevoegen
Moet afgeleiden van de component functies berekenen en de grenzen van t kiezen
Vectorfuncties
Definitie en grafiek
Hebben al functies van 1 input, 1 output gezien f(x) en van meerdere inputs en 1 output f(x,y) of f(x,y,z)
Vectorfunctie = 1 input, meerdere outputs vectorveld (hfst 19) = meerdere inputs, meerdere outputs
!!! een vectorfunctie is geen scalair maar een vector → de afgeleide ervan kan dus ook niet de helling
van de raaklijn aan de grafiek van een vectorfunctie voorstellen want de afgeleide is ook een vector
Vectorfunctie:
▪ Input = t
▪ Output = vectoren van de componentfuncties f1, f2, …
Kan hiervan ook de afgeleiden, limiet, extrema bepalen maar zal een vector opleveren
▪ Domein van vectorfunctie r
Kijken naar de domeinen van de component functies
Hier de doorsnede van nemen, als er eentje enkel IR+ heeft en de rest IR zal domein r = IR+ zijn
▪ Beeld = verzameling van alle mogelijke outputs = vectoren
Probeer volgende zaken niet te verwarren
▪ Kortste afstand ‖𝑑⃗‖ = verplaatsing
𝑃𝑄 te berekenen = 𝑑⃗
Door ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Kan de grootte bepalen door de norm te nemen ‖𝑑⃗‖
▪ Netto verplaatsing 𝑑⃗
Wil zeggen hoeveel passen je naar links/rechts en naar beneden/boven genomen hebt
Is af te lezen uit⃗⃗⃗⃗
𝑑
𝑟⃗(𝑡1 ) − 𝑟⃗(𝑡0 )
▪ Afgelegde weg D
= de booglengte
Adhv een integraal
Calculus en vectorfuncties
Als je de limiet, continuïteit, afgeleide en integraal van een vectorfunctie bestudeert of berekent moet je dat
doen voor elke componentfunctie
, Afleiden van vectorfuncties
Neem 2 inputs die niet ver uit elkaar liggen, en kijken naar
hun outputs. Zo krijg je de nettoverplaatsing, dan deze
delen door de afstand tussen de 2 punten en deze afstand
laten we naderen tot 0 (dus de 2 punten steeds dichter bij
elkaar brengen) → krijgt afgeleide
𝑟⃗(𝑡+ℎ)−𝑟⃗(ℎ)
𝑟⃗′(𝑡) = lim ℎ
ℎ→0
Afgeleide van vectorfunctie in een punt = raakvector
Hiermee kan je de raaklijn construeren (met een vector en een aangrijpingspunt)
Zoek de raaklijn aan de vectorfunctie 𝒓
⃗⃗(𝒕)in het punt met t = c
Eerst kijken met welke t-waarde dit punt overeenstemt
Bereken 𝑟⃗′(𝑡) en vul die t-waarde in
Zo bekom je de raakvector nodig in de vergelijking van de raaklijn
Raaklijn = 𝑟⃗(𝑐) + 𝑡 ∙ 𝑟⃗′(𝑐)
Bereken de keerpunten van de kromme
Bereken de afgeleide van de vectorfunctie
Stel deze gelijk aan 0 en bereken de t-waarden
Vul deze t waarden in de vectorfunctie in en bekom zo de keerpunten
Keerpunt = punt waarop de zin 180° draait, waarop de beweging omkeert
Rekenregels voor afgeleiden van vectorfuncties: (zelfde als voor f(x))
Booglengte van een kromme tussen twee punten
Vectorfunctie 𝑟⃗(𝑡) = (x,y,z,…) = (f(t), g(t), h(t), …)
voor 𝑟⃗(𝑡) = (x,y) = (f(t), g(t)) is de booglengte van de kromme:
Je kan dit naar zoveel dimensies als je wil uitbreiden bv h’(t)² toevoegen
Moet afgeleiden van de component functies berekenen en de grenzen van t kiezen
