HOODSSTUK 2: Verzamelingen en getallen - Analyse: functies van één variabele
HOOFDSTUK 2: Verzamelingen en getallen
Verzamelingen:
▪ X^Y X en Y
▪ XvY X of Y
Verzameling : gedefinieerde collectie van objecten die we elementen noemen: als zin of als {} noteren
Geordende verzameling : komt relatie bij kijken, bv ∀x,y ∈ S geldt x < y, x = y en y < x
▪ Doorsnede 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵)}
▪ Unie 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵)}
▪ Complement 𝐴̅ = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∉ 𝐴}
▪ Verschil 𝐴 ∖ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∉ 𝐵)}
▪ Symmetrisch verschil 𝐴 ⊕ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵)}
▪ Cartesisch product 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|(𝑎 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵)}
Eigenschappen
▪ Commutativiteit 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴, 𝑧𝑒𝑙𝑓𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝐴 ∪ 𝐵
▪ Associativiteit 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶, 𝑧𝑒𝑙𝑓𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
▪ Distributiviteit 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶), 𝑧𝑒𝑙𝑓𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
▪ Identiteitswetten 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝑒𝑛 ∩ 𝑈 = 𝐴
▪ Complementwetten 𝐴 ∪ 𝐴̅ = 𝑈 𝑒𝑛 𝐴 ∩ 𝐴̅ = ∅ = {}
▪ Wetten van De Morgan ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ 𝑒𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅
Begrenzing
➢ Bovengrens b als voor alle x in U geldt dat x ≤ b, met kleinste bovengrens β ≤ b = supremum = sup A
➢ Ondergrens b als voor alle x in U geldt dat x ≥ a, met grootste ondergrens α ≥ a = infimum = inf A
Verzameling van de reële getallen
Intervallen
▪ Randpunt = als je een cirkel er rondtrekt krijg je altijd een punt binnen en buiten het interval
▪ Inwendig punt = als je een cirkel er rondtrekt krijg je altijd punten binnen het interval
▪ Ophopingspunt = een punt dat niet tot het interval behoort maar er wel in ligt, deze maakt limiet mog
▪ Geïsoleerd punt = punt dat tot het interval behoort maar als los punt ligt
▪ Open, gesloten, begrensd interval
In dit voorbeeld is b geen deel van de deelverzameling, dus ook geen inwendig punt
,HOODSSTUK 2: Verzamelingen en getallen - Analyse: functies van één variabele
Rekenen met reële getallen
Optelling en vermenigvuldiging
▪ Algebraïsch gesloten (inwendigheid)
▪ Commutatief
▪ Associatief
▪ Neutraal element
▪ Invers element
▪ Distributief *aftrekking en deling niet commutatief en associatief
Krijgt veld als aan de axioma’s voldaan zijn, geordend veld indien elementen geordend zijn
Handige identiteiten (om product en som te vereenvoudigen)
Herschrijf de vorm tussen haakjes
Probeer zaken voorop te schrijven
Schrijf de som / het product uit en zoek een patroon
Complexe getallen
Complex getal c: a + bi met √−𝑐 = i√𝑐
Complex toegevoegde : a – bi → imaginair deel in noemer wegwerken → Z . Z = a² + b²
Imaginaire eenheid : i = √−1 met i² = -1
, HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele
HOOFDSTUK 3: Functies
Het cartesisch coördinatenstelsel
x-as en y-as ➔ punt P beschrijven adhv coördinaten in een geordend koppel P(x,y)
Oorsprong en 4 kwadranten
Functies
x = het argument met overeenkomstig beeld y
Hebt input x, steekt het in een functie en krijgt output y, f beeld het domein X af op codomein Y
▪ X = domein (alle mogelijke inputs)
▪ Y = codomein (alle mogelijke outputs)
▪ im f = bereik (beeld) (verzameling waar f het domein uiteindelijk naar stuurt)
Verticale rechte test → mag hoogstens één snijpunt hebben met de functie, dan is y een functie van x
Expliciete functie: y = f(x)
Impliciete functie: bv y² = x² + 4
▪ Injectief
Op elk element van het codomein wordt er hoogstens één element van het domein afgebeeld (kan 0 zijn)
▪ Surjectief
Op elk element van het codomein wordt er minstens één element van het domein afgebeeld (kan 2 zijn)
Als beeld f = codomein f
▪ Bijectief
Op elk element van het codomein wordt er exact één element van het domein afgebeeld
Even functie f(-x) = f(x) => spiegelbeeld rond y-as
Oneven functie f(-x) = -f(x) => spiegelbeeld rond oorsprong
Gedrag van functies
▪ Stijgend : x1 ≤ x2 => f(x1) ≤ f(x2) Strikt stijgend <
▪ Dalend : x1 ≤ x2 => f(x1) ≥ f(x2) Strikt dalend >
▪ Constant : x1 ≤ x2 => f(x1) = f(x2)
▪ Begrensd
Minimum : lokaal of absoluut
Maximum : lokaal of absoluut
,HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele
Samengestelde functies
(g°f)(x) = g(f(x)) → output van ene als input van de andere
Voorwaarde: x ∈ dom f en f(x) ∈ dom g
Periodiciteit:
Functie is periodiek als f(x + p) = f(x), kleinste positieve waarde voor p is de fundamentele periode
Transformaties op y = ax + b
▪ Horizontale verschuiving (x – a)
▪ Verticale verschuiving (b)
▪ Spiegeling (rond y-as : y = f(-x) en rond x-as : y = -f(x))
▪ Verticale uitrekking/inkrimping (a > 1 : uitrekking 0 < a < 1 : inkrimping)
▪ Horizontale uitrekking/inkrimping (0 < b < 1 : uitrekking b > 1 : inkrimping)
Soorten functies
▪ Algebraïsche functies : kunt deze definiëren als de wortel van een veeltermvergelijking
Machtsfuncties
Veeltermfuncties
Rationale functies
Irrationale functies
Stuksgewijs gedefinieerde functie
▪ Transcendente functies : overstijgt de algebra
Exponentiële functies
Logaritmische functies
Goniometrische functies
Hyperbolische functies
Samengestelde functies
▪ Absolutewaardefuncties
Absolutewaardefuncties → alles onder de x-as wordt nr boven
gespiegeld
IabI = IaI IbI Berekeningen:
IanI = IaIn Voor het verloop en het gedrag, splits de functie op
Ia/bI = IaI/IbI IxI => -x en x
Schrijf alle gevallen uit dan, rekening houdend met de domeinen
Driehoeksongelijkheid
De kortste afstand tussen twee punten op de getallenlijn is altijd kleiner dan of gelijk aan de som van de afstanden
van die punten tot het nulpunt
Ia + bI ≤ IaI + IbI
,HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele
Inverse functies
De inverse van een functie f(x) = f-1(x) waarbij (x,y) → (y,x) ➔
de inverse een functie is over het bereik Y
f moet injectief zijn om een inverse functie te kunnen bekomen
(geen meerdere afbeeldingen op zelfde punt in Y)
Inverse bekomen door te spiegelen rond y = x ➔ x in y veranderen en omgekeerd, dan herschrijven als y =
Dom f => Im f-1 en Im f => dom f-1
Inverse functie is uniek voor een welbepaalde functie : uniciteit
Inverse functie bepalen
▪ Verander x in y en visa versa
▪ Zonder y af
▪ Houdt rekening met de domein beperkingen
▪ Stel y = x² → dan is de inverse x = ±√𝑦 → y = ±√𝑥
, HOOFDSTUK 4: Algebraïsche functies
Veeltermfuncties
▪ Constante en lineaire functie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑓(𝑥) = 𝑎
Formule om functie te bepalen met 2 punten
𝑦 −𝑦 𝑦2 −𝑦1
𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 ⋅ (𝑥 − 𝑥1 ) met 𝑥2 −𝑥1
= de rico
2 1
▪ Kwadratische functie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = algemene vorm,
. standaardvorm: y = a(x +c)² + b
Parabool met top (-b/2a, y) . met top T(ac, b)
a bepaald of het een dal (+) of berg (-) is
Nulpunt berekenen a.d.h.v. de discriminant
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑥= 2𝑎
D > 0 : twee reële wortels
D = 0 : één reële wortel met multipliciteit 2
D < 0 : twee complexe wortels
▪ Algemene veeltermfunctie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑥 + 𝑎0
Met graad n en hoogste graadsterm 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑎0 is de constante term
x³ + 6x - 1
Nulpunt berekenen adhv
Nulpunt zoeken door te kijken naar de delers van de rest term
Factorstelling: reëel getal c is een nulpunt van p(x) x-c een factor is van p
Horner
Euclidische deling : p(x) = d(x) q(x) + r(x)
Maximaal n-aantal verschillende nulpunten, kan ook meerdere keren zelfde nulpunt :
multipliciteit
Rationale functies
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
Deling van twee aparte functies, elk met eigen nulpunten
2𝑥 − 1
𝑥+1
, Nulpunt van noemer: asymptoot of opening als evenveel of meer keer ook voorkomt in teller
Hebt horizontale en verticale asymptoten cfr. Hfst 8: limieten
Hebt domeinbeperking door de noemer
Irrationale functies
Functies met een vierkantswortel => zorgt voor domeinbeperkingen
Opletten met bestaansvoorwaarde
√𝑥
Kegelsnede: zie uitgebreide samenvatting op de volgende pagina’s
Formule om elke kegelsnede te definiëren:
ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0
▪ Als b² - 4ac > 0, dan heb je een hyperbool
▪ Als b² - 4ac = 0, dan heb je een parabool
▪ Als b² - 4ac < 0, dan heb je een ellips of cirkel
a, b of c zijn vaak 0 in oefeningen
HOOFDSTUK 2: Verzamelingen en getallen
Verzamelingen:
▪ X^Y X en Y
▪ XvY X of Y
Verzameling : gedefinieerde collectie van objecten die we elementen noemen: als zin of als {} noteren
Geordende verzameling : komt relatie bij kijken, bv ∀x,y ∈ S geldt x < y, x = y en y < x
▪ Doorsnede 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵)}
▪ Unie 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵)}
▪ Complement 𝐴̅ = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∉ 𝐴}
▪ Verschil 𝐴 ∖ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∉ 𝐵)}
▪ Symmetrisch verschil 𝐴 ⊕ 𝐵 = {𝑥|(𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵)}
▪ Cartesisch product 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|(𝑎 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵)}
Eigenschappen
▪ Commutativiteit 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴, 𝑧𝑒𝑙𝑓𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝐴 ∪ 𝐵
▪ Associativiteit 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶, 𝑧𝑒𝑙𝑓𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
▪ Distributiviteit 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶), 𝑧𝑒𝑙𝑓𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
▪ Identiteitswetten 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝑒𝑛 ∩ 𝑈 = 𝐴
▪ Complementwetten 𝐴 ∪ 𝐴̅ = 𝑈 𝑒𝑛 𝐴 ∩ 𝐴̅ = ∅ = {}
▪ Wetten van De Morgan ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ 𝑒𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅
Begrenzing
➢ Bovengrens b als voor alle x in U geldt dat x ≤ b, met kleinste bovengrens β ≤ b = supremum = sup A
➢ Ondergrens b als voor alle x in U geldt dat x ≥ a, met grootste ondergrens α ≥ a = infimum = inf A
Verzameling van de reële getallen
Intervallen
▪ Randpunt = als je een cirkel er rondtrekt krijg je altijd een punt binnen en buiten het interval
▪ Inwendig punt = als je een cirkel er rondtrekt krijg je altijd punten binnen het interval
▪ Ophopingspunt = een punt dat niet tot het interval behoort maar er wel in ligt, deze maakt limiet mog
▪ Geïsoleerd punt = punt dat tot het interval behoort maar als los punt ligt
▪ Open, gesloten, begrensd interval
In dit voorbeeld is b geen deel van de deelverzameling, dus ook geen inwendig punt
,HOODSSTUK 2: Verzamelingen en getallen - Analyse: functies van één variabele
Rekenen met reële getallen
Optelling en vermenigvuldiging
▪ Algebraïsch gesloten (inwendigheid)
▪ Commutatief
▪ Associatief
▪ Neutraal element
▪ Invers element
▪ Distributief *aftrekking en deling niet commutatief en associatief
Krijgt veld als aan de axioma’s voldaan zijn, geordend veld indien elementen geordend zijn
Handige identiteiten (om product en som te vereenvoudigen)
Herschrijf de vorm tussen haakjes
Probeer zaken voorop te schrijven
Schrijf de som / het product uit en zoek een patroon
Complexe getallen
Complex getal c: a + bi met √−𝑐 = i√𝑐
Complex toegevoegde : a – bi → imaginair deel in noemer wegwerken → Z . Z = a² + b²
Imaginaire eenheid : i = √−1 met i² = -1
, HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele
HOOFDSTUK 3: Functies
Het cartesisch coördinatenstelsel
x-as en y-as ➔ punt P beschrijven adhv coördinaten in een geordend koppel P(x,y)
Oorsprong en 4 kwadranten
Functies
x = het argument met overeenkomstig beeld y
Hebt input x, steekt het in een functie en krijgt output y, f beeld het domein X af op codomein Y
▪ X = domein (alle mogelijke inputs)
▪ Y = codomein (alle mogelijke outputs)
▪ im f = bereik (beeld) (verzameling waar f het domein uiteindelijk naar stuurt)
Verticale rechte test → mag hoogstens één snijpunt hebben met de functie, dan is y een functie van x
Expliciete functie: y = f(x)
Impliciete functie: bv y² = x² + 4
▪ Injectief
Op elk element van het codomein wordt er hoogstens één element van het domein afgebeeld (kan 0 zijn)
▪ Surjectief
Op elk element van het codomein wordt er minstens één element van het domein afgebeeld (kan 2 zijn)
Als beeld f = codomein f
▪ Bijectief
Op elk element van het codomein wordt er exact één element van het domein afgebeeld
Even functie f(-x) = f(x) => spiegelbeeld rond y-as
Oneven functie f(-x) = -f(x) => spiegelbeeld rond oorsprong
Gedrag van functies
▪ Stijgend : x1 ≤ x2 => f(x1) ≤ f(x2) Strikt stijgend <
▪ Dalend : x1 ≤ x2 => f(x1) ≥ f(x2) Strikt dalend >
▪ Constant : x1 ≤ x2 => f(x1) = f(x2)
▪ Begrensd
Minimum : lokaal of absoluut
Maximum : lokaal of absoluut
,HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele
Samengestelde functies
(g°f)(x) = g(f(x)) → output van ene als input van de andere
Voorwaarde: x ∈ dom f en f(x) ∈ dom g
Periodiciteit:
Functie is periodiek als f(x + p) = f(x), kleinste positieve waarde voor p is de fundamentele periode
Transformaties op y = ax + b
▪ Horizontale verschuiving (x – a)
▪ Verticale verschuiving (b)
▪ Spiegeling (rond y-as : y = f(-x) en rond x-as : y = -f(x))
▪ Verticale uitrekking/inkrimping (a > 1 : uitrekking 0 < a < 1 : inkrimping)
▪ Horizontale uitrekking/inkrimping (0 < b < 1 : uitrekking b > 1 : inkrimping)
Soorten functies
▪ Algebraïsche functies : kunt deze definiëren als de wortel van een veeltermvergelijking
Machtsfuncties
Veeltermfuncties
Rationale functies
Irrationale functies
Stuksgewijs gedefinieerde functie
▪ Transcendente functies : overstijgt de algebra
Exponentiële functies
Logaritmische functies
Goniometrische functies
Hyperbolische functies
Samengestelde functies
▪ Absolutewaardefuncties
Absolutewaardefuncties → alles onder de x-as wordt nr boven
gespiegeld
IabI = IaI IbI Berekeningen:
IanI = IaIn Voor het verloop en het gedrag, splits de functie op
Ia/bI = IaI/IbI IxI => -x en x
Schrijf alle gevallen uit dan, rekening houdend met de domeinen
Driehoeksongelijkheid
De kortste afstand tussen twee punten op de getallenlijn is altijd kleiner dan of gelijk aan de som van de afstanden
van die punten tot het nulpunt
Ia + bI ≤ IaI + IbI
,HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele
Inverse functies
De inverse van een functie f(x) = f-1(x) waarbij (x,y) → (y,x) ➔
de inverse een functie is over het bereik Y
f moet injectief zijn om een inverse functie te kunnen bekomen
(geen meerdere afbeeldingen op zelfde punt in Y)
Inverse bekomen door te spiegelen rond y = x ➔ x in y veranderen en omgekeerd, dan herschrijven als y =
Dom f => Im f-1 en Im f => dom f-1
Inverse functie is uniek voor een welbepaalde functie : uniciteit
Inverse functie bepalen
▪ Verander x in y en visa versa
▪ Zonder y af
▪ Houdt rekening met de domein beperkingen
▪ Stel y = x² → dan is de inverse x = ±√𝑦 → y = ±√𝑥
, HOOFDSTUK 4: Algebraïsche functies
Veeltermfuncties
▪ Constante en lineaire functie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑓(𝑥) = 𝑎
Formule om functie te bepalen met 2 punten
𝑦 −𝑦 𝑦2 −𝑦1
𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 ⋅ (𝑥 − 𝑥1 ) met 𝑥2 −𝑥1
= de rico
2 1
▪ Kwadratische functie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = algemene vorm,
. standaardvorm: y = a(x +c)² + b
Parabool met top (-b/2a, y) . met top T(ac, b)
a bepaald of het een dal (+) of berg (-) is
Nulpunt berekenen a.d.h.v. de discriminant
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑥= 2𝑎
D > 0 : twee reële wortels
D = 0 : één reële wortel met multipliciteit 2
D < 0 : twee complexe wortels
▪ Algemene veeltermfunctie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑥 + 𝑎0
Met graad n en hoogste graadsterm 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑎0 is de constante term
x³ + 6x - 1
Nulpunt berekenen adhv
Nulpunt zoeken door te kijken naar de delers van de rest term
Factorstelling: reëel getal c is een nulpunt van p(x) x-c een factor is van p
Horner
Euclidische deling : p(x) = d(x) q(x) + r(x)
Maximaal n-aantal verschillende nulpunten, kan ook meerdere keren zelfde nulpunt :
multipliciteit
Rationale functies
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
Deling van twee aparte functies, elk met eigen nulpunten
2𝑥 − 1
𝑥+1
, Nulpunt van noemer: asymptoot of opening als evenveel of meer keer ook voorkomt in teller
Hebt horizontale en verticale asymptoten cfr. Hfst 8: limieten
Hebt domeinbeperking door de noemer
Irrationale functies
Functies met een vierkantswortel => zorgt voor domeinbeperkingen
Opletten met bestaansvoorwaarde
√𝑥
Kegelsnede: zie uitgebreide samenvatting op de volgende pagina’s
Formule om elke kegelsnede te definiëren:
ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0
▪ Als b² - 4ac > 0, dan heb je een hyperbool
▪ Als b² - 4ac = 0, dan heb je een parabool
▪ Als b² - 4ac < 0, dan heb je een ellips of cirkel
a, b of c zijn vaak 0 in oefeningen
