APM2613 Assignment THREE 2023

APM2613 ASSIGNMENT 3 2023

Question 1

𝑥0 = 0.1, 𝑥1 = 0.2, 𝑥2 = 0.3, 𝑥3 = 0.4

𝑓(𝑥0 ) = −0.29005, 𝑓(𝑥1 ) = −0.56079, 𝑓(𝑥2 ) = −0.81402, 𝑓(𝑥3 ) = −1.05263

(1.1)

Lagrange polynomial 𝑃(𝑥)

(𝑥 − 𝑥0 ) … (𝑥 − 𝑥𝑘−1 )(𝑥 − 𝑥𝑘+1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 )
𝐿𝑛,𝑘 (𝑥) = , 𝑛 = 3, 𝑘 = 0, 1, 2, 3
(𝑥𝑘 − 𝑥0 ) … (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 )(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘+1 ) … (𝑥𝑘 − 𝑥𝑛 )

𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )𝐿3,0 (𝑥) + 𝑓(𝑥1 )𝐿3,1 (𝑥) + 𝑓(𝑥2 )𝐿3,2 (𝑥) + 𝑓(𝑥3 )𝐿3,3 (𝑥)

(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )
𝐿3,0 (𝑥) =
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )(𝑥0 − 𝑥3 )

(𝑥 − 0.2)(𝑥 − 0.3)(𝑥 − 0.4)
𝐿3,0 (𝑥) =
(0.1 − 0.2)(0.1 − 0.3)(0.1 − 0.4)

(𝑥 − 0.2)(𝑥 − 0.3)(𝑥 − 0.4)
𝐿3,0 (𝑥) = −
0.006


(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )
𝐿3,1 (𝑥) =
(𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥3 )

(𝑥 − 0.1)(𝑥 − 0.3)(𝑥 − 0.4)
𝐿3,1 (𝑥) =
(0.2 − 0.1)(0.2 − 0.3)(0.2 − 0.4)

(𝑥 − 0.1)(𝑥 − 0.3)(𝑥 − 0.4)
𝐿3,1 (𝑥) =
0.002


(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥3 )
𝐿3,2 (𝑥) =
(𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥2 − 𝑥3 )

(𝑥 − 0.1)(𝑥 − 0.2)(𝑥 − 0.4)
𝐿3,2 (𝑥) =
(0.3 − 0.1)(0.3 − 0.2)(0.3 − 0.4)

(𝑥 − 0.1)(𝑥 − 0.2)(𝑥 − 0.4)
𝐿3,2 (𝑥) = −
0.002