Summary
Samenvatting Analyse (FEB21021)
- Course
- Institution
Uitgebreide samenvatting van Analyse (econometrie EUR)
[Show more]
Seller
Follow
LeonVerweij
Reviews received
Content preview
Week 1Functie
f : A → B zodat 𝑎 ↦ 𝑓(𝑎) is gegeven door het domein A, co-domein B en de regel
𝑎 ↦ 𝑓(𝑎)
Elementaire functies
𝑥 ↦ 𝑥 ! , 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑝 ∈ ℤ
𝑥 ↦ 𝑎 " , 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑎 > 0
𝑥 ↦ sin(𝑥) , 𝑥 ↦ cos (𝑥)
Nieuwe functies opstellen voor een gegeven f en g
- Som f + g
- Scalaire vermenigvuldiging c x f voor een constante c ∈ ℝ
- Product f x g
- Compositie f ∘ g
- Inverse f-1 (als f inverteerbaar is)
Compositie
2 functies 𝑓: 𝐴 → 𝐵 en 𝑔: 𝐶 → 𝐷, neem aan dat 𝐷 ⊆ 𝐴
De compositie 𝑓 ∘ 𝑔: 𝐶 → 𝐵 is gegeven door (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓A𝑔(𝑥)B voor alle 𝑥 ∈ ℂ
Identiteitsfunctie
𝑖𝑑# : 𝐴 → 𝐴, 𝑎 ↦ 𝑎
Inverse functie
2 functies 𝑓: 𝐴 → 𝐵 en 𝑔: 𝐵 → 𝐴
f en g zijn elkaar inverse functies als 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑖𝑑$ en 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑#
Dat betekent 𝑓A𝑔(𝑏)B = 𝑏, ∀𝑏 ∈ 𝐵 en 𝑔A𝑓(𝑎)B = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐴
Als een functie inverteerbaar is, dan is de inverse uniek
Injectieve functie
𝑓: 𝐴 → 𝐵 is injectief als voor " x1, x2 Î A zodat x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)
Û f is injectief als voor " x1, x2 Î A zodat f(x1) = f(x2) Þ x1 = x2
Surjectieve functie
𝑓: 𝐴 → 𝐵 is surjectief als " y Î B, $ x Î A zodat f(x) = y
Bijectieve functie
f is bijectief als het injectief én surjectief is
Bijectieve en inverteerbare functie
𝑓: 𝐴 → 𝐵, dan is f inverteerbaar Û f is bijectief
Monotone functie
𝑓: 𝐴 → 𝐵 is strikt stijgend als voor elke 𝑥% , 𝑥& ∈ 𝐴 𝑚𝑒𝑡 𝑥% < 𝑥& geldt dat 𝑓(𝑥% ) < 𝑓(𝑥& )
𝑓: 𝐴 → 𝐵 is strikt dalend als voor elke 𝑥% , 𝑥& ∈ 𝐴 𝑚𝑒𝑡 𝑥% < 𝑥& geldt dat 𝑓(𝑥% ) > 𝑓(𝑥& )
𝑓 is strikt monotoon als het strikt stijgend of strikt dalend is
Symmetrische functie
f is even als 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐴
f is oneven als −𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐴
Strikt monotoon en injectief
Als f strikt monotoon is, dan is f injectief
Definitie limiet
𝑓: 𝐴 → 𝐵 met 𝐴 ∈ ℝ open en 𝐵 ∈ ℝ, dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 als voor elke 𝜀 > 0, er een 𝛿 > 0
"→(
bestaat zodat voor elke 𝑥 ∈ 𝐴, als 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, impliceert dat |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Limiet bij oneindigheid
𝑓: 𝐴 → 𝐵 met 𝐴 ∈ ℝ en 𝐵 ∈ ℝ, dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 als voor elke 𝜀 > 0, er een M > 0
"→)
bestaat, zodat x > M impliceert dat |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
, Oneindig limiet
𝑓: 𝐴 → 𝐵 met 𝐴 ∈ ℝ open en 𝐵 ∈ ℝ, dan lim 𝑓(𝑥) = ∞ als voor elke 𝑀 > 0, er een 𝛿 > 0
"→(
bestaat, zodat 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 impliceert dat 𝑓(𝑥) > 𝑀
Somregel limieten
f en g 2 functies van A naar B, als lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 en lim 𝑔(𝑥) = 𝑀 dan
"→( "→(
lim (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐿 + 𝑀
"→(
Limietregels
Als lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 en lim 𝑔(𝑥) = 𝑀 dan
"→( "→(
- lim (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = 𝐿 − 𝑀
"→(
- lim (𝑐 ∗ 𝑓(𝑥)) = 𝑐 ∗ 𝐿 voor elke 𝑐 ∈ ℝ
"→(
- lim (𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)) = 𝐿 ∗ 𝑀
"→(
*(") .
- lim = / als 𝑀 ≠ 0
"→( -(")
Limiet ongelijkheid
f en g 2 functies van A naar B, neem aan dat 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐴 en dat
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 en lim 𝑔(𝑥) = 𝑀, dan 𝐿 ≤ 𝑀
"→( "→(
Insluitstelling (squeeze theorem)
f, g en h functies van A naar B, neem aan dat 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐴 en dat
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 en lim ℎ(𝑥) = 𝐿, dan lim 𝑔(𝑥) = 𝐿
"→( "→( "→(
Continuïteit
Een functie f is continu op een punt 𝑎 ∈ 𝐴 als lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
"→(
Een functie is continu als het continu is op elk punt
Discontinuïteit
Als een functie niet continu is, dan is het 1 van de 3 vormen van discontinuïteit:
- Ophefbare discontinuïteit (gat in de grafiek)
- Essentiële discontinuïteit (oneindig)
- Sprong discontinuïteit (sprong van een punt naar een ander punt)
Regels continuïteit
Als f en g continu zijn, dan zijn f + g, f * g, c * f en f ◦ g ook continu, is f / g continu op x als
𝑔(𝑥) ≠ 0, en als f inverteerbaar is, dan is 𝑓 0% continu
De functies 𝑥 ! , 𝑎 " , sin(𝑥) en cos (𝑥) zijn continu op hun domein
Limieten en functiesymbolen verwisseld
Als h continu is op b en lim 𝑘(𝑥) = 𝑏, dan lim ℎA𝑘(𝑥)B = ℎ \lim 𝑘(𝑥)] = ℎ(𝑏)
"→( "→( "→(
Tussenwaarde stelling
Als f : A à B continu is op [𝑎, 𝑏], 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 en 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏), dan ∀𝑁 zodat 𝑓(𝑎) < 𝑁 < 𝑓(𝑏)
of 𝑓(𝑏) < 𝑁 < 𝑓(𝑎), ∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) zodat 𝑓(𝑐) = 𝑁
Week 2
Afgeleide van een functie
*(")0*(()
𝑓: 𝐴 → 𝐵, dan is de functie differentieerbaar op 𝑎 ∈ 𝐴 als lim "0( bestaat
"→(
In dat geval is de afgeleide van f de limiet en is 𝑓 1 (𝑎)
f is differentieerbaar als f op elke 𝑎 ∈ 𝐴 differentieerbaar is
*((42)0*(()
De afgeleide kan ook verkregen worden met lim 2
(x = a + h)
2→3
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller LeonVerweij. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $8.05. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
73314 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now