Mat1512 Assignment 4 2023

MAT1512
ASSIGNMENT 4
2023

, QUESTION 1




Solution:



a).


1 1
∫ (sin(x) + + cos(x)) dx = ∫ sin(x) dx + ∫ dx + ∫ cos(x) dx
x x
= − cos(x) + ln(x) + C
= sin(x) − cos(x) + ln(x) + C

,b).



2 (x)
∫ ecos sin(2x) dx



du
Let: u = cos 2 (x) ⇒ = −2 sin(x) cos(x)
dx
du
= − sin(2x)
dx
du
dx = − then
sin(2x)


2 (x) du
∫ ecos sin(2x) dx = ∫ eu sin(2x) ∙ −
sin(2x)

= − ∫ eu du

= −eu + C ∴ u = cos2 (x)
2 (x)
= −ecos +C



c).



√1 + ln(x)
∫ dx
x


du 1
Let: u = 1 + ln(x) ⇒ =
dx x
dx = x du



√1 + ln(x) √u
∫ dx = ∫ ∙ x du
x x

= ∫ √u du

1
= ∫ u2 du

, 1
u2+1
= +C
1
2 + 1
3
u2
= +C
3
(2)

2 3
= (√u) + C ∴ u = 1 + ln(x)
3
2 3
= (√1 + ln(x)) + C
3


d).



sin(x)
∫ dx
2 + 5 cos(x)


du
Let: u = 2 + 5 cos(x) ⇒ = −5 sin(x)
dx
du
dx = −
5 sin(x)


sin(x) sin(x) du
∫ dx = ∫ ∙ −
2 + 5 cos(x) u 5 sin(x)
1 1
= − ∫ du
5 u
1
= − ln|u| + C ∴ u = 2 + 5 cos(x)
5
1
= − ln|2 + 5 cos(x)| + C
5


e).



∫ cos 3 (x) dx = ∫ cos(x) cos2 (x) dx ∴ cos2 (x) = 1 − sin2 (x)


∫ cos 3 (x) dx = ∫ cos(x) [1 − sin2 (x)] dx