TN2306 SAMENVATTING
Quantum Engineering
and Applications
TN2306
Samenvatting
Pagina 1 van 12
, TN2306 SAMENVATTING
College 1 De qubit
Quantum bit (qubit)
Een qubit is een kwantumsysteem met 2 opties, up of down. In deze cursus beschouwen
we kwantumstaten niet als functies maar als vectoren. Een qubit wordt beschreven als:
( )
⎛ α ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
ψ =⎜ ⎟ = α 0 + β 1 met 0 = ⎜ ⎟ en 1 = ⎜ ⎟ . ψ = α ∗ 0 + β ∗ 1 = α ∗ β ∗ en
⎝ β ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠
P( 0 ) = α en P ( 1 ) = β .
2 2
Bloch sphere
De complexe getallen α en β kunnen ook met modulus en argument
⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞
geschreven worden in α = eiγ cos ⎜ ⎟ en β = eiγ eiφ sin ⎜ ⎟ . Dan wordt
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎛ ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞ ⎞
de vectorfunctie van de qubit: ψ = eiγ ⎜ cos ⎜ ⎟ 0 + eiφ sin ⎜ ⎟ 1 ⎟
⎝ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎠
met θ ,φ ∈[ 0, π ] en eiγ de globale fase, die voor de metingen niet
relevant is. Deze vorm helpt bij het tekenen op de Bloch sphere.
Inproduct
( )
⎛ α1 ⎞
Het inproduct is gedefinieerd als: ψ 0 | ψ 1 = α 0∗ β 0∗ ⎜ ⎟ = α 0 α 1 + β 0 β1 .
∗ ∗
We
⎜⎝ β1 ⎟⎠
2
definiëren ψ 0 | ψ 1 als de kans dat we ψ 1 meten wetende dat op t = 0 het systeem in
ψ 0 was.
Pauli-operatoren
Metingen worden gedaan door het toepassen van een hermitische ( X † = X )
eenheidsmatrix ( X † X = I ) X op een golffunctie. Dan zijn de uitkomsten de eigenwaarden
xi . De kans op een bepaalde eigenwaarde is: P ( xi ) = xi | ψ
2
. Na een meting vindt de
‘collapse of the wavefunction’ plaats.
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞
De Pauli-operatoren zijn: σ z = ⎜ 1 = 0 0 − 1 1 (phase-flip), σ x = ⎜ = 0 1+1 0
⎟
⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎟⎠
⎛ ⎞
(bit flip) en σ y = ⎜ 0 −i ⎟ = i 1 0 − i 0 1 (phase en bit flip)
⎝ i 0 ⎠
Schrödingervergelijking
De Hamiltoniaan voor een qubit is de 2x2 matrix H . Als de eigenwaarden Ei en
eigenvectoren ν i bekend zijn is de oplossing: ψ ( t ) = ∑ ci e−iEt /! ν i met ci = ν i | ψ .
i
! !
Hieruit volgt de time-evolution matrix U via: U ( t ) = (ψ 0 ( t ) ,ψ 1 ( t ) ,...) .
Pagina 2 van 12
Quantum Engineering
and Applications
TN2306
Samenvatting
Pagina 1 van 12
, TN2306 SAMENVATTING
College 1 De qubit
Quantum bit (qubit)
Een qubit is een kwantumsysteem met 2 opties, up of down. In deze cursus beschouwen
we kwantumstaten niet als functies maar als vectoren. Een qubit wordt beschreven als:
( )
⎛ α ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
ψ =⎜ ⎟ = α 0 + β 1 met 0 = ⎜ ⎟ en 1 = ⎜ ⎟ . ψ = α ∗ 0 + β ∗ 1 = α ∗ β ∗ en
⎝ β ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠
P( 0 ) = α en P ( 1 ) = β .
2 2
Bloch sphere
De complexe getallen α en β kunnen ook met modulus en argument
⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞
geschreven worden in α = eiγ cos ⎜ ⎟ en β = eiγ eiφ sin ⎜ ⎟ . Dan wordt
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎛ ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞ ⎞
de vectorfunctie van de qubit: ψ = eiγ ⎜ cos ⎜ ⎟ 0 + eiφ sin ⎜ ⎟ 1 ⎟
⎝ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎠
met θ ,φ ∈[ 0, π ] en eiγ de globale fase, die voor de metingen niet
relevant is. Deze vorm helpt bij het tekenen op de Bloch sphere.
Inproduct
( )
⎛ α1 ⎞
Het inproduct is gedefinieerd als: ψ 0 | ψ 1 = α 0∗ β 0∗ ⎜ ⎟ = α 0 α 1 + β 0 β1 .
∗ ∗
We
⎜⎝ β1 ⎟⎠
2
definiëren ψ 0 | ψ 1 als de kans dat we ψ 1 meten wetende dat op t = 0 het systeem in
ψ 0 was.
Pauli-operatoren
Metingen worden gedaan door het toepassen van een hermitische ( X † = X )
eenheidsmatrix ( X † X = I ) X op een golffunctie. Dan zijn de uitkomsten de eigenwaarden
xi . De kans op een bepaalde eigenwaarde is: P ( xi ) = xi | ψ
2
. Na een meting vindt de
‘collapse of the wavefunction’ plaats.
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞
De Pauli-operatoren zijn: σ z = ⎜ 1 = 0 0 − 1 1 (phase-flip), σ x = ⎜ = 0 1+1 0
⎟
⎝ 0 −1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎟⎠
⎛ ⎞
(bit flip) en σ y = ⎜ 0 −i ⎟ = i 1 0 − i 0 1 (phase en bit flip)
⎝ i 0 ⎠
Schrödingervergelijking
De Hamiltoniaan voor een qubit is de 2x2 matrix H . Als de eigenwaarden Ei en
eigenvectoren ν i bekend zijn is de oplossing: ψ ( t ) = ∑ ci e−iEt /! ν i met ci = ν i | ψ .
i
! !
Hieruit volgt de time-evolution matrix U via: U ( t ) = (ψ 0 ( t ) ,ψ 1 ( t ) ,...) .
Pagina 2 van 12
