1) GETALLENKENNIS
1.1) FUNCTIES VAN GETALLEN
Getal als HOEVEELHEID
Het getal zegt hoeveel voorwerpen, dingen, mensen… er zijn.
Het wordt gebruikt om een aantal van iets te weergeven.
Het aanduiden van een hoeveelheid wordt ook wel kardinatie genoemt.
De gebruikte getallen noem je de kardinale getallen.
Bv. er kunnen bijna 100 000 mensen in het stadium in Barcelona, er liggen 5 radijsjes op de tafel…
Getal als RANGORDE
Het getal duidt een bepaalde logische volgorde aan.
Het kan een volgorde zijn in de ruimte of tijd.
Hierbij moet het duidelijk zijn waar de nummering begint en in welke richting deze verdergaat.
Dat benoem je met het begrip ordinatie.
Het ordeningsaspect duidt je aan met ordinale getallen oftewel rangtelwoorden als eerste (1e), tweede (2e)…
Bv. pagina 14 komt net na pagina 13, Anna was als tweede klaar met haar opdracht…
Getal als CODE
Het getal drukt een unieke combinatie uit waarbij de cijfers los te begrijpen zijn en als kenteken of label enkele betekenis
hebben voor iedereen die weet wat de code inhoudt.
Een code bestaat uit cijfers maar kan ook uit letters bestaan of een andere combinatie van beide.
Bv. nummerplaat, bestelcode, rekeningnummer, code van je bankkaart…
Mensen geven codes aan odner andere diensten, voorwerpen en plaatsen volgens een systeem.
Bv. in neem bus 34 naar Brussel-Noord, R4 is de code coor de grote ring rond Gent, Ik heb les in lokaal N218…
Getal als VERHOUDING
Het getal kan een verhouding uitdrukken: het ene deel verhoudt zich tot het geheel.
Dat geheel kun je op verschillende manieren uitdrukken: als breuk of procent.
Bv. 1 op de 4 oftewel ¼, 30% van alle kinderen op school komt met de fiets…
Om de exacte hoeveelheid te bepalen heb je meer informatie nodig.
De waarde van het getal is afhankelijk van de gebruikte eenheid.
Bv. Persoon 1 heeft 9 flessen limonade nodig, persoon 2 vraagt zich af of het 9 kleine of grote flessen zijn, dus met het
aantal 9 is het niet duidelijk welke flessen limonade hij moet geven.
Wanneer het getal de verhouding uitdrukt tussen de te meten hoeveelheid en de gebruikte eenheid, dan spreek je van
een maatgetal. De gebruikte eenheid noemt de maateenheid: cm, m, km, g, kg, ton, ml, dl, l, uur, min…
Een getal als maatgetal is dus een speciaal geval van een getal als verhouding.
Bv. als je zegt dat iets 70g weegt, dan is die 70 enkel geldig als je het uitdrukt in die eenheid.
Als je het in kg uitdrukt, dan is die 70kg duizend keer zwaarder dan die 70g.
, 1.2) TALSTELSELS
Talstelsel = wiskundig systeem om getallen voor te stellen.
Er zijn 2 grote soorten getallensystemen:
Additief systeem Positiesysteem
Het getal wordt bepaald door de waarden van de Het getal wordt bepaald door de plaats van het symbool
symbolen op te tellen. en de waarde ervan.
De plaats van de symbolen speelt geen rol, ook de Het baseert zich op een hoeveelheid die ons zegt per
onderlinge grootte niet. hoeveel er gegroepeerd wordt.
De gekozen symbolen stellen vaak machten van 10 voor Dit getal heet het grondtal of de basis van het talstelsel.
die zoveel keer als nodig herhaald worden.
Bv. Egyptisch talstelsel, Romeinse cijfers Bv. babylonische symbolen, de Maya’s
Het tiendelige of decimale talstelsel
Ons getallensysteem is gebaseerd op de tien-structuur.
Decimaal komt van het latijnse woord decima en het betekent tiendelig.
In dit talstelsel werk je met het grondtal 10, wat betekent dat we per 10 groeperen.
We gebruiken 10 Arabisch-Indische cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 waarmee we oneindig veel getallen mee vormen.
Vanaf het getal 10 gebruik je een combinatie van cijfers om getallen voor te stellen.
Bv. In 35 kralen is het getal 35 voorgesteld door de cijfers 3 en 5, waarbij 3 staat voor 3 tientallen en 5 voor 5 eenheden.
M HD TD D H T E t h d
miljoenental
Hodnerdtal
honderdtal
Duizendtal
duizendtal
duizendtal
duizendtal
Honderd-
Eenheid
Tiental
tiental
Tien-
1 4 6 5 1 4 6
Bv. 1 465 146 = 1 miljoen vierhonderdvijfenzestig duizend honderdzesenveertig
Er zijn regels om onze getallen te schrijven:
o Tot het getal 1 000 schrijf je het volledige getal in 1 woord.
o Het duizendtal schrijf je aan elkaar, gevolgd door een spatie en dan de rest van het getal in 1 woord.
o Bij miljoen en miljard schrijf je eerst het aantal, dan een spatie en dan het woord miljoen of miljard.
o Boven de 1 000 lees je het getal in groepjes van 3 en na elk groepje benoem je de rang.
Bv. 946 253 701 = negenhonderzesenveertig miljoen tweehonderddrieënvijftig duizend zevenhondereneen
1 000 000 000 1000 miljoen 1 miljard
1 000 000 000 000 1000 miljard 1 biljoen
1 000 000 000 000 000 1000 biljoen 1 biljard
1 000 000 000 000 000 000 1000 biljard 1 triljoen
1 000 000 000 000 000 000 000 1000 triljoen 1 triljard
Het binaire talstelsel
Het binaire of tweetallige stelsel heeft een grontal 2.
Het stelsel werkt enkel met cijfers 0 en 1 dat komt omdat computersystemen gebruik maken van bits om informatie te
onthouden. Bij de werking van bits zijn er slechts 2 standen, namelijk aan (1) of uit (0).
Decimaal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Binair 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
, Het Romeins talstelsel
Het Romeins talstelsel is een voorbeeld van een additief systeem.
Maar ze voerden ook een subtractief (=aftrekken) element in.
Bv. de hoeveelheid 40 kun je in een additief talstelsel voorstellen als XXXX, maar dat oogt onoverzichtelijk.
Ze voerden een nieuw symbool in: L = 50.
Door de regel dat een X voor een L betekent dat je 10 aftrekt van 50, krijg je de hoeveelheid 40.
I 1 V 5
X 10 L 50
C 100 D 500
M 1 000
o De symbolen I, X, C en M komen hoogstens 3 keer na elkaar voor.
De andere symbolen V, L, D komen nooit meerdere keren na elkaar voor.
Bv. MMMDCCCLXXXVIII = 3 888
o Komt een symbool met een hogere waarde voor een symbool met een lagere, dan tel je de getalwaarden bij elkaar.
Bv. MDCLVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 5 + 1 = 1 656
o Komt een symbool met een lagere waarde voor een symbool met een hogere, dan trek je deze van elkaar af.
Bv. CM = 1000 – 100 = 900
Om een getal van Arabisch-Indische cijfers om te zetten naar Romeinse cijfers, splits je deze in rangen.
Elke rang wordt afzonderlijk in een Romeins cijfer omgezet.
1 999
1 000 900 90 9
M CM XC IX
MCMXCIX
, 1.3) GETALVERZAMELINGEN
-2 28% √2
0 -0,45
-14
𝜋
1 8 ℕ ℤ 8/5 ℚ ℝ
12 435 -𝜋
0,33…
-76
3,14…
-4/6
Natuurlijke getallen ℕ
NATUURLIJKE GETALLEN = de getallen waarmee je hoeveelheden aanduidt die er effectief zijn, die ‘natuur’-lijk zijn.
Om natuurlijke getallen te noteren is de afspraak om voor het getal een positief toestandsteken te plaatsen.
Bv. + 2 = 2, +16 = 16…
Een positief getal = een getal dat gelijk of groter dan nul is. 0
Een strikt positief getal = een getal dat groter is dan nul.
1 8 ℕ
12 435
Gehele getallen ℤ
De omgekeerde bewerking van de optelling is de aftrekking.
De uitbreiding van de natuurlijke getallen is er gekomen als gevolg van problemen bij het optellen:
o … + 3 = 4 → om te weten wat op … komt, voer je de omgekeerde bewerking 4 – 3 = 1 uit. 1 is een natuurlijk getal.
o … + 3 = 1 → er bestaat geen getal dat ervoor zorgt dat 1 – 3 = …, een natuurlijke getal is.
Door de verzameling van natuurlijke getallen uit te breiden met de negatieve getallen, gaat het wel.
Bv. 1 – 3 = -2 en -2 + 3 = 1
GEHELE GETALLEN = de uitgebreide verzameling van de natuurlijke getallen met de negatieve gehele getallen.
Voor elk postief getal bestaat er een bijhorend negatief geheel getal.
Dat noteer je door een negatief toestandsteken voor het getal te zetten.
De som van deze getallen is altijd 0. -2
Bv. -1 + 1 = 0, -16 + 16 = 0… 0
-14
1 8 ℕ ℤ
12 435
-76
1.1) FUNCTIES VAN GETALLEN
Getal als HOEVEELHEID
Het getal zegt hoeveel voorwerpen, dingen, mensen… er zijn.
Het wordt gebruikt om een aantal van iets te weergeven.
Het aanduiden van een hoeveelheid wordt ook wel kardinatie genoemt.
De gebruikte getallen noem je de kardinale getallen.
Bv. er kunnen bijna 100 000 mensen in het stadium in Barcelona, er liggen 5 radijsjes op de tafel…
Getal als RANGORDE
Het getal duidt een bepaalde logische volgorde aan.
Het kan een volgorde zijn in de ruimte of tijd.
Hierbij moet het duidelijk zijn waar de nummering begint en in welke richting deze verdergaat.
Dat benoem je met het begrip ordinatie.
Het ordeningsaspect duidt je aan met ordinale getallen oftewel rangtelwoorden als eerste (1e), tweede (2e)…
Bv. pagina 14 komt net na pagina 13, Anna was als tweede klaar met haar opdracht…
Getal als CODE
Het getal drukt een unieke combinatie uit waarbij de cijfers los te begrijpen zijn en als kenteken of label enkele betekenis
hebben voor iedereen die weet wat de code inhoudt.
Een code bestaat uit cijfers maar kan ook uit letters bestaan of een andere combinatie van beide.
Bv. nummerplaat, bestelcode, rekeningnummer, code van je bankkaart…
Mensen geven codes aan odner andere diensten, voorwerpen en plaatsen volgens een systeem.
Bv. in neem bus 34 naar Brussel-Noord, R4 is de code coor de grote ring rond Gent, Ik heb les in lokaal N218…
Getal als VERHOUDING
Het getal kan een verhouding uitdrukken: het ene deel verhoudt zich tot het geheel.
Dat geheel kun je op verschillende manieren uitdrukken: als breuk of procent.
Bv. 1 op de 4 oftewel ¼, 30% van alle kinderen op school komt met de fiets…
Om de exacte hoeveelheid te bepalen heb je meer informatie nodig.
De waarde van het getal is afhankelijk van de gebruikte eenheid.
Bv. Persoon 1 heeft 9 flessen limonade nodig, persoon 2 vraagt zich af of het 9 kleine of grote flessen zijn, dus met het
aantal 9 is het niet duidelijk welke flessen limonade hij moet geven.
Wanneer het getal de verhouding uitdrukt tussen de te meten hoeveelheid en de gebruikte eenheid, dan spreek je van
een maatgetal. De gebruikte eenheid noemt de maateenheid: cm, m, km, g, kg, ton, ml, dl, l, uur, min…
Een getal als maatgetal is dus een speciaal geval van een getal als verhouding.
Bv. als je zegt dat iets 70g weegt, dan is die 70 enkel geldig als je het uitdrukt in die eenheid.
Als je het in kg uitdrukt, dan is die 70kg duizend keer zwaarder dan die 70g.
, 1.2) TALSTELSELS
Talstelsel = wiskundig systeem om getallen voor te stellen.
Er zijn 2 grote soorten getallensystemen:
Additief systeem Positiesysteem
Het getal wordt bepaald door de waarden van de Het getal wordt bepaald door de plaats van het symbool
symbolen op te tellen. en de waarde ervan.
De plaats van de symbolen speelt geen rol, ook de Het baseert zich op een hoeveelheid die ons zegt per
onderlinge grootte niet. hoeveel er gegroepeerd wordt.
De gekozen symbolen stellen vaak machten van 10 voor Dit getal heet het grondtal of de basis van het talstelsel.
die zoveel keer als nodig herhaald worden.
Bv. Egyptisch talstelsel, Romeinse cijfers Bv. babylonische symbolen, de Maya’s
Het tiendelige of decimale talstelsel
Ons getallensysteem is gebaseerd op de tien-structuur.
Decimaal komt van het latijnse woord decima en het betekent tiendelig.
In dit talstelsel werk je met het grondtal 10, wat betekent dat we per 10 groeperen.
We gebruiken 10 Arabisch-Indische cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 waarmee we oneindig veel getallen mee vormen.
Vanaf het getal 10 gebruik je een combinatie van cijfers om getallen voor te stellen.
Bv. In 35 kralen is het getal 35 voorgesteld door de cijfers 3 en 5, waarbij 3 staat voor 3 tientallen en 5 voor 5 eenheden.
M HD TD D H T E t h d
miljoenental
Hodnerdtal
honderdtal
Duizendtal
duizendtal
duizendtal
duizendtal
Honderd-
Eenheid
Tiental
tiental
Tien-
1 4 6 5 1 4 6
Bv. 1 465 146 = 1 miljoen vierhonderdvijfenzestig duizend honderdzesenveertig
Er zijn regels om onze getallen te schrijven:
o Tot het getal 1 000 schrijf je het volledige getal in 1 woord.
o Het duizendtal schrijf je aan elkaar, gevolgd door een spatie en dan de rest van het getal in 1 woord.
o Bij miljoen en miljard schrijf je eerst het aantal, dan een spatie en dan het woord miljoen of miljard.
o Boven de 1 000 lees je het getal in groepjes van 3 en na elk groepje benoem je de rang.
Bv. 946 253 701 = negenhonderzesenveertig miljoen tweehonderddrieënvijftig duizend zevenhondereneen
1 000 000 000 1000 miljoen 1 miljard
1 000 000 000 000 1000 miljard 1 biljoen
1 000 000 000 000 000 1000 biljoen 1 biljard
1 000 000 000 000 000 000 1000 biljard 1 triljoen
1 000 000 000 000 000 000 000 1000 triljoen 1 triljard
Het binaire talstelsel
Het binaire of tweetallige stelsel heeft een grontal 2.
Het stelsel werkt enkel met cijfers 0 en 1 dat komt omdat computersystemen gebruik maken van bits om informatie te
onthouden. Bij de werking van bits zijn er slechts 2 standen, namelijk aan (1) of uit (0).
Decimaal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Binair 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
, Het Romeins talstelsel
Het Romeins talstelsel is een voorbeeld van een additief systeem.
Maar ze voerden ook een subtractief (=aftrekken) element in.
Bv. de hoeveelheid 40 kun je in een additief talstelsel voorstellen als XXXX, maar dat oogt onoverzichtelijk.
Ze voerden een nieuw symbool in: L = 50.
Door de regel dat een X voor een L betekent dat je 10 aftrekt van 50, krijg je de hoeveelheid 40.
I 1 V 5
X 10 L 50
C 100 D 500
M 1 000
o De symbolen I, X, C en M komen hoogstens 3 keer na elkaar voor.
De andere symbolen V, L, D komen nooit meerdere keren na elkaar voor.
Bv. MMMDCCCLXXXVIII = 3 888
o Komt een symbool met een hogere waarde voor een symbool met een lagere, dan tel je de getalwaarden bij elkaar.
Bv. MDCLVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 5 + 1 = 1 656
o Komt een symbool met een lagere waarde voor een symbool met een hogere, dan trek je deze van elkaar af.
Bv. CM = 1000 – 100 = 900
Om een getal van Arabisch-Indische cijfers om te zetten naar Romeinse cijfers, splits je deze in rangen.
Elke rang wordt afzonderlijk in een Romeins cijfer omgezet.
1 999
1 000 900 90 9
M CM XC IX
MCMXCIX
, 1.3) GETALVERZAMELINGEN
-2 28% √2
0 -0,45
-14
𝜋
1 8 ℕ ℤ 8/5 ℚ ℝ
12 435 -𝜋
0,33…
-76
3,14…
-4/6
Natuurlijke getallen ℕ
NATUURLIJKE GETALLEN = de getallen waarmee je hoeveelheden aanduidt die er effectief zijn, die ‘natuur’-lijk zijn.
Om natuurlijke getallen te noteren is de afspraak om voor het getal een positief toestandsteken te plaatsen.
Bv. + 2 = 2, +16 = 16…
Een positief getal = een getal dat gelijk of groter dan nul is. 0
Een strikt positief getal = een getal dat groter is dan nul.
1 8 ℕ
12 435
Gehele getallen ℤ
De omgekeerde bewerking van de optelling is de aftrekking.
De uitbreiding van de natuurlijke getallen is er gekomen als gevolg van problemen bij het optellen:
o … + 3 = 4 → om te weten wat op … komt, voer je de omgekeerde bewerking 4 – 3 = 1 uit. 1 is een natuurlijk getal.
o … + 3 = 1 → er bestaat geen getal dat ervoor zorgt dat 1 – 3 = …, een natuurlijke getal is.
Door de verzameling van natuurlijke getallen uit te breiden met de negatieve getallen, gaat het wel.
Bv. 1 – 3 = -2 en -2 + 3 = 1
GEHELE GETALLEN = de uitgebreide verzameling van de natuurlijke getallen met de negatieve gehele getallen.
Voor elk postief getal bestaat er een bijhorend negatief geheel getal.
Dat noteer je door een negatief toestandsteken voor het getal te zetten.
De som van deze getallen is altijd 0. -2
Bv. -1 + 1 = 0, -16 + 16 = 0… 0
-14
1 8 ℕ ℤ
12 435
-76
