Linear Algebra – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B203-B-6 · Levi S., MSc
Linear Algebra – uitleg vanaf nul
Voor de bachelor Econometrics & Operations Research, Tilburg University
Boek: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications · H1–H4 en H6 (orthogonaliteit, least squares)
Made by Levi S.
Master of Science
Lees dit eerst
Dit document is geschreven voor iemand die nu nog niks van het vak snapt en een voldoende wil
halen. Het doel is niet alles te bewijzen, maar dat je het grote plaatje ziet: welk probleem je oplost,
welke trucs daarvoor bestaan, en hoe alle begrippen eigenlijk over hetzelfde gaan.
• Taal: uitleg in het Nederlands, maar de vaktermen staan vetgedrukt in het Engels, want zo
staan ze op het tentamen en in Lay.
• Volgorde: lees het van voor naar achter. Elk hoofdstuk bouwt op het vorige. Hoofdstuk 2
(rijreductie) is het fundament: als je dat beheerst, kun je de helft van het tentamen al maken.
• Elke sectie: in gewone woorden → formules → uitgewerkt voorbeeld → recept → valkuilen.
• Eerlijk: de onderwerpenlijst komt uit Tilburgse vakbeschrijvingen van het programma. Check
de studiehandleiding op Canvas of precies dezelfde secties dit jaar tentamenstof zijn, en vooral:
maak oude tentamens. Lezen alleen is niet genoeg voor dit vak.
1 Het grote plaatje: waar gaat dit vak over?
In gewone woorden
Bijna het hele vak draait om één vraag:
Ax = b — heeft dit een oplossing, hoeveel, en welke?
A is een tabel getallen (een matrix), b is een lijstje getallen (een vector), en x is wat je zoekt. Alle
begrippen in dit vak zijn verschillende brillen om naar deze ene vergelijking te kijken.
Stelsel van vergelijkingen Lineaire combinatie
oplossen met is b te maken uit de
rijreductie (§2) kolommen van A? (§3–§4)
Inverse & determinant
Transformatie Ax = b
wanneer precies één
A als machine: x 7→ Ax (§5) het kernprobleem oplossing? (§6–§8)
Deelruimten Orthogonaliteit
Col A, Nul A, basis, geen oplossing? neem de
rang (§9–§10) beste benadering (§11–§12)
De drie mogelijke uitkomsten van elk stelsel (dit moet je nooit meer vergeten):
Uitkomst Hoe zie je het na rijreductie? Meetkundig (2 lijnen)
geen oplossing (inconsistent) een rij [ 0 · · · 0 | c ] met c ̸= 0 evenwijdige lijnen
precies één oplossing elke variabele heeft een pivot lijnen snijden in één punt
oneindig veel oplossingen consistent en er is een vrije variabele lijnen vallen samen
Er bestaat nooit “precies twee” of “precies vijf” oplossingen. Het is altijd 0, 1 of ∞.
1
, Linear Algebra – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B203-B-6 · Levi S., MSc
2 Stelsels oplossen met rijreductie (Lay 1.1–1.2)
In gewone woorden
Je zet het stelsel in een tabel (de augmented matrix) en maakt die stap voor stap “schoner” met
drie toegestane bewerkingen, tot je de oplossing zo kunt aflezen. Dat heet row reduction of
Gauss-eliminatie. Dit is de belangrijkste vaardigheid van het hele vak: bijna elke andere vraag
los je uiteindelijk op met rijreductie.
De drie toegestane rijoperaties (elementary row operations)
1. Replacement: tel een veelvoud van een andere rij op bij een rij: R2 ← R2 − 2R1 .
2. Interchange: wissel twee rijen: R1 ↔ R3 .
3. Scaling: vermenigvuldig een rij met een getal ̸= 0: R2 ← 21 R2 .
Deze operaties veranderen de oplossingsverzameling niet. Daarom mag je ze gebruiken.
Vormen. Een matrix is in echelon form (trapvorm) als: nulrijen staan onderaan, en elk eerste niet-
nul getal van een rij (de leading entry) staat rechts van dat van de rij erboven. Reduced echelon
form (RREF): bovendien is elke leading entry een 1 en staan er boven en onder die 1 alleen nullen.
De posities van die leading 1’s heten pivot positions; de kolommen waarin ze staan heten pivot
columns.
■ ∗ ∗ ∗ 1 0 ∗ 0
echelon form: 0 ■ ∗ ∗ reduced echelon form: 0 1 ∗ 0 (■ ̸= 0, ∗ = willekeurig)
0 0 0 ■ 0 0 0 1
Voorbeeld (met een vrije variabele)
Los op: x1 + 2x2 + x3 = 4, 2x1 + 4x2 + 3x3 = 9, x1 + 2x2 + 2x3 = 5.
1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 0 3
R2 −2R1 R3 − R2 R1 − R2
2 4 3 9 − −−−→ 0 0 1 1 −−− → 0 0 1 1 − −−→ 0 0 1 1
R3 − R1
1 2 2 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Pivots in kolom 1 en 3 ⇒ x1 , x3 zijn basic variables, x2 is een free variable. Lees af:
x1 = 3 − 2x2 , x2 vrij, x3 = 1.
Geen rij [0 0 0 | c ̸= 0], dus consistent; wel een vrije variabele, dus oneindig veel oplossingen.
Recept: een stelsel oplossen
1. Schrijf de augmented matrix [ A | b].
2. Naar beneden: maak met de eerste pivot alle getallen eronder 0. Ga naar de volgende
kolom, herhaal.
3. Check: is er een rij [0 · · · 0 | c] met c ̸= 0? ⇒ geen oplossing, klaar.
4. Naar boven: maak de pivots 1 en alles erboven 0 (RREF).
5. Pivotkolommen = basisvariabelen, de rest = vrije variabelen. Schrijf elke basisvariabele uit
in termen van de vrije.
2
Linear Algebra – uitleg vanaf nul
Voor de bachelor Econometrics & Operations Research, Tilburg University
Boek: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications · H1–H4 en H6 (orthogonaliteit, least squares)
Made by Levi S.
Master of Science
Lees dit eerst
Dit document is geschreven voor iemand die nu nog niks van het vak snapt en een voldoende wil
halen. Het doel is niet alles te bewijzen, maar dat je het grote plaatje ziet: welk probleem je oplost,
welke trucs daarvoor bestaan, en hoe alle begrippen eigenlijk over hetzelfde gaan.
• Taal: uitleg in het Nederlands, maar de vaktermen staan vetgedrukt in het Engels, want zo
staan ze op het tentamen en in Lay.
• Volgorde: lees het van voor naar achter. Elk hoofdstuk bouwt op het vorige. Hoofdstuk 2
(rijreductie) is het fundament: als je dat beheerst, kun je de helft van het tentamen al maken.
• Elke sectie: in gewone woorden → formules → uitgewerkt voorbeeld → recept → valkuilen.
• Eerlijk: de onderwerpenlijst komt uit Tilburgse vakbeschrijvingen van het programma. Check
de studiehandleiding op Canvas of precies dezelfde secties dit jaar tentamenstof zijn, en vooral:
maak oude tentamens. Lezen alleen is niet genoeg voor dit vak.
1 Het grote plaatje: waar gaat dit vak over?
In gewone woorden
Bijna het hele vak draait om één vraag:
Ax = b — heeft dit een oplossing, hoeveel, en welke?
A is een tabel getallen (een matrix), b is een lijstje getallen (een vector), en x is wat je zoekt. Alle
begrippen in dit vak zijn verschillende brillen om naar deze ene vergelijking te kijken.
Stelsel van vergelijkingen Lineaire combinatie
oplossen met is b te maken uit de
rijreductie (§2) kolommen van A? (§3–§4)
Inverse & determinant
Transformatie Ax = b
wanneer precies één
A als machine: x 7→ Ax (§5) het kernprobleem oplossing? (§6–§8)
Deelruimten Orthogonaliteit
Col A, Nul A, basis, geen oplossing? neem de
rang (§9–§10) beste benadering (§11–§12)
De drie mogelijke uitkomsten van elk stelsel (dit moet je nooit meer vergeten):
Uitkomst Hoe zie je het na rijreductie? Meetkundig (2 lijnen)
geen oplossing (inconsistent) een rij [ 0 · · · 0 | c ] met c ̸= 0 evenwijdige lijnen
precies één oplossing elke variabele heeft een pivot lijnen snijden in één punt
oneindig veel oplossingen consistent en er is een vrije variabele lijnen vallen samen
Er bestaat nooit “precies twee” of “precies vijf” oplossingen. Het is altijd 0, 1 of ∞.
1
, Linear Algebra – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B203-B-6 · Levi S., MSc
2 Stelsels oplossen met rijreductie (Lay 1.1–1.2)
In gewone woorden
Je zet het stelsel in een tabel (de augmented matrix) en maakt die stap voor stap “schoner” met
drie toegestane bewerkingen, tot je de oplossing zo kunt aflezen. Dat heet row reduction of
Gauss-eliminatie. Dit is de belangrijkste vaardigheid van het hele vak: bijna elke andere vraag
los je uiteindelijk op met rijreductie.
De drie toegestane rijoperaties (elementary row operations)
1. Replacement: tel een veelvoud van een andere rij op bij een rij: R2 ← R2 − 2R1 .
2. Interchange: wissel twee rijen: R1 ↔ R3 .
3. Scaling: vermenigvuldig een rij met een getal ̸= 0: R2 ← 21 R2 .
Deze operaties veranderen de oplossingsverzameling niet. Daarom mag je ze gebruiken.
Vormen. Een matrix is in echelon form (trapvorm) als: nulrijen staan onderaan, en elk eerste niet-
nul getal van een rij (de leading entry) staat rechts van dat van de rij erboven. Reduced echelon
form (RREF): bovendien is elke leading entry een 1 en staan er boven en onder die 1 alleen nullen.
De posities van die leading 1’s heten pivot positions; de kolommen waarin ze staan heten pivot
columns.
■ ∗ ∗ ∗ 1 0 ∗ 0
echelon form: 0 ■ ∗ ∗ reduced echelon form: 0 1 ∗ 0 (■ ̸= 0, ∗ = willekeurig)
0 0 0 ■ 0 0 0 1
Voorbeeld (met een vrije variabele)
Los op: x1 + 2x2 + x3 = 4, 2x1 + 4x2 + 3x3 = 9, x1 + 2x2 + 2x3 = 5.
1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 0 3
R2 −2R1 R3 − R2 R1 − R2
2 4 3 9 − −−−→ 0 0 1 1 −−− → 0 0 1 1 − −−→ 0 0 1 1
R3 − R1
1 2 2 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Pivots in kolom 1 en 3 ⇒ x1 , x3 zijn basic variables, x2 is een free variable. Lees af:
x1 = 3 − 2x2 , x2 vrij, x3 = 1.
Geen rij [0 0 0 | c ̸= 0], dus consistent; wel een vrije variabele, dus oneindig veel oplossingen.
Recept: een stelsel oplossen
1. Schrijf de augmented matrix [ A | b].
2. Naar beneden: maak met de eerste pivot alle getallen eronder 0. Ga naar de volgende
kolom, herhaal.
3. Check: is er een rij [0 · · · 0 | c] met c ̸= 0? ⇒ geen oplossing, klaar.
4. Naar boven: maak de pivots 1 en alles erboven 0 (RREF).
5. Pivotkolommen = basisvariabelen, de rest = vrije variabelen. Schrijf elke basisvariabele uit
in termen van de vrije.
2
