Statistiek voor data science
Hoofdstuk 6: verdelingen van steekproefgrootheden
Een parameter = numerieke beschrijvende maat van een populatie. De waarde
ervan is bijna altijd onbekend (bvb. p = kans op succes, μ = verwachting, …)
Een steekproefgrootheid = numerieke beschrijvende maat van een steekproef.
Deze grootheid wordt berekend uit de waarden in de steekproef (bvb. x en s =
gemiddelde en standaardafwijking van een steekproef)
6.1. De verdeling van de steekproefgrootheid
De uitkomst van een steekproefgrootheid hangt van het toeval af
Een steekproefgrootheid is dus een stochastische variabele en heeft een
kansverdeling
Zie voorbeelden slides
6.2. De centrale limietstelling
Eigenschappen van de kansverdeling van x :
Veronderstel een aselecte steekproef van n waarnemingen getrokken uit een
willekeurige populatie:
1. De verwachting van de kansverdeling van het steekproefgemiddelde is de
verwachting van de populatie waaruit de steekproef wordt genomen. Dat wil
zeggen: μx = E( x ) = μ
2. De standaardafwijking van de kansverdeling van het steekproefgemiddelde is
σ
gelijk aan: σ x =
√n
De standaardafwijking σ x = standaardfout van het gemiddelde
Twee belangrijke stellingen:
I. Steekproef uit een normale verdeling
Als een aselecte steekproef van n waarnemingen uit een populatie met een
normale kansverdeling wordt genomen, zal de kansverdeling van x een
normale verdeling zijn
II. Steekproef uit een willekeurige verdeling: centrale limietstelling
Als een aselecte steekproef van n waarnemingen uit een willekeurige
populatie met verwachting μ en standaardafwijking σ wordt genomen, zal, als
n groot genoeg is, de kansverdeling van x bij benadering normaal zijn met
σ
verwachting μx = μ en standaardafwijking σ x = . Hoe groter de steekproef
√n
is, des te beter zal de benadering zijn.
Hoofdstuk 7: betrouwbaarheidsintervallen gebaseerd op één
enkele steekproef
7.1. Schatten van een parameter
Schatter of puntschatter = een regel of een formule die ons zegt hoe we uit de
steekproef een getal moeten berekenen om de populatieparameter te schatten.
Een (punt)schatter is dus een steekproefgrootheid. De uitkomst van een
schatter (een concreet getal dus) noemen we een schatting.
Een betrouwbaarheidsinterval of intervalschatter = een regel of een formule die
ons zegt hoe we uit de steekproef een interval moeten berekenen dat de
waarde van de paramter met een bepaalde (hoge) waarschijnlijkheid bevat
7.2. Betrouwbaarheidsinterval voor een verwachte waarde (n groot)
,Volgens de centrale limietstelling is de kansverdeling van x bij benadering normaal
σ
verdeeld voor n groot, met μx = μ en σ x = . Voor α = 0,05 en zalfa/2 = 1,96 (standaard
√n
normale verdeling).
σ σ σ σ
Dan vinden we dat: P( μ−1,96 < x< μ+ 1,96 ) P( x−1,96 < μ< x +1,96 )
√n √n √n √n
In dit interval ligt de waarde met 95% kans in!
De kans dat een betrouwbaarheidsinterval de populatieparamter bevat is (1-α ).
Uitgedrukt als percentage, 100(1-α )%, noemen we dit het betrouwbaarheidsniveau.
σ
Als σ bekend: x ± z alfa/2
√n
s
Als σ onbekend: x ± z alfa/2
√n
Waarbij:
- zalfa/2 de z-waarde die hoort bij een oppervlakta alfa/2 in de staart van een
standaardnormale verdeling
- σ x is de standaardfout van de schatter x
- σ en s de standaardafwijkingen in resp. populatie en steekproef
Voorwaarden voor de geldigheid van de formules voor een betrouwbaarheidsinterval
voor μ:
1. De steekproef is een aselecte steekproef uit de populatie
2. De steekproefgrootte n is groot (n>30). Deze voorwaarde komt voort uit de
centrale limietstelling. Hierdoor is de kansverdeling van x bij benadering
normaal. Bij een grote n zal s ook een goede schatter zijn.
7.3. Betrouwbaarheidsinterval voor een verwachte waarde (n klein)
1. Bij kleine steekproeven kunnen we niet langer veronderstellen dat de
kansverdeling van x bij benadering normaal is, omdat de centrale limietstelling
enkel geldt voor grote n.
2. De standaardafwijking van de populatie is bijna altijd onbekend. Bij kleine
steekproeven kan s van de steekproef een slechte benadering zijn.
Gebruik van de t-verdeling
T-verdeling:
- De t-verdeling lijkt sterk op de normale verdeling
- De t-verdeling hangt af van het aantal vrijheidsgraden (df = n-1)
- De t-verdeling heeft zwaardere staarten dan de normale verdeling. Hoe kleiner
het aantal vrijheidsgraden, hoe zwaarder de staarten.
- Voor noneindig wordt de t-verdeling een standaardnormale verdeling
, s
100(1-α )% BI voor μ op basis van een kleine steekproef: x ± t alfa/2
√n
7.4. Betrouwbaarheidsinterval voor een fractie (n groot)
E( ^p ¿=p. Bijgevolg is ^p een zuivere schatter van p
σ =√ pq /n met q=1− p
Voor grote steekproeven is de kansverdeling van ^p bij benadering normaal
100(1-α )% BI voor p op basis van een grote steekproef:
√
^p ± z alfa/2
pq
n √
= ^p ± zalfa/2
^p q^
n
Met p = fractie in de populatie met een bepaalde eigenschap
En ^p = fractie in de steekproef met die bepaalde eigenschap
En q^ = 1 - ^p
7.5. Het bepalen van de steekproefomvang
Bepaling van n voor een 100(1-α )% BI voor μ
Om μ te kunnen schatten binnen een begrenzing B met 100(1-α )%
betrouwbaarheid, wordt de vereiste steekproefomvang als volgt bepaald: zalfa/2
σ
=B
√n
Als de waarde van σ gekend is, kan uit deze vergelijking n worden opgelost: n =
(z
2 )
alfa 2 2
σ
2
B
De waarde van σ is echter in het algemeen onbekend. In dat geval vullen we
voor σ een schatting in van de standaardafwijking, bijvoorbeeld uit een eerdere
steekproef.
Levert de formule een kleine steekproefomvang op (n<30), dan kiezen we een
steekproef van n = 30 elementen.
Bepaling van n voor een 100(1-α )% BI voor p
Om een binomiale kans p met 100(1-α )% betrouwbaarheid te schatten binnen
een begrenzing B, wordt de vereiste steekproefomvang gevonden door n op te
lossen uit: zalfa/2
√pq
n
=B
2
z pq
De oplossing kan als volgt worden geschreven als een functie van B: n = 2
B
Omdat de waarde van het product pq onbekend is, kan deze worden geschat
door de steekproeffractie van successen te gebruiken uit een eerdere steekproef
of door pq de waarde 0,5.0,5 = 0,25 = 1/4 te gebruiken. Je zit in het laatste
geval aan de veilige kant.
, Hoofdstuk 8: toetsen van hypothesen gebaseerd op één enkele
steekproef
8.1. Elementen van het toetsen van een hypothese
Statische hypothese = een uitspraak over de waarde van een
populatieparameter
Nulhypothese H0 = geeft een veronstelling weer die mogelijk door de data zal
worden weerlegd. De formule voor de nulhypothese bevat altijd het
gelijkheidsteken (=, ≤ ,≥ )
De alternatieve hypothese Ha = de hypothese die alleen zal worden
geaccepteerd als de gegevens overtuigend wijzen op zijn juistheid. De formule
bevat het symbool ≠, <, >
Een toetsingsgrootheid = een steekproefgrootheid die wordt gebruikt om te
x−μ
kiezen tussen de nulhypothese en de alternatieve hypothese = z =
σ /√n
Het kritieke gebied = de verzameling van alle waarden van de
toetsingsgrootheid waarvoor de nulhypothese wordt verworpen
Kans op een verkeerde conclusie?
- Met behulp van een toetsingsgrootheid kiezen we tussen H0 en Ha.
- Hierbij kunnen we twee soorten fouten maken:
o P(Type I-fout) = P(verwerp H0/H0 is geldig) = alfa
o P(Type II-fout) = P(verwerp H0 niet/ Ha is geldig) = Beta
- De gebruiker kiest het significatieniveau alfa (vaak 0,05)
- Het kritieke gebied wordt zo opgesteld dat alfa = P(Type I-fout)
8.2. Formuleren van hypothesen en bepalen van het kritieke gebied
Noteer μ0 de waarde waarvoor we willen toetsen. De toets kan zijn:
- Links-eenzijdig Ha: μ< μ 0 H0: μ ≥ μ 0
- Rechts-eenzijdig Ha: μ> μ 0 H0: μ ≤ μ 0
- Tweezijdig Ha: μ ≠ μ 0 H0: μ=μ 0
Vaak wordt H0: μ=μ 0 bij eenzijdig en tweezijdig gebruikt.
8.3. Een hypothese toetsen over een gemiddelde μ bij grote n
Eenzijdig alternatief Tweezijdig alternatief
- { H 0 : μ=μ 0
Ha : μ< μ 0(of μ> μ 0)
- {
H 0 : μ=μ 0
Ha: μ ≠ μ 0
x−μ 0 x−μ 0
- Toetsingsgrootheid: z ≈ - Toetsingsgrootheid: z ≈
s /√ n s /√ n
- Kritieke gebied: z < -zalfa (of z > Kritieke gebied: |z|> z alfa/2 met z alfa/2 zodaig
zalfa) met zalfa zodanig dat P(z>zalfa) dat P(z>zalfa/2) = alfa/2
= alfa
Hoofdstuk 6: verdelingen van steekproefgrootheden
Een parameter = numerieke beschrijvende maat van een populatie. De waarde
ervan is bijna altijd onbekend (bvb. p = kans op succes, μ = verwachting, …)
Een steekproefgrootheid = numerieke beschrijvende maat van een steekproef.
Deze grootheid wordt berekend uit de waarden in de steekproef (bvb. x en s =
gemiddelde en standaardafwijking van een steekproef)
6.1. De verdeling van de steekproefgrootheid
De uitkomst van een steekproefgrootheid hangt van het toeval af
Een steekproefgrootheid is dus een stochastische variabele en heeft een
kansverdeling
Zie voorbeelden slides
6.2. De centrale limietstelling
Eigenschappen van de kansverdeling van x :
Veronderstel een aselecte steekproef van n waarnemingen getrokken uit een
willekeurige populatie:
1. De verwachting van de kansverdeling van het steekproefgemiddelde is de
verwachting van de populatie waaruit de steekproef wordt genomen. Dat wil
zeggen: μx = E( x ) = μ
2. De standaardafwijking van de kansverdeling van het steekproefgemiddelde is
σ
gelijk aan: σ x =
√n
De standaardafwijking σ x = standaardfout van het gemiddelde
Twee belangrijke stellingen:
I. Steekproef uit een normale verdeling
Als een aselecte steekproef van n waarnemingen uit een populatie met een
normale kansverdeling wordt genomen, zal de kansverdeling van x een
normale verdeling zijn
II. Steekproef uit een willekeurige verdeling: centrale limietstelling
Als een aselecte steekproef van n waarnemingen uit een willekeurige
populatie met verwachting μ en standaardafwijking σ wordt genomen, zal, als
n groot genoeg is, de kansverdeling van x bij benadering normaal zijn met
σ
verwachting μx = μ en standaardafwijking σ x = . Hoe groter de steekproef
√n
is, des te beter zal de benadering zijn.
Hoofdstuk 7: betrouwbaarheidsintervallen gebaseerd op één
enkele steekproef
7.1. Schatten van een parameter
Schatter of puntschatter = een regel of een formule die ons zegt hoe we uit de
steekproef een getal moeten berekenen om de populatieparameter te schatten.
Een (punt)schatter is dus een steekproefgrootheid. De uitkomst van een
schatter (een concreet getal dus) noemen we een schatting.
Een betrouwbaarheidsinterval of intervalschatter = een regel of een formule die
ons zegt hoe we uit de steekproef een interval moeten berekenen dat de
waarde van de paramter met een bepaalde (hoge) waarschijnlijkheid bevat
7.2. Betrouwbaarheidsinterval voor een verwachte waarde (n groot)
,Volgens de centrale limietstelling is de kansverdeling van x bij benadering normaal
σ
verdeeld voor n groot, met μx = μ en σ x = . Voor α = 0,05 en zalfa/2 = 1,96 (standaard
√n
normale verdeling).
σ σ σ σ
Dan vinden we dat: P( μ−1,96 < x< μ+ 1,96 ) P( x−1,96 < μ< x +1,96 )
√n √n √n √n
In dit interval ligt de waarde met 95% kans in!
De kans dat een betrouwbaarheidsinterval de populatieparamter bevat is (1-α ).
Uitgedrukt als percentage, 100(1-α )%, noemen we dit het betrouwbaarheidsniveau.
σ
Als σ bekend: x ± z alfa/2
√n
s
Als σ onbekend: x ± z alfa/2
√n
Waarbij:
- zalfa/2 de z-waarde die hoort bij een oppervlakta alfa/2 in de staart van een
standaardnormale verdeling
- σ x is de standaardfout van de schatter x
- σ en s de standaardafwijkingen in resp. populatie en steekproef
Voorwaarden voor de geldigheid van de formules voor een betrouwbaarheidsinterval
voor μ:
1. De steekproef is een aselecte steekproef uit de populatie
2. De steekproefgrootte n is groot (n>30). Deze voorwaarde komt voort uit de
centrale limietstelling. Hierdoor is de kansverdeling van x bij benadering
normaal. Bij een grote n zal s ook een goede schatter zijn.
7.3. Betrouwbaarheidsinterval voor een verwachte waarde (n klein)
1. Bij kleine steekproeven kunnen we niet langer veronderstellen dat de
kansverdeling van x bij benadering normaal is, omdat de centrale limietstelling
enkel geldt voor grote n.
2. De standaardafwijking van de populatie is bijna altijd onbekend. Bij kleine
steekproeven kan s van de steekproef een slechte benadering zijn.
Gebruik van de t-verdeling
T-verdeling:
- De t-verdeling lijkt sterk op de normale verdeling
- De t-verdeling hangt af van het aantal vrijheidsgraden (df = n-1)
- De t-verdeling heeft zwaardere staarten dan de normale verdeling. Hoe kleiner
het aantal vrijheidsgraden, hoe zwaarder de staarten.
- Voor noneindig wordt de t-verdeling een standaardnormale verdeling
, s
100(1-α )% BI voor μ op basis van een kleine steekproef: x ± t alfa/2
√n
7.4. Betrouwbaarheidsinterval voor een fractie (n groot)
E( ^p ¿=p. Bijgevolg is ^p een zuivere schatter van p
σ =√ pq /n met q=1− p
Voor grote steekproeven is de kansverdeling van ^p bij benadering normaal
100(1-α )% BI voor p op basis van een grote steekproef:
√
^p ± z alfa/2
pq
n √
= ^p ± zalfa/2
^p q^
n
Met p = fractie in de populatie met een bepaalde eigenschap
En ^p = fractie in de steekproef met die bepaalde eigenschap
En q^ = 1 - ^p
7.5. Het bepalen van de steekproefomvang
Bepaling van n voor een 100(1-α )% BI voor μ
Om μ te kunnen schatten binnen een begrenzing B met 100(1-α )%
betrouwbaarheid, wordt de vereiste steekproefomvang als volgt bepaald: zalfa/2
σ
=B
√n
Als de waarde van σ gekend is, kan uit deze vergelijking n worden opgelost: n =
(z
2 )
alfa 2 2
σ
2
B
De waarde van σ is echter in het algemeen onbekend. In dat geval vullen we
voor σ een schatting in van de standaardafwijking, bijvoorbeeld uit een eerdere
steekproef.
Levert de formule een kleine steekproefomvang op (n<30), dan kiezen we een
steekproef van n = 30 elementen.
Bepaling van n voor een 100(1-α )% BI voor p
Om een binomiale kans p met 100(1-α )% betrouwbaarheid te schatten binnen
een begrenzing B, wordt de vereiste steekproefomvang gevonden door n op te
lossen uit: zalfa/2
√pq
n
=B
2
z pq
De oplossing kan als volgt worden geschreven als een functie van B: n = 2
B
Omdat de waarde van het product pq onbekend is, kan deze worden geschat
door de steekproeffractie van successen te gebruiken uit een eerdere steekproef
of door pq de waarde 0,5.0,5 = 0,25 = 1/4 te gebruiken. Je zit in het laatste
geval aan de veilige kant.
, Hoofdstuk 8: toetsen van hypothesen gebaseerd op één enkele
steekproef
8.1. Elementen van het toetsen van een hypothese
Statische hypothese = een uitspraak over de waarde van een
populatieparameter
Nulhypothese H0 = geeft een veronstelling weer die mogelijk door de data zal
worden weerlegd. De formule voor de nulhypothese bevat altijd het
gelijkheidsteken (=, ≤ ,≥ )
De alternatieve hypothese Ha = de hypothese die alleen zal worden
geaccepteerd als de gegevens overtuigend wijzen op zijn juistheid. De formule
bevat het symbool ≠, <, >
Een toetsingsgrootheid = een steekproefgrootheid die wordt gebruikt om te
x−μ
kiezen tussen de nulhypothese en de alternatieve hypothese = z =
σ /√n
Het kritieke gebied = de verzameling van alle waarden van de
toetsingsgrootheid waarvoor de nulhypothese wordt verworpen
Kans op een verkeerde conclusie?
- Met behulp van een toetsingsgrootheid kiezen we tussen H0 en Ha.
- Hierbij kunnen we twee soorten fouten maken:
o P(Type I-fout) = P(verwerp H0/H0 is geldig) = alfa
o P(Type II-fout) = P(verwerp H0 niet/ Ha is geldig) = Beta
- De gebruiker kiest het significatieniveau alfa (vaak 0,05)
- Het kritieke gebied wordt zo opgesteld dat alfa = P(Type I-fout)
8.2. Formuleren van hypothesen en bepalen van het kritieke gebied
Noteer μ0 de waarde waarvoor we willen toetsen. De toets kan zijn:
- Links-eenzijdig Ha: μ< μ 0 H0: μ ≥ μ 0
- Rechts-eenzijdig Ha: μ> μ 0 H0: μ ≤ μ 0
- Tweezijdig Ha: μ ≠ μ 0 H0: μ=μ 0
Vaak wordt H0: μ=μ 0 bij eenzijdig en tweezijdig gebruikt.
8.3. Een hypothese toetsen over een gemiddelde μ bij grote n
Eenzijdig alternatief Tweezijdig alternatief
- { H 0 : μ=μ 0
Ha : μ< μ 0(of μ> μ 0)
- {
H 0 : μ=μ 0
Ha: μ ≠ μ 0
x−μ 0 x−μ 0
- Toetsingsgrootheid: z ≈ - Toetsingsgrootheid: z ≈
s /√ n s /√ n
- Kritieke gebied: z < -zalfa (of z > Kritieke gebied: |z|> z alfa/2 met z alfa/2 zodaig
zalfa) met zalfa zodanig dat P(z>zalfa) dat P(z>zalfa/2) = alfa/2
= alfa
