1. Conventies
2. Lijn
3. Vector
3.1. Van vectorvoorstelling naar vergelijking
3.1.1. Mogelijk alternatief
3.2. Van vergelijking naar vectorvoorstelling
3.2.1. Mogelijk alternatief
4. Inproduct
5. Normaalvector
5.1. In ℝ2
5.2. In ℝ3
6. Snijdingen
6.1. In ℝ2
6.2. In ℝ3
6.2.1. Snijpunt van twee snijdende lijnen
6.2.2 Snijpunt van een lijn en een vlak
6.2.3. Snijlijn van twee snijdende vlakken
7. Hoeken
7.1. Een lijn en een vlak
7.2. Twee vlakken
8. Afstand
8.1. In ℝ2
8.1.1. Twee punten
8.1.2. Een punt en een lijn
8.1.3. Twee parallelle lijnen
8.2 In ℝ3
8.2.1. Twee punten
8.2.2. Een punt en een lijn
8.2.3. Een punt en een vlak
8.2.4. Twee parallelle lijnen
8.2.5. Een lijn en een parallel vlak
8.2.6. Twee parallelle vlakken
8.2.7. Twee kruisende lijnen
9. Conflictlijn
9.1. Twee punten
9.2. Twee snijdende lijnen
9.3. Een punt en een lijn
9.4. Een cirkel en een punt binnen die cirkel
9.5. Een cirkel en een punt buiten die cirkel
9.6. Een cirkel en een lijn
10. Ellips
11. Hyperbool
12. Cirkel
12.1. Raaklijn
12.2. Poollijn
1/9 © Peter Zomerdijk
, 1. Conventies
• voorbeelden zijn omkaderd
• ꓕ : loodrecht
• ℝ2 : 2-dimensionaal (vlak)
• ℝ3 : 3-dimensionaal (ruimte)
• ⃗
n : normaalvector
2. Lijn
• in ℝ2 staan 2 lijnen loodrecht op elkaar wanneer het product van hun richtingscoëfficiënten −1 is
f(x) = ax + b en g(x) = cx + d ⇒ a · c = −1 ⇔ f(x) Ʇ g(x)
• voor het berekenen van de waarde van een variabele wanneer het een raaklijn is is er één
oplossing in een tweedegraads vergelijking, dus is de discriminant nul (b2 – 4ac = 0)
3. Vector
Een lijn met een richting en een lengte (grootte)
AB = (bx ) − (ax )
• ⃗⃗⃗⃗⃗ by ay
a
• y=bx + c ⇔ (yx) = (0c) + λ (ba)
• ⃗⃗⃗⃗⃗
AB + ⃗⃗⃗⃗⃗
BC = ⃗⃗⃗⃗⃗
AC
• de nulvector: ⃗0 = (00) staat loodrecht op alle andere vectoren
3.1. Van vectorvoorstelling naar vergelijking
x 1 −1 2
vlak V: (y) = (0) + λ ( 0 ) + μ (1)
z 0 0
1
nx
1. de normaalvector n
⃗ = (ny ) staat loodrecht op de beide richtingsvectoren van V
nz
−1 nx
2. (( 0 ) , (ny )) = 0 ⇔ ‒ nx + nz = 0 ⇔ nz = nx
1 nz
2 nx
3. ((1) , (ny )) = 0 ⇔ 2nx + ny = 0 ⇔ ny = –2nx
0 nz
1
4. stel nx = 1 ⇒ nz = 1 en ny = –2 ⇒ n
⃗ V = (– 2 )
1
5. de vergelijking van V is x – 2y + z = c
6. vul de steunvector (1,0,0) in om c te bepalen: 1 · 1 – 2 · 0 + 1 · 0 = c ⇔ c = 1
7. de vergelijking van V is x – 2y + z = 1
3.1.1. Mogelijk alternatief
x = 1 − λ + 2μ
vlak V: 𝑦=𝜇 } ⇒ x = 1 – z + 2y ⇔ x – 2y + z = 1
𝑧=𝜆
2/9 © Peter Zomerdijk
2. Lijn
3. Vector
3.1. Van vectorvoorstelling naar vergelijking
3.1.1. Mogelijk alternatief
3.2. Van vergelijking naar vectorvoorstelling
3.2.1. Mogelijk alternatief
4. Inproduct
5. Normaalvector
5.1. In ℝ2
5.2. In ℝ3
6. Snijdingen
6.1. In ℝ2
6.2. In ℝ3
6.2.1. Snijpunt van twee snijdende lijnen
6.2.2 Snijpunt van een lijn en een vlak
6.2.3. Snijlijn van twee snijdende vlakken
7. Hoeken
7.1. Een lijn en een vlak
7.2. Twee vlakken
8. Afstand
8.1. In ℝ2
8.1.1. Twee punten
8.1.2. Een punt en een lijn
8.1.3. Twee parallelle lijnen
8.2 In ℝ3
8.2.1. Twee punten
8.2.2. Een punt en een lijn
8.2.3. Een punt en een vlak
8.2.4. Twee parallelle lijnen
8.2.5. Een lijn en een parallel vlak
8.2.6. Twee parallelle vlakken
8.2.7. Twee kruisende lijnen
9. Conflictlijn
9.1. Twee punten
9.2. Twee snijdende lijnen
9.3. Een punt en een lijn
9.4. Een cirkel en een punt binnen die cirkel
9.5. Een cirkel en een punt buiten die cirkel
9.6. Een cirkel en een lijn
10. Ellips
11. Hyperbool
12. Cirkel
12.1. Raaklijn
12.2. Poollijn
1/9 © Peter Zomerdijk
, 1. Conventies
• voorbeelden zijn omkaderd
• ꓕ : loodrecht
• ℝ2 : 2-dimensionaal (vlak)
• ℝ3 : 3-dimensionaal (ruimte)
• ⃗
n : normaalvector
2. Lijn
• in ℝ2 staan 2 lijnen loodrecht op elkaar wanneer het product van hun richtingscoëfficiënten −1 is
f(x) = ax + b en g(x) = cx + d ⇒ a · c = −1 ⇔ f(x) Ʇ g(x)
• voor het berekenen van de waarde van een variabele wanneer het een raaklijn is is er één
oplossing in een tweedegraads vergelijking, dus is de discriminant nul (b2 – 4ac = 0)
3. Vector
Een lijn met een richting en een lengte (grootte)
AB = (bx ) − (ax )
• ⃗⃗⃗⃗⃗ by ay
a
• y=bx + c ⇔ (yx) = (0c) + λ (ba)
• ⃗⃗⃗⃗⃗
AB + ⃗⃗⃗⃗⃗
BC = ⃗⃗⃗⃗⃗
AC
• de nulvector: ⃗0 = (00) staat loodrecht op alle andere vectoren
3.1. Van vectorvoorstelling naar vergelijking
x 1 −1 2
vlak V: (y) = (0) + λ ( 0 ) + μ (1)
z 0 0
1
nx
1. de normaalvector n
⃗ = (ny ) staat loodrecht op de beide richtingsvectoren van V
nz
−1 nx
2. (( 0 ) , (ny )) = 0 ⇔ ‒ nx + nz = 0 ⇔ nz = nx
1 nz
2 nx
3. ((1) , (ny )) = 0 ⇔ 2nx + ny = 0 ⇔ ny = –2nx
0 nz
1
4. stel nx = 1 ⇒ nz = 1 en ny = –2 ⇒ n
⃗ V = (– 2 )
1
5. de vergelijking van V is x – 2y + z = c
6. vul de steunvector (1,0,0) in om c te bepalen: 1 · 1 – 2 · 0 + 1 · 0 = c ⇔ c = 1
7. de vergelijking van V is x – 2y + z = 1
3.1.1. Mogelijk alternatief
x = 1 − λ + 2μ
vlak V: 𝑦=𝜇 } ⇒ x = 1 – z + 2y ⇔ x – 2y + z = 1
𝑧=𝜆
2/9 © Peter Zomerdijk
