WISKUNDE 1B: DIDACTIEK
HOOFDSTUK 1: DE DIDACTISCHE PIJLERS
1. Betekenisvolle situaties
Definitie: Dit zijn leersituaties die aansluiten bij de leefwereld van de leerling. Wiskunde
wordt hierbij niet als een losstaand vak gezien, maar als een hulpmiddel om
verschijnselen uit de realiteit te begrijpen, te verklaren en te beheersen.
Het wiskundig denkproces: Een betekenisvolle situatie volgt een vaste cyclus:
je vertrekt vanuit een situatie, je analyseert deze, bouwt een wiskundig model,
past technieken toe en interpreteert het resultaat terug naar de werkelijkheid.
o Concreet voorbeeld: Een leraar vraagt: "Hoeveel bussen hebben we
nodig voor de schoolreis?" De leerlingen berekenen 115:30. Het resultaat is
3,83, maar de interpretatie naar de realiteit leert dat je 4 bussen moet
bestellen, niet 3,83.
Verwiskundigen van de realiteit: Bij het omzetten van een echte situatie naar
een som gaat er altijd informatie 'verloren'. Je herduceert objecten tot eenheden
om ermee te kunnen rekenen.
o Concreet voorbeeld: Bij het tellen van een tros bananen is het voor de
som niet belangrijk of de bananen krom, geel of groot zijn. Je herduceert
elke banaan tot de eenheid "1" om het totaal te kunnen bepalen.
Motivatie en maatschappelijk nut: Door wiskunde te koppelen aan de
leefwereld (zoals geld, tijd of verjaardagen), ontdekken leerlingen het praktische
nut van het vak, wat hun motivatie verhoogt.
o Concreet voorbeeld: Een leerling moet uitrekenen hoeveel pakjes lolly's
er nodig zijn voor een traktatie als er 25 kinderen zijn en de lolly's per 3
verpakt zitten. Dit is een probleem dat ze echt willen oplossen omdat het
hen direct aanbelangt.
Analyseren van complexe problemen: Betekenisvolle situaties leren leerlingen
om een probleem eerst te ontleden voordat ze lukraak gaan rekenen.
o Concreet voorbeeld: Miriam moet om 12:00 uur bij het station zijn. De
busrit duurt 25 minuten en het is 5 minuten lopen. Door deze situatie te
analyseren, leert de leerling terug te rekenen om te bepalen hoe laat ze
van huis moet vertrekken.
2. Concreet – Schematisch – Abstract
Definitie: Het CSA-model beschrijft de leerlijn die een leerling doorloopt om van een
tastbare handeling tot een abstracte berekening in het hoofd te komen. CSA staat voor
Concreet, Schematisch en Abstract. Het doel is om te voorkomen dat rekenen een
betekenisloos "trucje" wordt.
1. De Concrete fase (Handelend niveau)
,Definitie: In deze eerste fase leert de leerling door te doen. Er wordt gewerkt met echt
materiaal dat de werkelijkheid representeert. De nadruk ligt op de fysieke handeling en
het verwoorden van wat er gebeurt.
De kern: Het manipuleren van tastbare objecten.
Het belang: Het geeft een concrete betekenis aan getallen en bewerkingen.
Concreet voorbeeld: Om de som 3 + 2 te begrijpen, legt een leerling fysiek 3 rode
blokjes en 2 blauwe blokjes op een tafel en telt ze samen tot 5.
2. De Schematische fase (Perceptueel niveau)
Definitie: In deze fase wordt het concrete materiaal vervangen door een voorstelling of
afbeelding. De leerling handelt niet meer fysiek, maar kijkt naar een visuele weergave
(zoals tekeningen, stippen of een getallijn) die de werkelijkheid abstraheert.
De kern: Het vertalen van de werkelijkheid naar een model of schema.
Het belang: Het vormt de brug tussen het tastbare en het mentale rekenen.
Concreet voorbeeld: De leerling ziet in zijn werkboek een afbeelding van twee groepjes
appels (één van 3 en één van 2) of tekent zelf 5 turfstreepjes om de som op te lossen.
3. De Abstracte fase (Mentaal niveau)
Definitie: Dit is het einddoel waarbij de leerling enkel nog werkt met symbolen (cijfers en
tekens). Er is geen visuele of fysieke ondersteuning meer nodig; de handeling is volledig
verinnerlijkt in het hoofd.
De kern: Werken met formele wiskundetaal en getallen.
Het belang: Efficiënt en vlot kunnen rekenen (automatiseren).
Concreet voorbeeld: De leerling ziet de som 3 + 2 = op een wit blad papier staan en
weet direct dat het antwoord 5 is, zonder nog aan blokjes of appels te hoeven denken.
3. Handelingsniveaus van Galperin
Definitie: De handelings- of trapsgewijze theorie van de Russische psycholoog Galperin
beschrijft hoe leerlingen een nieuwe vaardigheid aanleren door een vaste reeks stappen
te doorlopen. Het proces gaat van fysiek handelen met objecten naar een volledig
interne, mentale handeling in het hoofd.
De vier handelingsniveaus
Materieel handelen (Doen): De leerling voert de handeling fysiek uit met
concreet materiaal of schematische voorstellingen (tekeningen). Tijdens het
handelen verwoorden zij wat ze doen.
o Concreet voorbeeld: Een leerling verdeelt 12 echte noten over 4 bakjes
en zegt hardop: "Ik geef elk kind één noot, en dan nog één..."
, Perceptueel handelen (Kijken): De leerling voert de handeling niet meer zelf
uit, maar kijkt naar de materialen of een demonstratie. Het is een 'kijkhandeling'.
De verwoording van het denkproces blijft hierbij essentieel.
o Concreet voorbeeld: De leraar wijst op een klok die op 9:30 staat. De
leerling kijkt ernaar en verwoordt hoe de wijzers 10 minuten later zullen
staan zonder de wijzers zelf te verzetten.
Verbaal handelen (Spreken): Er is geen materiaal of afbeelding meer aanwezig.
De leerling lost de oefening luidop redenerend op. De taal vervangt de fysieke
handeling.
o Concreet voorbeeld: Twee leerlingen werken samen volgens de 'denker-
schrijver' methode. De een zegt: "Bij 8 + 7 doe ik eerst 8 + 2, dat is 10, en
dan nog 5 erbij is 15." De ander noteert het resultaat.
Mentaal handelen (Denken): De handeling is volledig verinnerlijkt. De leerling
denkt in zijn hoofd en geeft enkel nog het resultaat. Als leraar zie je het proces
niet meer, enkel de uitkomst.
o Concreet voorbeeld: Een leerling ziet de som 12:4 in een werkboek en
schrijft direct "3" op, zonder te tekenen of luidop te praten.
4. Inzichtelijke aanpak
Definitie: Een inzichtelijke aanpak houdt in dat leerlingen niet simpelweg regels of
"trucjes" van buiten leren, maar de daadwerkelijke betekenis van een begrip en de logica
achter de redenering begrijpen. Hierdoor bouwen ze vertrouwen op en kunnen ze bij
twijfel altijd terugvallen op hun eigen logica.
Voorkomen van 'hocus pocus': Regels aanleren als een feitelijk gegeven zonder
de "waarom-vraag" te beantwoorden, leidt tot verwarring of het snel vergeten van
de leerstof. Leerlingen die het inzicht missen, haken af zodra ze het trucje niet
meer weten.
o Concreet voorbeeld: In plaats van alleen te zeggen dat 9x8 = 72 is, leer
je de leerling dat dit hetzelfde is als "één keer 8 minder dan tien keer 8".
Als ze de uitkomst vergeten, kunnen ze via 80 – 8 zelf weer bij het
antwoord komen.
Activeren van voorkennis en 'kaderen': Nieuwe begrippen moeten gekoppeld
worden aan wat de leerling al weet. Door een nieuw onderwerp te plaatsen in een
groter geheel (een kader), wordt de kennis beter verankerd in het geheugen.
o Concreet voorbeeld: Bij het aanleren van het begrip 'vierhoek' kader je
dit binnen de meetkunde: je laat zien dat een vierhoek een specifiek soort
'veelhoek' is, die weer hoort bij de familie van de 'vlakke figuren'.
Gebruik van verschillende 'kanalen': Om de transfer van kennis te
bevorderen, is het belangrijk om leerstof regelmatig te herhalen en visueel voor te
stellen. Dit spreekt verschillende zintuigen en leerstijlen aan.
o Concreet voorbeeld: Gebruik een stroomdiagram of poster in de klas
waarop de hiërarchie van vormen (zoals het schema in het boek) zichtbaar
, blijft, zodat leerlingen de visuele link tussen begrippen steeds opnieuw
zien.
De CSA-leerlijn (Handelingsniveaus): Een inzichtelijke opbouw volgt logische
fasen: van concreet materiaal naar schema's en uiteindelijk naar het abstracte
mentale niveau.
o Concreet voorbeeld: Wanneer je leert over inhoud, laat je leerlingen
eerst echt water overgieten in maatbekers (materieel), daarna laat je ze
tekeningen of schema's van die bekers zien (perceptueel), om pas daarna
met enkel de getallen en formules te werken (mentaal).
Verwoorden van de methode: Het is essentieel dat leerlingen regelmatig
uitleggen hoe ze tot een bepaald antwoord zijn gekomen. Dit maakt hun eigen
denkproces expliciet.
o Concreet voorbeeld: Vraag na een som niet alleen "Wat is de uitkomst?",
maar: "Welke stappen heb je in je hoofd gezet om tot dit getal te komen?"
5. Belang van correct wiskundig verwoorden
Definitie: Dit principe houdt in dat leerlingen wiskundige begrippen en
oplossingsmethodes expliciet leren benoemen met de juiste vakterminologie. Het is de
brug tussen het handelen met concreet materiaal en het abstracte denken zonder
materiaal.
Van spreektaal naar vaktaal: Leerlingen moeten geleidelijk de overstap maken
van informele woorden naar precieze wiskundige termen. Vaktaal helpt om
abstracte begrippen een vaste invulling te geven.
o Concreet voorbeeld: Een leerling zegt eerst: "Ik heb 5 blokjes." De leraar
stimuleert de vaktaal door te zeggen: "Inderdaad, je hebt een groepje van
5 eenheden."
Betekenis achterhalen via de oorsprong: Door de herkomst van woorden uit
te leggen (bijvoorbeeld uit het Latijn of Frans), begrijpen leerlingen de logica
achter een term beter, wat het onthouden vergemakkelijkt.
o Concreet voorbeeld: Leg uit dat pro-cent komt van 'pro centum' (per
honderd). Zo begrijpt een kind dat 15% suiker in yoghurt betekent: 15
gram suiker per 100 gram yoghurt.
Verschillende interpretaties van begrippen: Sommige woorden hebben in het
dagelijks leven een andere betekenis dan in de wiskunde. Het is cruciaal om dit
onderscheid expliciet te maken.
o Concreet voorbeeld: Het woord 'verschil'. In het dagelijks leven zoek je
verschillen tussen twee plaatjes (piraten met of zonder ooglapje). In de
wiskunde is het 'verschil' het resultaat van een aftrekking (het verschil
tussen 84 en 72 is 12).
Gebruik van eigenschappen en rekenregels: Het consequent benoemen van
de gebruikte rekenstrategie helpt bij het verankeren van de methode.
o Concreet voorbeeld: Bij de som 1788 – 599 maak je er 1789 - 600 van.
De leraar benoemt dit als de aftrekkingshalter: het verschil blijft gelijk als
je beide getallen met evenveel vermeerdert.
HOOFDSTUK 1: DE DIDACTISCHE PIJLERS
1. Betekenisvolle situaties
Definitie: Dit zijn leersituaties die aansluiten bij de leefwereld van de leerling. Wiskunde
wordt hierbij niet als een losstaand vak gezien, maar als een hulpmiddel om
verschijnselen uit de realiteit te begrijpen, te verklaren en te beheersen.
Het wiskundig denkproces: Een betekenisvolle situatie volgt een vaste cyclus:
je vertrekt vanuit een situatie, je analyseert deze, bouwt een wiskundig model,
past technieken toe en interpreteert het resultaat terug naar de werkelijkheid.
o Concreet voorbeeld: Een leraar vraagt: "Hoeveel bussen hebben we
nodig voor de schoolreis?" De leerlingen berekenen 115:30. Het resultaat is
3,83, maar de interpretatie naar de realiteit leert dat je 4 bussen moet
bestellen, niet 3,83.
Verwiskundigen van de realiteit: Bij het omzetten van een echte situatie naar
een som gaat er altijd informatie 'verloren'. Je herduceert objecten tot eenheden
om ermee te kunnen rekenen.
o Concreet voorbeeld: Bij het tellen van een tros bananen is het voor de
som niet belangrijk of de bananen krom, geel of groot zijn. Je herduceert
elke banaan tot de eenheid "1" om het totaal te kunnen bepalen.
Motivatie en maatschappelijk nut: Door wiskunde te koppelen aan de
leefwereld (zoals geld, tijd of verjaardagen), ontdekken leerlingen het praktische
nut van het vak, wat hun motivatie verhoogt.
o Concreet voorbeeld: Een leerling moet uitrekenen hoeveel pakjes lolly's
er nodig zijn voor een traktatie als er 25 kinderen zijn en de lolly's per 3
verpakt zitten. Dit is een probleem dat ze echt willen oplossen omdat het
hen direct aanbelangt.
Analyseren van complexe problemen: Betekenisvolle situaties leren leerlingen
om een probleem eerst te ontleden voordat ze lukraak gaan rekenen.
o Concreet voorbeeld: Miriam moet om 12:00 uur bij het station zijn. De
busrit duurt 25 minuten en het is 5 minuten lopen. Door deze situatie te
analyseren, leert de leerling terug te rekenen om te bepalen hoe laat ze
van huis moet vertrekken.
2. Concreet – Schematisch – Abstract
Definitie: Het CSA-model beschrijft de leerlijn die een leerling doorloopt om van een
tastbare handeling tot een abstracte berekening in het hoofd te komen. CSA staat voor
Concreet, Schematisch en Abstract. Het doel is om te voorkomen dat rekenen een
betekenisloos "trucje" wordt.
1. De Concrete fase (Handelend niveau)
,Definitie: In deze eerste fase leert de leerling door te doen. Er wordt gewerkt met echt
materiaal dat de werkelijkheid representeert. De nadruk ligt op de fysieke handeling en
het verwoorden van wat er gebeurt.
De kern: Het manipuleren van tastbare objecten.
Het belang: Het geeft een concrete betekenis aan getallen en bewerkingen.
Concreet voorbeeld: Om de som 3 + 2 te begrijpen, legt een leerling fysiek 3 rode
blokjes en 2 blauwe blokjes op een tafel en telt ze samen tot 5.
2. De Schematische fase (Perceptueel niveau)
Definitie: In deze fase wordt het concrete materiaal vervangen door een voorstelling of
afbeelding. De leerling handelt niet meer fysiek, maar kijkt naar een visuele weergave
(zoals tekeningen, stippen of een getallijn) die de werkelijkheid abstraheert.
De kern: Het vertalen van de werkelijkheid naar een model of schema.
Het belang: Het vormt de brug tussen het tastbare en het mentale rekenen.
Concreet voorbeeld: De leerling ziet in zijn werkboek een afbeelding van twee groepjes
appels (één van 3 en één van 2) of tekent zelf 5 turfstreepjes om de som op te lossen.
3. De Abstracte fase (Mentaal niveau)
Definitie: Dit is het einddoel waarbij de leerling enkel nog werkt met symbolen (cijfers en
tekens). Er is geen visuele of fysieke ondersteuning meer nodig; de handeling is volledig
verinnerlijkt in het hoofd.
De kern: Werken met formele wiskundetaal en getallen.
Het belang: Efficiënt en vlot kunnen rekenen (automatiseren).
Concreet voorbeeld: De leerling ziet de som 3 + 2 = op een wit blad papier staan en
weet direct dat het antwoord 5 is, zonder nog aan blokjes of appels te hoeven denken.
3. Handelingsniveaus van Galperin
Definitie: De handelings- of trapsgewijze theorie van de Russische psycholoog Galperin
beschrijft hoe leerlingen een nieuwe vaardigheid aanleren door een vaste reeks stappen
te doorlopen. Het proces gaat van fysiek handelen met objecten naar een volledig
interne, mentale handeling in het hoofd.
De vier handelingsniveaus
Materieel handelen (Doen): De leerling voert de handeling fysiek uit met
concreet materiaal of schematische voorstellingen (tekeningen). Tijdens het
handelen verwoorden zij wat ze doen.
o Concreet voorbeeld: Een leerling verdeelt 12 echte noten over 4 bakjes
en zegt hardop: "Ik geef elk kind één noot, en dan nog één..."
, Perceptueel handelen (Kijken): De leerling voert de handeling niet meer zelf
uit, maar kijkt naar de materialen of een demonstratie. Het is een 'kijkhandeling'.
De verwoording van het denkproces blijft hierbij essentieel.
o Concreet voorbeeld: De leraar wijst op een klok die op 9:30 staat. De
leerling kijkt ernaar en verwoordt hoe de wijzers 10 minuten later zullen
staan zonder de wijzers zelf te verzetten.
Verbaal handelen (Spreken): Er is geen materiaal of afbeelding meer aanwezig.
De leerling lost de oefening luidop redenerend op. De taal vervangt de fysieke
handeling.
o Concreet voorbeeld: Twee leerlingen werken samen volgens de 'denker-
schrijver' methode. De een zegt: "Bij 8 + 7 doe ik eerst 8 + 2, dat is 10, en
dan nog 5 erbij is 15." De ander noteert het resultaat.
Mentaal handelen (Denken): De handeling is volledig verinnerlijkt. De leerling
denkt in zijn hoofd en geeft enkel nog het resultaat. Als leraar zie je het proces
niet meer, enkel de uitkomst.
o Concreet voorbeeld: Een leerling ziet de som 12:4 in een werkboek en
schrijft direct "3" op, zonder te tekenen of luidop te praten.
4. Inzichtelijke aanpak
Definitie: Een inzichtelijke aanpak houdt in dat leerlingen niet simpelweg regels of
"trucjes" van buiten leren, maar de daadwerkelijke betekenis van een begrip en de logica
achter de redenering begrijpen. Hierdoor bouwen ze vertrouwen op en kunnen ze bij
twijfel altijd terugvallen op hun eigen logica.
Voorkomen van 'hocus pocus': Regels aanleren als een feitelijk gegeven zonder
de "waarom-vraag" te beantwoorden, leidt tot verwarring of het snel vergeten van
de leerstof. Leerlingen die het inzicht missen, haken af zodra ze het trucje niet
meer weten.
o Concreet voorbeeld: In plaats van alleen te zeggen dat 9x8 = 72 is, leer
je de leerling dat dit hetzelfde is als "één keer 8 minder dan tien keer 8".
Als ze de uitkomst vergeten, kunnen ze via 80 – 8 zelf weer bij het
antwoord komen.
Activeren van voorkennis en 'kaderen': Nieuwe begrippen moeten gekoppeld
worden aan wat de leerling al weet. Door een nieuw onderwerp te plaatsen in een
groter geheel (een kader), wordt de kennis beter verankerd in het geheugen.
o Concreet voorbeeld: Bij het aanleren van het begrip 'vierhoek' kader je
dit binnen de meetkunde: je laat zien dat een vierhoek een specifiek soort
'veelhoek' is, die weer hoort bij de familie van de 'vlakke figuren'.
Gebruik van verschillende 'kanalen': Om de transfer van kennis te
bevorderen, is het belangrijk om leerstof regelmatig te herhalen en visueel voor te
stellen. Dit spreekt verschillende zintuigen en leerstijlen aan.
o Concreet voorbeeld: Gebruik een stroomdiagram of poster in de klas
waarop de hiërarchie van vormen (zoals het schema in het boek) zichtbaar
, blijft, zodat leerlingen de visuele link tussen begrippen steeds opnieuw
zien.
De CSA-leerlijn (Handelingsniveaus): Een inzichtelijke opbouw volgt logische
fasen: van concreet materiaal naar schema's en uiteindelijk naar het abstracte
mentale niveau.
o Concreet voorbeeld: Wanneer je leert over inhoud, laat je leerlingen
eerst echt water overgieten in maatbekers (materieel), daarna laat je ze
tekeningen of schema's van die bekers zien (perceptueel), om pas daarna
met enkel de getallen en formules te werken (mentaal).
Verwoorden van de methode: Het is essentieel dat leerlingen regelmatig
uitleggen hoe ze tot een bepaald antwoord zijn gekomen. Dit maakt hun eigen
denkproces expliciet.
o Concreet voorbeeld: Vraag na een som niet alleen "Wat is de uitkomst?",
maar: "Welke stappen heb je in je hoofd gezet om tot dit getal te komen?"
5. Belang van correct wiskundig verwoorden
Definitie: Dit principe houdt in dat leerlingen wiskundige begrippen en
oplossingsmethodes expliciet leren benoemen met de juiste vakterminologie. Het is de
brug tussen het handelen met concreet materiaal en het abstracte denken zonder
materiaal.
Van spreektaal naar vaktaal: Leerlingen moeten geleidelijk de overstap maken
van informele woorden naar precieze wiskundige termen. Vaktaal helpt om
abstracte begrippen een vaste invulling te geven.
o Concreet voorbeeld: Een leerling zegt eerst: "Ik heb 5 blokjes." De leraar
stimuleert de vaktaal door te zeggen: "Inderdaad, je hebt een groepje van
5 eenheden."
Betekenis achterhalen via de oorsprong: Door de herkomst van woorden uit
te leggen (bijvoorbeeld uit het Latijn of Frans), begrijpen leerlingen de logica
achter een term beter, wat het onthouden vergemakkelijkt.
o Concreet voorbeeld: Leg uit dat pro-cent komt van 'pro centum' (per
honderd). Zo begrijpt een kind dat 15% suiker in yoghurt betekent: 15
gram suiker per 100 gram yoghurt.
Verschillende interpretaties van begrippen: Sommige woorden hebben in het
dagelijks leven een andere betekenis dan in de wiskunde. Het is cruciaal om dit
onderscheid expliciet te maken.
o Concreet voorbeeld: Het woord 'verschil'. In het dagelijks leven zoek je
verschillen tussen twee plaatjes (piraten met of zonder ooglapje). In de
wiskunde is het 'verschil' het resultaat van een aftrekking (het verschil
tussen 84 en 72 is 12).
Gebruik van eigenschappen en rekenregels: Het consequent benoemen van
de gebruikte rekenstrategie helpt bij het verankeren van de methode.
o Concreet voorbeeld: Bij de som 1788 – 599 maak je er 1789 - 600 van.
De leraar benoemt dit als de aftrekkingshalter: het verschil blijft gelijk als
je beide getallen met evenveel vermeerdert.
