Résumé Equations différentielles

Chapitre 14 : Équations Différentielles Linéaires Fiche de Révision


1. Systèmes Différentiels (Ordre 1) 3. Systèmes à Coefficients Constants
Dans tout le chapitre, I est un intervalle de R, K = R ou Théorème (Résolution Homogène). Le système autonome
C, et E un espace vectoriel normé de dimension n. X ′ = AX admet pour unique solution vérifiant X(t0 ) = X0
Définition (Équation différentielle linéaire d’ordre 1). C’est la fonction t 7→ e(t−t0 )A X0 .
une équation du type : Théorème (Résolution avec Second Membre). La solution
′
x = a(t)x + b(t) (E) de X ′ = AX + B(t) avec X(t0 ) = X0 est :

où a ∈ C 0 (I, L(E)) et b ∈ C 0 (I, E). Une fonction x : I → E t
 Z 
(t−t0 )A −(s−t0 )A
dérivable vérifiant (E) est une solution. (Toute solution X(t) = e X0 + e B(s)ds
t0
est en fait de classe C 1 ). L’équation homogène (sans second
membre) associée est : x′ = a(t)x (EH). Méthode (Diagonalisation). Pour résoudre X ′ = AX, on
Théorème (Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire). Pour pose Y = P −1 X avec A = P DP −1 . Le système devient
tout (t0 , x0 ) ∈ I × E, le problème de Cauchy : Y ′ = DY , soit yi′ (t) = λi yi (t). Donc yi (t) = Ci eλi t . On
( remonte à X = P Y . Si A n’est pas diagonalisable, on la
x′ = a(t)x + b(t) trigonalise.
x(t0 ) = x0

possède une unique solution définie sur I tout entier. (La 4. Équations Scalaires d’Ordre 1
Rt
forme intégrale équivalente est x(t) = x0 + t0 (a(u)x(u) +
Définition (Équation scalaire d’ordre 1). a(t)x′ + b(t)x =
b(u))du). c(t), avec a, b, c ∈ C 0 (I, K) et a ne s’annulant pas sur I.
Théorème (Structure des solutions).
Théorème (Résolution explicite). Si F (t) est la primitive
— L’espace des solutions de (EH), noté SI (EH), est un b(t)
sous-espace vectoriel de C 1 (I, E) de dimension n. de a(t) s’annulant en t0 , la solution du problème de Cauchy
— L’espace des solutions de (E) est un sous-espace af- x(t0 ) = x0 est donnée par :
fine de direction SI (EH). (Solution générale = Solution  Z t 
particulière + Solution homogène). c(s)
x(t) = e−F (t) x0 + eF (s) ds
— Principe de superposition : Si x1 solution pour b1 et t0 a(s)
x2 solution pour b2 , alors λx1 + µx2 est solution pour
λb1 + µb2 . (La droite des solutions homogènes est engendrée par e−F (t) ).

Définition (Wronskien). Un système fondamental de so-
lutions de (EH) est une base (φ1 , . . . , φn ) de SI (EH). Dans 5. Équations Scalaires d’Ordre n
une base e de E, la matrice wronskienne We (φ)(t) a pour
colonnes les φj (t). Son déterminant est le Wronskien w(t). Définition. x(n) + an−1 (t)x(n−1) + · · · + a0 (t)x = b(t).
Le problème de Cauchy nécessite n conditions initiales :
Théorème (Propriétés du Wronskien). x(t0 ), x′ (t0 ), . . . , x(n−1) (t0 ).
— Le Wronskien w vérifie l’équation scalaire : w′ (t) =
Tr(A(t))w(t). Théorème (Lien avec les systèmes). On se ramène à un sys-
— (φ1 , . . . , φn ) est un système fondamental ⇐⇒ ∀t ∈ tème de dimension n via le vecteur X = (x, x′ , . . . , x(n−1) )⊤ .
I, w(t) ̸= 0 ⇐⇒ ∃t0 ∈ I, w(t0 ) ̸= 0. La matrice associée A(t) est une matrice compagnon (avec
des 1 sur la surdiagonale et les coefficients −ai (t) sur la der-
Méthode (Variation des constantes (vectorielle)). Pour ré-
nière ligne). Conséquence : Cauchy-Lipschitz s’applique, et la
soudre (E) avec un système fondamental, on pose la solution
dimension de l’espace des solutions homogènes est n.
sous la forme X(t) = W (t)Λ(t) (où Λ est un vecteur colonne
de fonctions λi (t)). Alors X est solution ⇐⇒ W (t)Λ′ (t) =
B(t). On résout ce système inversible pour trouver les λ′i (t). 6. Équations Scalaires d’Ordre 2
L’équation est a(t)x′′ + b(t)x′ + c(t)x = d(t), avec a ̸= 0.
2. Exponentielle de Matrices
Théorème (Wronskien d’ordre 2). Pour deux solutions f1 , f2
Définition (Exponentielle d’un endomorphisme). Pour u ∈
P uk de (EH), leur wronskien est w(t) = f1 (t)f2′ (t) − f2 (t)f1′ (t). Il
L(E) (ou A ∈ Mn (K)), la série k! converge absolument. vérifie l’équation :
Sa somme est notée eu ou exp(u).
Théorème (Propriétés de l’exponentielle). a(t)w′ (t) + b(t)w(t) = 0
— L’application A 7→ eA est continue.
(f1 , f2 ) est un système fondamental ssi w ̸= 0.
— Si AB = BA, alors eA+B = eA eB .
— ∀A, eA ∈ GLn (K) avec (eA )−1 = e−A et det(eA ) = eTr(A) . Méthode (Variation des constantes (Ordre 2)). On cherche
Théorème (Dérivation). L’application t 7→ etA est l’unique la solution sous la forme x(t) = λ(t)f1 (t) + µ(t)f2 (t). On im-
solution du problème de Cauchy X ′ = AX avec X(0) = In . pose le système :
Elle est de classe C ∞ et : (
λ′ f1 + µ′ f2 = 0
d tA

e = AetA = etA A d(t)
λ′ f1′ + µ′ f2′ = a(t)
dt

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