Hoofdstuk 10. Steekproevenverdelingen en betrouwbaarheidsintervallen
voor proporties
Soorten variabelen
Categorische variabele
→ ordinaal: je kan er een orde op zetten (dichotoom)
*vb bachelor is minder, lager dan een master
*vb dichotoom bachelor krijgt 0 en master 1
→ nominaal
*vb geslacht man en vrouw is evenwaardig, niet te vergelijken
Kwantitatieve variabele
→ discreet: je werkt met natuurlijke getallen en maakt sprongen, geen komma’s
→ continu
Bernouilli-trail
Stel: je gooit een muntstuk op
succes, je gooit kop (p) >< mislukking, je gooit munt (1 – p)
Je kan het experiment n keer herhalen en je vraagt je af hoeveel van die 10 keer je kop
bent bekomen?
N keer bernouilli-trail P(x = k), binomiale distributie
Stel: je gooit 10 keer een munt op en je wil nakijken hoeveel je kop bent bekomen
> de verwachtingswaarde is 5, je hebt telkens 1/2de kans op kop
> als je het binomiaal model uitzet ga je een piek hebben op 5, als je het
experiment heel vaak herhaalt wordt het normaal verdeeld
10.1 Verdeling van steekproefproporties
Inleiding
Populatie = over wie/wat je een uitspraak wil doen (afhankelijk van je studie)
Steekproef = als het niet haalbaar is de volledige populatie te bevragen/bemonsteren
Parameter = proportie p in de populatie (‘werkelijke’ waarde)
*vb hoeveel mannen wonen er in Brussel
Statistiek (van iets) = proportie 𝑝̂ in de steekproef
*Toepassing studenten in de aula
De totale populatie zijn alle studenten in de aula, hiervan hebben er 32% ja geantwoord
Steekproef 1: enkel studenten met bruine of zwarte schoenen steken hand op 𝑝̂ = 52%
Steekproef 2: enkel studenten met een ‘E’ in de voornamen steken hand op 𝑝̂ = 30%
Steekproef 3: enkel studenten met een ‘L’ in hun achternaam steken hand op 𝑝̂ = 31%
→ in de 1ste steekproef wijkt de proportie sterk af
→ voor de andere 2 steekproeven is de proportie een goede weergave van de
populatie
Steekproevenverdeling
Wat is de variabiliteit in de steekproefproportie 𝑝̂ ?
- stel je theoretisch voor hoe de steekproefproportie kan variëren over alle mogelijke
steekproeven
1
,- steekproefproportie: berekend op basis van één enkele steekproef uit een volledige
populatie
- variabiliteit: hoe zou de steekproefproportie variëren over alle mogelijke steekproeven
*vb bedrijf die marketingcampagne willen voeren en deze enkel als geslaagd bekijken
indien 20% van de klanten hun kredietkaart uitgaven verhogen > ze gaan dit eerst testen
op een bepaalde groep mensen (de steekproef), in een steekproef van 1000 klanten gaan
211 klanten de uitgaven verhogen > we kunnen de steekproef als geslaagd beschouwen
en de campagne kan gelanceerd worden
Applet: https://www.statcrunch.com/sampling-dist
→ we zien dat wanneer we de steekproef vele keren herhalen we een normaal verdeling
gaan benaderen en dat we dicht bij de werkelijke proportie gaan liggen
Simulatie van 10,000 steekproefproporties
Voor een steekproefgrootte van 1000 met p = 0.2 als proportie
- niet elke steekproef heeft een proportie gelijk aan 0.2
- steekproefproporties groter dan 0.24 en kleiner dan 0.16 zijn zeldzaam
- meeste steekproefproporties liggen tussen 0.18 en 0.22
- dit histogram toont de simulatie van de steekproevenverdeling van 𝑝̂
→ indien je k successen hebt uit n experimenten, is de proportie k/n
Steekproevenverdeling
Steekproevenverdeling van proporties = de verdeling van de proporties over veel
onafhankelijke steekproeven van de populatie
- voor klokvormige verdelingen gecentreerd rond de reële proportie p, kunnen we de
steekproefgrootte n gebruiken om de standaardafwijking van de steekproevenverdeling
te vinden
𝐸(𝑥) = 𝑛. 𝑝
(verwachtingswaarde)
𝑝. (1 − 𝑝) 𝑝. 𝑞
𝑆𝐷(𝑝̂ ) = √ =√
𝑛 𝑛
(standaardafwijking)
2
,- verschil tussen steekproefproporties, steekproevenfout (niet echt een fout eerder de
meting van variabiliteit)
Steekproevenverdeling van steekproefproporties
Steekproevenverdelingsmodel voor de steekproefproportie:
𝑝. 𝑞
𝑁 (𝑝, √ )
𝑛
- dit geldt niet in alle situaties, maar wel voor de meeste situaties in de praktijk
- steekproef moet groot genoeg zijn en de waarden moeten onafhankelijk zijn
Steekproevenverdeling in de praktijk
- we kunnen de variabiliteit van steekproeven niet controleren aangezien we de gehele
populatieproportie niet kennen > wel kunnen we voorspellen hoe proporties gaan
variëren om een beslissing te maken
- in de praktijk hebben we (meestal) maar 1 steekproef getrokken waarmee we kunnen
voorspellen hoe de proporties zullen variëren van steekproef tot steekproef
z-scores
- aangezien we een Normaalverdeling hebben kunnen we z-scores berekenen voor de
gekende populatieproportie p en de vooropgestelde 𝑝̂
𝑝̂ − 𝑝
𝑧=
𝑆𝐷(𝑝̂ )
- met de z-scores kunnen we de probabiliteit berekenen om een proportie te bekomen
groter dan de vooropgestelde 𝑝̂
- de z-score is een kritische waarde
Aannames en condities
1. De aanname van onafhankelijkheid
→ de steekproefwaarden moet onafhankelijk zijn van elkaar
- conditie van aselecte keuze: toekenning van deelnemers aan groepen moet aselect
gebeurd zijn (experiment), gebruik gemaakt van enkelvoudige aselecte steekproef
(enquête), geen vertekening en representatieve data
3
, - de 10% conditie: bij een steekproef zonder teruglegging mag de steekproefgrootte niet
groter zijn dan 10% van de populatie
2. De aanname van steekproefgrootte
→ de steekproefgrootte n moet voldoende groot zijn (Normaal
steekproevenverdelingsmodel van 𝑝̂ )
- succes/mislukking voorwaarde: aantal successen 𝑛. 𝑝 ≥ 10 en aantal mislukkingen
𝑛. 𝑞 ≥ 10
10.2 Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie
Standaardfout
- steekproevenverdelingsmodel is gecentreerd rond de reële proportie p en de heeft
standaardafwijking SD(𝑝̂ )
- de vorm van de steekproevenverdeling is normaal bij voldoende groot aantal successen
en mislukkingen, we kunnen 𝑝̂ gebruiken om de standaardfout te berekenen SE(𝑝̂ )
𝑝̂ . 𝑞̂
𝑆𝐸(𝑝̂ ) = √
𝑛
- hoe groter de steekproef, hoe kleiner de fout> hoe meer mensen je bevraagt, hoe
kleiner je kan verwachten dat de fout is
!let op: bij een halvering van betrouwbaarheidsinterval zal je je steekproef moeten
verviervoudigen!
Normaalverdeling van de steekproefproporties
- gezien de verdeling Normaal is, kunnen we verwachten dat ongeveer 95% van alle
steekproeven van 3559 volwassenen een steekproefproportie zouden hebben die binnen
2SE’s van p ligt
→ we zijn 95% zeker dat 𝑝̂ binnen 2 standaardafwijkingen van p ligt
Of de omgekeerde redenering…
→ we zijn 95% zeker dat de populatieparameter binnen 2 standaardafwijkingen van de
geobserveerde parameter ligt
Wat betekent 95% echt?
Stel: je neemt 20 steekproeven
- paarse stippen zijn
steekproefproporties
- oranje lijnen zijn het
betrouwbaarheidsinterval voor elke
steekproef
- groene lijn is de effectieve
populatieproportie
4
voor proporties
Soorten variabelen
Categorische variabele
→ ordinaal: je kan er een orde op zetten (dichotoom)
*vb bachelor is minder, lager dan een master
*vb dichotoom bachelor krijgt 0 en master 1
→ nominaal
*vb geslacht man en vrouw is evenwaardig, niet te vergelijken
Kwantitatieve variabele
→ discreet: je werkt met natuurlijke getallen en maakt sprongen, geen komma’s
→ continu
Bernouilli-trail
Stel: je gooit een muntstuk op
succes, je gooit kop (p) >< mislukking, je gooit munt (1 – p)
Je kan het experiment n keer herhalen en je vraagt je af hoeveel van die 10 keer je kop
bent bekomen?
N keer bernouilli-trail P(x = k), binomiale distributie
Stel: je gooit 10 keer een munt op en je wil nakijken hoeveel je kop bent bekomen
> de verwachtingswaarde is 5, je hebt telkens 1/2de kans op kop
> als je het binomiaal model uitzet ga je een piek hebben op 5, als je het
experiment heel vaak herhaalt wordt het normaal verdeeld
10.1 Verdeling van steekproefproporties
Inleiding
Populatie = over wie/wat je een uitspraak wil doen (afhankelijk van je studie)
Steekproef = als het niet haalbaar is de volledige populatie te bevragen/bemonsteren
Parameter = proportie p in de populatie (‘werkelijke’ waarde)
*vb hoeveel mannen wonen er in Brussel
Statistiek (van iets) = proportie 𝑝̂ in de steekproef
*Toepassing studenten in de aula
De totale populatie zijn alle studenten in de aula, hiervan hebben er 32% ja geantwoord
Steekproef 1: enkel studenten met bruine of zwarte schoenen steken hand op 𝑝̂ = 52%
Steekproef 2: enkel studenten met een ‘E’ in de voornamen steken hand op 𝑝̂ = 30%
Steekproef 3: enkel studenten met een ‘L’ in hun achternaam steken hand op 𝑝̂ = 31%
→ in de 1ste steekproef wijkt de proportie sterk af
→ voor de andere 2 steekproeven is de proportie een goede weergave van de
populatie
Steekproevenverdeling
Wat is de variabiliteit in de steekproefproportie 𝑝̂ ?
- stel je theoretisch voor hoe de steekproefproportie kan variëren over alle mogelijke
steekproeven
1
,- steekproefproportie: berekend op basis van één enkele steekproef uit een volledige
populatie
- variabiliteit: hoe zou de steekproefproportie variëren over alle mogelijke steekproeven
*vb bedrijf die marketingcampagne willen voeren en deze enkel als geslaagd bekijken
indien 20% van de klanten hun kredietkaart uitgaven verhogen > ze gaan dit eerst testen
op een bepaalde groep mensen (de steekproef), in een steekproef van 1000 klanten gaan
211 klanten de uitgaven verhogen > we kunnen de steekproef als geslaagd beschouwen
en de campagne kan gelanceerd worden
Applet: https://www.statcrunch.com/sampling-dist
→ we zien dat wanneer we de steekproef vele keren herhalen we een normaal verdeling
gaan benaderen en dat we dicht bij de werkelijke proportie gaan liggen
Simulatie van 10,000 steekproefproporties
Voor een steekproefgrootte van 1000 met p = 0.2 als proportie
- niet elke steekproef heeft een proportie gelijk aan 0.2
- steekproefproporties groter dan 0.24 en kleiner dan 0.16 zijn zeldzaam
- meeste steekproefproporties liggen tussen 0.18 en 0.22
- dit histogram toont de simulatie van de steekproevenverdeling van 𝑝̂
→ indien je k successen hebt uit n experimenten, is de proportie k/n
Steekproevenverdeling
Steekproevenverdeling van proporties = de verdeling van de proporties over veel
onafhankelijke steekproeven van de populatie
- voor klokvormige verdelingen gecentreerd rond de reële proportie p, kunnen we de
steekproefgrootte n gebruiken om de standaardafwijking van de steekproevenverdeling
te vinden
𝐸(𝑥) = 𝑛. 𝑝
(verwachtingswaarde)
𝑝. (1 − 𝑝) 𝑝. 𝑞
𝑆𝐷(𝑝̂ ) = √ =√
𝑛 𝑛
(standaardafwijking)
2
,- verschil tussen steekproefproporties, steekproevenfout (niet echt een fout eerder de
meting van variabiliteit)
Steekproevenverdeling van steekproefproporties
Steekproevenverdelingsmodel voor de steekproefproportie:
𝑝. 𝑞
𝑁 (𝑝, √ )
𝑛
- dit geldt niet in alle situaties, maar wel voor de meeste situaties in de praktijk
- steekproef moet groot genoeg zijn en de waarden moeten onafhankelijk zijn
Steekproevenverdeling in de praktijk
- we kunnen de variabiliteit van steekproeven niet controleren aangezien we de gehele
populatieproportie niet kennen > wel kunnen we voorspellen hoe proporties gaan
variëren om een beslissing te maken
- in de praktijk hebben we (meestal) maar 1 steekproef getrokken waarmee we kunnen
voorspellen hoe de proporties zullen variëren van steekproef tot steekproef
z-scores
- aangezien we een Normaalverdeling hebben kunnen we z-scores berekenen voor de
gekende populatieproportie p en de vooropgestelde 𝑝̂
𝑝̂ − 𝑝
𝑧=
𝑆𝐷(𝑝̂ )
- met de z-scores kunnen we de probabiliteit berekenen om een proportie te bekomen
groter dan de vooropgestelde 𝑝̂
- de z-score is een kritische waarde
Aannames en condities
1. De aanname van onafhankelijkheid
→ de steekproefwaarden moet onafhankelijk zijn van elkaar
- conditie van aselecte keuze: toekenning van deelnemers aan groepen moet aselect
gebeurd zijn (experiment), gebruik gemaakt van enkelvoudige aselecte steekproef
(enquête), geen vertekening en representatieve data
3
, - de 10% conditie: bij een steekproef zonder teruglegging mag de steekproefgrootte niet
groter zijn dan 10% van de populatie
2. De aanname van steekproefgrootte
→ de steekproefgrootte n moet voldoende groot zijn (Normaal
steekproevenverdelingsmodel van 𝑝̂ )
- succes/mislukking voorwaarde: aantal successen 𝑛. 𝑝 ≥ 10 en aantal mislukkingen
𝑛. 𝑞 ≥ 10
10.2 Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie
Standaardfout
- steekproevenverdelingsmodel is gecentreerd rond de reële proportie p en de heeft
standaardafwijking SD(𝑝̂ )
- de vorm van de steekproevenverdeling is normaal bij voldoende groot aantal successen
en mislukkingen, we kunnen 𝑝̂ gebruiken om de standaardfout te berekenen SE(𝑝̂ )
𝑝̂ . 𝑞̂
𝑆𝐸(𝑝̂ ) = √
𝑛
- hoe groter de steekproef, hoe kleiner de fout> hoe meer mensen je bevraagt, hoe
kleiner je kan verwachten dat de fout is
!let op: bij een halvering van betrouwbaarheidsinterval zal je je steekproef moeten
verviervoudigen!
Normaalverdeling van de steekproefproporties
- gezien de verdeling Normaal is, kunnen we verwachten dat ongeveer 95% van alle
steekproeven van 3559 volwassenen een steekproefproportie zouden hebben die binnen
2SE’s van p ligt
→ we zijn 95% zeker dat 𝑝̂ binnen 2 standaardafwijkingen van p ligt
Of de omgekeerde redenering…
→ we zijn 95% zeker dat de populatieparameter binnen 2 standaardafwijkingen van de
geobserveerde parameter ligt
Wat betekent 95% echt?
Stel: je neemt 20 steekproeven
- paarse stippen zijn
steekproefproporties
- oranje lijnen zijn het
betrouwbaarheidsinterval voor elke
steekproef
- groene lijn is de effectieve
populatieproportie
4
