1. Una cadena de restaurantes desea estudiar la calidad del servicio
en uno de sus restaurantes. Se selecciona una muestra aleatoria
de 120 clientes y se les pide que valoren la calidad del servicio
entre 0 y 10. La media muestral de la calidad del servicio es de 8.
La desviación estándar poblacional es conocida y vale 1,5.
Además, a los clientes de la muestra se les pregunta si
recomendarían el restaurante a otros. De ellos, 90 clientes indican
que sí recomendarían el restaurante.
Datos
N=120
Media =8
Desviación típica poblacional (DE) =1,50
P=90/120 = 0,75 (75%)
a) Calcula el intervalo de confianza al 95% para la proporción de
clientes que recomendarían el restaurante.
IC95% = [ P+/- Z * raíz ( P(1-P))/N)] = 1-α
IC95% = [ 0,75+/- 1,96 * raíz ( 0,75*0,25)/120)] = 0,95
IC95% = [ 0,75+/- 1,96 * 0,039528471] = 0,95
IC95% = [ 0,75+/- 0,077475803] = 0,95
IC95% = [ 0,6725<p<0,8275] = 0,95
La proporción de clientes que recomendarían el restaurante estará
entre el 67,25% y 82,75% con un 95% de confianza.
b) ¿Cómo variaría la longitud del intervalo de confianza para la
proporción si el nivel de confianza deseado fuera del 90%? Justifica la
respuesta. No es necesario que calcules el intervalo.
Al reducir el nivel de confianza del 95% al 90%, el valor crítico Z
disminuye de 1,96 a 1,645. Como la longitud del intervalo depende
directamente del valor de Z , el margen de error será menor y la
longitud del intervalo de confianza será más reducida (más estrecha o
precisa). A menor nivel de confianza, menor es la seguridad del
intervalo, pero más preciso es el resultado.
c) Calcula el intervalo de confianza al 95% para la media de la calidad
del servicio de todos los clientes del restaurante.
[
I C 95 %= Media ± Z ⋅
σ
√N]=1−α
, IC95% = [ 8+/- 1,96 * 1,50/raíz(120) ] = 0,95
IC95% = [ 8+/- 1,96 * 0,136930639 ] = 0,95
IC95% = [ 8+/- 0,268384053] = 0,95
IC95% = [ 7,73<µ<8,27] = 0,95
la media de la calidad del servicio de todos los clientes del
restaurante estará entre 7,73 y 8,27 con un 95% de confianza.
d) Si se desea que la longitud total del intervalo de confianza del
apartado c) sea de 0,5 puntos, sin modificar el tamaño de la muestra,
¿cuál debería ser el nivel de confianza? Justifica la respuesta.
Datos
L=0,5 (Longitud total)
L 0,5
Margen de error ( ME ) ¿ = =0,25
2 2
σ =1,50
N=120
Fórmula:
⟹ Z= √
σ L⋅ N
L=2 ⋅ Z ⋅
√N 2 ⋅σ
0,5⋅ √ 120
Z=
2⋅1,50
0,5⋅10,95445115
Z=
3,00
5,477225575
Z= =1,83
3,00
Buscamos este valor Z=1,83 en la tabla de la distribución Normal
Estándar:
P ( Z ≤1,83 )=0,9664
α
=1−0,9664=0,0336 ⟹ α =2⋅0,0336=0,0672
2
Por lo tanto, el nivel de confianza será:
1−α =1−0,0672=0,9328 ( 93,28 % )
Conclusión:
Para que la longitud del intervalo sea de 0,5 puntos, el nivel de
confianza debe ser del 93,28% (o 93,3%).
en uno de sus restaurantes. Se selecciona una muestra aleatoria
de 120 clientes y se les pide que valoren la calidad del servicio
entre 0 y 10. La media muestral de la calidad del servicio es de 8.
La desviación estándar poblacional es conocida y vale 1,5.
Además, a los clientes de la muestra se les pregunta si
recomendarían el restaurante a otros. De ellos, 90 clientes indican
que sí recomendarían el restaurante.
Datos
N=120
Media =8
Desviación típica poblacional (DE) =1,50
P=90/120 = 0,75 (75%)
a) Calcula el intervalo de confianza al 95% para la proporción de
clientes que recomendarían el restaurante.
IC95% = [ P+/- Z * raíz ( P(1-P))/N)] = 1-α
IC95% = [ 0,75+/- 1,96 * raíz ( 0,75*0,25)/120)] = 0,95
IC95% = [ 0,75+/- 1,96 * 0,039528471] = 0,95
IC95% = [ 0,75+/- 0,077475803] = 0,95
IC95% = [ 0,6725<p<0,8275] = 0,95
La proporción de clientes que recomendarían el restaurante estará
entre el 67,25% y 82,75% con un 95% de confianza.
b) ¿Cómo variaría la longitud del intervalo de confianza para la
proporción si el nivel de confianza deseado fuera del 90%? Justifica la
respuesta. No es necesario que calcules el intervalo.
Al reducir el nivel de confianza del 95% al 90%, el valor crítico Z
disminuye de 1,96 a 1,645. Como la longitud del intervalo depende
directamente del valor de Z , el margen de error será menor y la
longitud del intervalo de confianza será más reducida (más estrecha o
precisa). A menor nivel de confianza, menor es la seguridad del
intervalo, pero más preciso es el resultado.
c) Calcula el intervalo de confianza al 95% para la media de la calidad
del servicio de todos los clientes del restaurante.
[
I C 95 %= Media ± Z ⋅
σ
√N]=1−α
, IC95% = [ 8+/- 1,96 * 1,50/raíz(120) ] = 0,95
IC95% = [ 8+/- 1,96 * 0,136930639 ] = 0,95
IC95% = [ 8+/- 0,268384053] = 0,95
IC95% = [ 7,73<µ<8,27] = 0,95
la media de la calidad del servicio de todos los clientes del
restaurante estará entre 7,73 y 8,27 con un 95% de confianza.
d) Si se desea que la longitud total del intervalo de confianza del
apartado c) sea de 0,5 puntos, sin modificar el tamaño de la muestra,
¿cuál debería ser el nivel de confianza? Justifica la respuesta.
Datos
L=0,5 (Longitud total)
L 0,5
Margen de error ( ME ) ¿ = =0,25
2 2
σ =1,50
N=120
Fórmula:
⟹ Z= √
σ L⋅ N
L=2 ⋅ Z ⋅
√N 2 ⋅σ
0,5⋅ √ 120
Z=
2⋅1,50
0,5⋅10,95445115
Z=
3,00
5,477225575
Z= =1,83
3,00
Buscamos este valor Z=1,83 en la tabla de la distribución Normal
Estándar:
P ( Z ≤1,83 )=0,9664
α
=1−0,9664=0,0336 ⟹ α =2⋅0,0336=0,0672
2
Por lo tanto, el nivel de confianza será:
1−α =1−0,0672=0,9328 ( 93,28 % )
Conclusión:
Para que la longitud del intervalo sea de 0,5 puntos, el nivel de
confianza debe ser del 93,28% (o 93,3%).
