Tema-9 DERIVADAS MATEMÁTICAS 1ºBACH

TEMA-9 DERIVADAS.
1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
➢ Sea f una función real de variable real.

❑ Se dice que la derivada de la función f en el punto x = x0, se denota por 𝑓 ′ (𝑥0 ), es el valor
f (x ) − f (x 0 )
del límite lim = f (x 0 )
x → xo x − x0


➢ Para que exista la derivada de f en el punto x = x0, es preciso que exista f(xo), 𝑥𝑜 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓),
pues de lo contrario no podríamos calcular el límite.

➢ Se dice que f es derivable en el punto x = x0 si f (x0 ) es un número real.
Ejemplo Calcula la derivada de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑒𝑛 𝑥=3




➢ Si escribo que x = x0 + h y hago tender la x hacia x0, entonces x0 = x0 + 0, es decir, la h
f (x0 + h ) − f (x0 )
tiende a cero, y el límite se puede reescribir como lim = f ( x0 ) .
h →0 h

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 )
f (x0 ) = lim = lim
h→0 h x → x0 x − x0

Ejemplo Calcula la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑒𝑛 𝑥=5




- 1 –TEORÍA DE DERIVADAS

,❑ La derivada de la función f en el punto x = x0 ,𝑓 ′ (𝑥0 ), es el límite del incremento de la función
dividido por el incremento de la variable cuando éste tiende a cero.

f (x )
f (x0 ) = lim
y
x →0 x




✓ Gráficamente la derivabilidad puede calificarse como
suavidad, ausencia de cambios bruscos.


x
xo



2. DERIVADAS LATERALES.
 Puesto que la derivada en un punto es un límite, podemos considerar también la existencia
de límites laterales en dicho punto.

❑ Se dice que la derivada por la izquierda de la función f en el punto x=x0 es el valor del límite

f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 )
lim−
x − x0
= lim
h
( )
= f  x0
−

x → x0 h→0−


❑ Una función es derivable por la izquierda en el punto x=x0 si ( ) es un número real.
f  x0
−



❑ Se dice que la derivada por la derecha de la función f en el punto x=x0 es el valor del límite

f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 )
lim+
x − x0
= lim
+ h
( )
= f  x0
+

x → x0 h→0


❑ Una función es derivable por la derecha en el punto x=x0 si f  x0 ( ) es un número real.
+




- 2 –TEORÍA DE DERIVADAS

, ❑ Las derivadas por la izquierda y por la derecha se denominan derivadas laterales.
2
Ejemplo 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 en x =1
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1




TEOREMA
➢ Una función f es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la
derecha en dicho punto y además las derivadas laterales coinciden.

f ( x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 )
f es derivable en x = x0  lim = lim = f (x0 )
−
x → x0 x − x0 x → x0 + x − x0

2
Ejemplo 𝑓(𝑥) = {𝑥 +26𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1 𝑒𝑛 𝑥 = −1
2𝑥 + 8𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1




- 3 –TEORÍA DE DERIVADAS