Analyse en Calculus
I1, IW1, N1, W1
Oefenzitting 16: Functies in meerdere veranderlijken
Academiejaar 2025 – 2026 Deel 2 - Hoofdstuk 1, 2 & 3
1 Herhaling
1.1 Functies in meerdere dimensies
We onderscheiden drie soorten functies:
• Een reële functie f van n reële veranderlijken
f : Rn → R : ωx = (x1 , . . . , xn ) ↑→ f (ωx) = f (x1 , . . . , xn ).
• Een reële vectorfunctie fω van één reële veranderlijke
fω : R → Rm : t ↑→ fω(t) = (f1 (t), . . . , fm (t)).
De functies f1 , . . . , fm noemen we de componentfuncties van fω.
• Een reële vectorfunctie fω van n reële veranderlijken
fω : Rn → Rm : ωx = (x1 , . . . , xn ) ↑→ fω(ωx) = (f1 (ωx), . . . , fm (ωx))
= (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )).
De functies f1 , . . . , fm noemen we de componentfuncties van fω.
Als f een reële functie is van twee veranderlijken, dan definiëren we de niveaulijn of -kromme
Nc van f als de verzameling van punten (x, y) waarvoor de functiewaarde gelijk is aan c,
Nc = {(x, y) ↓ def(f )|f (x, y) = c}.
Een vectorveld is een vectorfunctie van n veranderlijken waarbij m = n,
fω : Rn → Rn : ωx ↑→ fω(ωx) = (f1 (ωx), . . . , fn (ωx)).
Een vectorveld fω met n = 2 (of n = 3) kan grafisch voorgesteld worden m.b.v. pijltjes door
aan elk punt (x, y) (of (x, y, z)) de vector fω(x, y) (of fω(x, y, z)) te hechten.
1.2 Limieten en continuïteit
• De limiet van een vectorfunctie fω voor ωx naar ωa, lim fω(ωx), bestaat als fω(ωx) naar hetzelfde
x→ω
ω a
ω nadert, onafhankelijk van de manier waarop ωx nadert tot ωa. We noteren
punt L
lim fω(ωx) = L.
ω
x→ω
ω a
• De limiet van een vectorfunctie bestaat als en slechts als de limiet van elk van de compo-
nentfuncties bestaat.
, • Een vectorfunctie fω is continu in ωa als
ε ωa ↓ def(fω),
ε lim fω(ωx) bestaat en
x→ω
ω a
ε lim fω(ωx) = fω(ωa).
x→ω
ω a
Een vectorfunctie fω is een continue vectorfunctie als fω continu is in elke ωa ↓ def(fω).
• Een vectorfunctie is continu als en slechts als elk van zijn componentfuncties continu is.
1.3 Afgeleide van een functie van n veranderlijken
Gegeven een functie f van n veranderlijken, f : Rn → R : ωx = (x1 , . . . , xn ) ↑→ f (ωx) = f (x1 , . . . , xn )
en ωa een inwendig punt van def(f ).
• We kunnen f partieel afleiden naar xi in ωa, hiervoor leiden we f af naar xi in het punt
ωa en houden we alle andere variabelen constant. We noteren
ϑf
(ωa).
ϑxi
Betekenis: De partiële afgeleide van een functie f naar zijn i-de veranderlijke is een
maat voor de verandering van f in de richting van de i-de coördinaatas.
• Partiële afgeleiden van de tweede orde zijn partiële afgeleiden van de partiële afgeleiden.
We noteren
! "
ϑf ϑf ϑ2f
(ωa) = (ωa),
ϑxj ϑxi ϑxj ϑxi
! "
ϑf ϑf ϑ2f
(ωa) = (ωa).
ϑxi ϑxi ϑx2i
Analoog kunnen we derde (of hogere) orde partiële afgeleiden bepalen.
Opmerking: de volgorde waarin je afleidt is belangrijk!
• De gradiënt van f in ωa is de vector bestaande uit de partiële afgeleiden,
! "
ϑf ϑf
↔f (ωa) = (ωa), . . . , (ωa) .
ϑx1 ϑxn
Als f totaal afleidbaar is in ωa, dan wordt de gradiënt ook wel de totale afgeleide van f
in ωa genoemd.
• Als alle partiële afgeleiden van f bestaan en continu zijn in ωa, dan is f totaal afleidbaar in
ωa.
Oefenzitting 16: Functies in meerdere veranderlijken
Deel 2 - Hoofdstuk 1, 2 & 3 29/49
,2 Oefeningen
Deel 2 - Hoofdstuk 1 - p. 17-19
Deel 2 - Hoofdstuk 2 - p. 27
Deel 2 - Hoofdstuk 3 - p. 67-73
• In figuur 2 zijn de grafieken en niveaulijnen van zes functies gegeven. Welke grafiek hoort
bij welke niveaulijnen? De grafieken hebben telkens dezelfde schaal, alsook alle plots van de
niveaukrommen.
• 1.9 (3)
• 1.10 (2) Zonder gebruik te maken van ICT!
• 1.15 (1)
• Argumenteer waarom de limiet
x2 y
lim
(x,y)→(0,0) x4+ y2
niet bestaat. (Zie figuur 3)
• Beschouw de functie #
x2 +y 2
2 , y=↗ 0,
f : R → R : (x, y) ↑→ y
0 y = 0.
Toon aan dat f niet continu is in (0, 0). (Zie figuur 4)
• 3.24 (4)
• 3.28 (2)
3 Extra Oefeningen
Deel 2 - Hoofdstuk 1 - p. 17-19
Deel 2 - Hoofdstuk 2 - p. 27
• 1.9 (5)
• 1.11
• 2.2 >
-
Niet op Examen
Sensl
• 2.3 -
> WELP (morder
Oefenzitting 16: Functies in meerdere veranderlijken
Deel 2 - Hoofdstuk 1, 2 & 3 30/49
, (a) (c) (e)
z z z
y y y
x x x
(b) (d) (f)
z z z
y y y
x x x
(A) (e) (C) (a) (E) (c)
(B) (f) (D) (N) (F) (d)
Figuur 2: Welke grafiek hoort bij welke niveaulijnen?
Oefenzitting 16: Functies in meerdere veranderlijken
Deel 2 - Hoofdstuk 1, 2 & 3 31/49
I1, IW1, N1, W1
Oefenzitting 16: Functies in meerdere veranderlijken
Academiejaar 2025 – 2026 Deel 2 - Hoofdstuk 1, 2 & 3
1 Herhaling
1.1 Functies in meerdere dimensies
We onderscheiden drie soorten functies:
• Een reële functie f van n reële veranderlijken
f : Rn → R : ωx = (x1 , . . . , xn ) ↑→ f (ωx) = f (x1 , . . . , xn ).
• Een reële vectorfunctie fω van één reële veranderlijke
fω : R → Rm : t ↑→ fω(t) = (f1 (t), . . . , fm (t)).
De functies f1 , . . . , fm noemen we de componentfuncties van fω.
• Een reële vectorfunctie fω van n reële veranderlijken
fω : Rn → Rm : ωx = (x1 , . . . , xn ) ↑→ fω(ωx) = (f1 (ωx), . . . , fm (ωx))
= (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )).
De functies f1 , . . . , fm noemen we de componentfuncties van fω.
Als f een reële functie is van twee veranderlijken, dan definiëren we de niveaulijn of -kromme
Nc van f als de verzameling van punten (x, y) waarvoor de functiewaarde gelijk is aan c,
Nc = {(x, y) ↓ def(f )|f (x, y) = c}.
Een vectorveld is een vectorfunctie van n veranderlijken waarbij m = n,
fω : Rn → Rn : ωx ↑→ fω(ωx) = (f1 (ωx), . . . , fn (ωx)).
Een vectorveld fω met n = 2 (of n = 3) kan grafisch voorgesteld worden m.b.v. pijltjes door
aan elk punt (x, y) (of (x, y, z)) de vector fω(x, y) (of fω(x, y, z)) te hechten.
1.2 Limieten en continuïteit
• De limiet van een vectorfunctie fω voor ωx naar ωa, lim fω(ωx), bestaat als fω(ωx) naar hetzelfde
x→ω
ω a
ω nadert, onafhankelijk van de manier waarop ωx nadert tot ωa. We noteren
punt L
lim fω(ωx) = L.
ω
x→ω
ω a
• De limiet van een vectorfunctie bestaat als en slechts als de limiet van elk van de compo-
nentfuncties bestaat.
, • Een vectorfunctie fω is continu in ωa als
ε ωa ↓ def(fω),
ε lim fω(ωx) bestaat en
x→ω
ω a
ε lim fω(ωx) = fω(ωa).
x→ω
ω a
Een vectorfunctie fω is een continue vectorfunctie als fω continu is in elke ωa ↓ def(fω).
• Een vectorfunctie is continu als en slechts als elk van zijn componentfuncties continu is.
1.3 Afgeleide van een functie van n veranderlijken
Gegeven een functie f van n veranderlijken, f : Rn → R : ωx = (x1 , . . . , xn ) ↑→ f (ωx) = f (x1 , . . . , xn )
en ωa een inwendig punt van def(f ).
• We kunnen f partieel afleiden naar xi in ωa, hiervoor leiden we f af naar xi in het punt
ωa en houden we alle andere variabelen constant. We noteren
ϑf
(ωa).
ϑxi
Betekenis: De partiële afgeleide van een functie f naar zijn i-de veranderlijke is een
maat voor de verandering van f in de richting van de i-de coördinaatas.
• Partiële afgeleiden van de tweede orde zijn partiële afgeleiden van de partiële afgeleiden.
We noteren
! "
ϑf ϑf ϑ2f
(ωa) = (ωa),
ϑxj ϑxi ϑxj ϑxi
! "
ϑf ϑf ϑ2f
(ωa) = (ωa).
ϑxi ϑxi ϑx2i
Analoog kunnen we derde (of hogere) orde partiële afgeleiden bepalen.
Opmerking: de volgorde waarin je afleidt is belangrijk!
• De gradiënt van f in ωa is de vector bestaande uit de partiële afgeleiden,
! "
ϑf ϑf
↔f (ωa) = (ωa), . . . , (ωa) .
ϑx1 ϑxn
Als f totaal afleidbaar is in ωa, dan wordt de gradiënt ook wel de totale afgeleide van f
in ωa genoemd.
• Als alle partiële afgeleiden van f bestaan en continu zijn in ωa, dan is f totaal afleidbaar in
ωa.
Oefenzitting 16: Functies in meerdere veranderlijken
Deel 2 - Hoofdstuk 1, 2 & 3 29/49
,2 Oefeningen
Deel 2 - Hoofdstuk 1 - p. 17-19
Deel 2 - Hoofdstuk 2 - p. 27
Deel 2 - Hoofdstuk 3 - p. 67-73
• In figuur 2 zijn de grafieken en niveaulijnen van zes functies gegeven. Welke grafiek hoort
bij welke niveaulijnen? De grafieken hebben telkens dezelfde schaal, alsook alle plots van de
niveaukrommen.
• 1.9 (3)
• 1.10 (2) Zonder gebruik te maken van ICT!
• 1.15 (1)
• Argumenteer waarom de limiet
x2 y
lim
(x,y)→(0,0) x4+ y2
niet bestaat. (Zie figuur 3)
• Beschouw de functie #
x2 +y 2
2 , y=↗ 0,
f : R → R : (x, y) ↑→ y
0 y = 0.
Toon aan dat f niet continu is in (0, 0). (Zie figuur 4)
• 3.24 (4)
• 3.28 (2)
3 Extra Oefeningen
Deel 2 - Hoofdstuk 1 - p. 17-19
Deel 2 - Hoofdstuk 2 - p. 27
• 1.9 (5)
• 1.11
• 2.2 >
-
Niet op Examen
Sensl
• 2.3 -
> WELP (morder
Oefenzitting 16: Functies in meerdere veranderlijken
Deel 2 - Hoofdstuk 1, 2 & 3 30/49
, (a) (c) (e)
z z z
y y y
x x x
(b) (d) (f)
z z z
y y y
x x x
(A) (e) (C) (a) (E) (c)
(B) (f) (D) (N) (F) (d)
Figuur 2: Welke grafiek hoort bij welke niveaulijnen?
Oefenzitting 16: Functies in meerdere veranderlijken
Deel 2 - Hoofdstuk 1, 2 & 3 31/49
