Module 15: Optimalisatie
Les 10 – Module 15c
Gebonden extrema en de methode van Lagrange
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Vaak wil je een functie optimaliseren, maar mag je niet alle punten kiezen: er is een
nevenvoorwaarde (een budget, een vast volume, . . . ). Dat heet een gebonden
optimalisatieprobleem. Je leert twee methoden:
1. expliciete substitutie – de nevenvoorwaarde gebruiken om één variabele te
elimineren;
2. de methode van Lagrange – met een hulpvariabele λ, de Lagrangemultipli-
cator, die zelf een mooie economische betekenis heeft.
Studiedocument — alle definities, stellingen, methoden, voorbeelden en de examenvraag
Les 10 (Module 15c)
, Module 15: Optimalisatie Les 10 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 Wat is een gebonden optimalisatieprobleem? 2
1.1 Twee motiverende voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 De algemene vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Methode 1: expliciete substitutie 3
3 Methode 2: de methode van Lagrange 4
3.1 Het meetkundige idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 De stelling van Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Voorbeeld – f (x, y) = x2 + y2 onder x + 3y = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Voorbeeld – de boiler via Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Economische toepassing: een Cobb–Douglasprobleem 7
5 De economische betekenis van λ 8
5.1 M ′ (c) = λ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Volledig uitgewerkt: het nutsoptimalisatieprobleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Volledig uitgewerkte examenvraag 10
7 Samenvattend formuleblad 12
1
Les 10 – Module 15c
Gebonden extrema en de methode van Lagrange
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Vaak wil je een functie optimaliseren, maar mag je niet alle punten kiezen: er is een
nevenvoorwaarde (een budget, een vast volume, . . . ). Dat heet een gebonden
optimalisatieprobleem. Je leert twee methoden:
1. expliciete substitutie – de nevenvoorwaarde gebruiken om één variabele te
elimineren;
2. de methode van Lagrange – met een hulpvariabele λ, de Lagrangemultipli-
cator, die zelf een mooie economische betekenis heeft.
Studiedocument — alle definities, stellingen, methoden, voorbeelden en de examenvraag
Les 10 (Module 15c)
, Module 15: Optimalisatie Les 10 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 Wat is een gebonden optimalisatieprobleem? 2
1.1 Twee motiverende voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 De algemene vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Methode 1: expliciete substitutie 3
3 Methode 2: de methode van Lagrange 4
3.1 Het meetkundige idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 De stelling van Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Voorbeeld – f (x, y) = x2 + y2 onder x + 3y = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Voorbeeld – de boiler via Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Economische toepassing: een Cobb–Douglasprobleem 7
5 De economische betekenis van λ 8
5.1 M ′ (c) = λ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Volledig uitgewerkt: het nutsoptimalisatieprobleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Volledig uitgewerkte examenvraag 10
7 Samenvattend formuleblad 12
1
