Module 15: Optimalisatie
Les 9 – Module 15b
Vrije extrema van functies van twee veranderlijken
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
In Les 8 zocht je extrema van functies van één veranderlijke. Nu doe je hetzelfde
voor functies van twee veranderlijken, f (x, y). De structuur blijft hetzelfde:
1. een nodige voorwaarde: in een extremum zijn beide partiële afgeleiden nul
(een kritiek punt);
2. een voldoende voorwaarde: met de tweede-orde partiële afgeleiden onder-
scheid je minimum, maximum en het nieuwe begrip zadelpunt.
Studiedocument — alle definities, stellingen, methoden, voorbeelden en examenvragen
Les 9 (Module 15b)
, Module 15: Optimalisatie Les 9 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 De nodige voorwaarde (§3.1) 3
2 Zadelpunten 4
2.1 Een kritiek punt dat geen extremum is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 De definitie van een zadelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 De voldoende voorwaarde (Stelling 3.2.1) 6
3.1 Idee van het bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Strategie voor vrije extrema in twee variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Volledig uitgewerkte voorbeelden 7
4.1 Voorbeeld 3.3.2 – f (x, y) = x3 − y 3 + 6xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Oefening – f (x, y) = x2 − y2 met Stelling 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Voorbeeld 3.3.3 – de prijsdiscriminerende monopolist . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.4 Voorbeeld-examenvraag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Samenvattend formuleblad 13
1
Les 9 – Module 15b
Vrije extrema van functies van twee veranderlijken
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
In Les 8 zocht je extrema van functies van één veranderlijke. Nu doe je hetzelfde
voor functies van twee veranderlijken, f (x, y). De structuur blijft hetzelfde:
1. een nodige voorwaarde: in een extremum zijn beide partiële afgeleiden nul
(een kritiek punt);
2. een voldoende voorwaarde: met de tweede-orde partiële afgeleiden onder-
scheid je minimum, maximum en het nieuwe begrip zadelpunt.
Studiedocument — alle definities, stellingen, methoden, voorbeelden en examenvragen
Les 9 (Module 15b)
, Module 15: Optimalisatie Les 9 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 De nodige voorwaarde (§3.1) 3
2 Zadelpunten 4
2.1 Een kritiek punt dat geen extremum is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 De definitie van een zadelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 De voldoende voorwaarde (Stelling 3.2.1) 6
3.1 Idee van het bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Strategie voor vrije extrema in twee variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Volledig uitgewerkte voorbeelden 7
4.1 Voorbeeld 3.3.2 – f (x, y) = x3 − y 3 + 6xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Oefening – f (x, y) = x2 − y2 met Stelling 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Voorbeeld 3.3.3 – de prijsdiscriminerende monopolist . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.4 Voorbeeld-examenvraag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Samenvattend formuleblad 13
1
