Module 14: Afgeleiden
voor functies van meerdere
veranderlijken
Les 7 – deel b
Kettingregel, Euler, gradiënt & hogere-orde afgeleiden
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Vier onderwerpen die samen het “rekengereedschap” voor functies van meerdere
veranderlijken afwerken:
1. De kettingregel – afgeleiden van samengestelde functies in 4 gevallen (m =
n = 1, m = 1, n = 1, en algemeen).
2. Homogene functies en de stelling van Euler – met de Cobb–Douglas
productiefunctie als rode draad.
3. De richtingsafgeleide en de gradiënt – de afgeleide in een willekeurige
richting (niet alleen langs de assen).
4. Hogere-orde partiële afgeleiden en de stelling van Schwarz (Dij
2 f = D 2 f ).
ji
Studiedocument — alle definities, stellingen, voorbeelden en toepassingen
Les 7 – Module 14b
, Module 14: Afgeleiden meerdere veranderlijken Les 7 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 De kettingregel 3
1.1 Eenvoudige rekenregels (som, scalair) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Geval 1 – m = n = 1 (herhaling Module 13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Geval 2 – m = 1, n willekeurig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Geval 3 – n = 1, m willekeurig (en een tegenvoorbeeld) . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Geval 4 – m en n willekeurig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Toepassing – het klimaatmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Homogene functies en de stelling van Euler 6
2.1 Motivatie – “schaaleffect” bij productie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 De stelling van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Economische interpretatie (Euler bij graad r = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Richtingsafgeleide en gradiënt 7
3.1 Het idee: afgeleide in een willekeurige richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Praktische berekening via partiële afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 De gradiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Betekenis van de gradiënt: Du f (a) = ∥∇f (a)∥ cos θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Hogere-orde partiële afgeleiden 12
4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Stelling van Schwarz: 2f
Dij = 2f
Dji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Samenvattend formuleblad 14
1
voor functies van meerdere
veranderlijken
Les 7 – deel b
Kettingregel, Euler, gradiënt & hogere-orde afgeleiden
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
Vier onderwerpen die samen het “rekengereedschap” voor functies van meerdere
veranderlijken afwerken:
1. De kettingregel – afgeleiden van samengestelde functies in 4 gevallen (m =
n = 1, m = 1, n = 1, en algemeen).
2. Homogene functies en de stelling van Euler – met de Cobb–Douglas
productiefunctie als rode draad.
3. De richtingsafgeleide en de gradiënt – de afgeleide in een willekeurige
richting (niet alleen langs de assen).
4. Hogere-orde partiële afgeleiden en de stelling van Schwarz (Dij
2 f = D 2 f ).
ji
Studiedocument — alle definities, stellingen, voorbeelden en toepassingen
Les 7 – Module 14b
, Module 14: Afgeleiden meerdere veranderlijken Les 7 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 De kettingregel 3
1.1 Eenvoudige rekenregels (som, scalair) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Geval 1 – m = n = 1 (herhaling Module 13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Geval 2 – m = 1, n willekeurig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Geval 3 – n = 1, m willekeurig (en een tegenvoorbeeld) . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Geval 4 – m en n willekeurig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Toepassing – het klimaatmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Homogene functies en de stelling van Euler 6
2.1 Motivatie – “schaaleffect” bij productie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 De stelling van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Economische interpretatie (Euler bij graad r = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Richtingsafgeleide en gradiënt 7
3.1 Het idee: afgeleide in een willekeurige richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Praktische berekening via partiële afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 De gradiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Betekenis van de gradiënt: Du f (a) = ∥∇f (a)∥ cos θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Hogere-orde partiële afgeleiden 12
4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Stelling van Schwarz: 2f
Dij = 2f
Dji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Samenvattend formuleblad 14
1
