solution manual for introduction to Linear Algebra 6th edition– Answer Key by Gilbert Strang








 !"#$
%&"#"'




()*+,-./,0.



 012341567695 7 5 75 7541

,

0
234567389
63
799




 
 !"#$
%3&'78(67389
%)7*
%+(,
%(
%478
%78
%-./0/0/0 +',
%(
%14(8
%78
%-./0/0 +,
%(44
%32
%-.3

4"5678/07679/0:;<=>.?/0(8@
%567ABC7679/0:D<=>AE?/0%744
%'
%6$
%@7()38(49
%32
%6$
%1((4443)(&

%76$

%
567(8@
%767(9
%6%3
%97@9
%)378)
%356
%23&
%:F<=>F?3

G"#$79
%13'4&
%)7*9
%6$
%@7()38(49
%5678/0767(8@
%567ABC76732
%6$
%1((4443)(&

%(8@
%(9 H9
%23
%6$
%97@9I
%#$
%3113976
%32
%J3'4&
%03
%K8
%6$79
% (&14

%5679/0: .<=>.?/0(8@
%7679/0:;<=>A;?3

L".5678/07679/0:M<=>N?/0(8@
%O5678/0P7679/0:;O=>8/0P<=>O=>8/0;P?3

Q"R85679/0:A;<=>.<=>E?/0(8@
%R858767 9/0:F<=>F<=>F?/0(8@
%;R8;587679/0:/0(@@

%2 796
%(89% 9?/09/0:A;<=>.<=>E?3
%#$
%*639
%R<=>5<=>767(
%78
%6$
%9(&

%14 (8
%'(59
%(
%3&'78(6738
%)7*9
%:F<=>F<=>F?3
%26(6@
%(836$
%%(SI
%R6
79/0A567ABC7677 9
%78
%6$
%14(8
%32
%567(8@
%73

T"#$
%3&138869
%32
% * S
%O5678/0P767(@@
%63
%U 3
%'(59
%6$
%3&138869
%32
%567(8@
%32

%76
(@@
%63
%U 33
%O=>9/0./0(8@
%P=>9/0V/0)7*
%:.<=>.<=>AD?3
%#$
%79
%83
%93456738
%63
%O58P7679/
0: .<=>.<=>D?/
'(59
%./08/0./08/0D/079
%836
%U 33

W"#$
%878
%3&'78(67389
%O:;<=>E?/08/0P:F<=>E?/0%76$
%O=>9/0F<=>E<=>;/0(8@
%P=>9/0:F<=>E<=
>;? /0%7 44
%47
%38
%(
%4(6673
%K2
%%
%633H
%(44
%%$34
%85&' 9
%O=>(8@
%PX
%6$
%4(667

%%354 @
%47
%3*
%6$
%%$34
%14(83

Y"#$
%36$
%@7()38(4
%79
%567ABC767+3
% 49
%767ABC5,3
%Z@@78)
%@7()38(49
%)7*9
%;567+3
%;7,3

["#$
%2356$
%38
%(8
%'
%:\<=>\?/03
%:\<=>F?/03
%:A;<=>;?3
%#$
%13997'4
%1((4443)(&9]

!^"_67ABC 6̀79/0:E<=>E<=>F?/079
%78
%6$
%'(9
%+abc=>14(8,3
%_678/0 6̀78/0d679/0:E<=>E<=>E?/
07 9
%6$
%3113976
%38
%23&
%:F<=>F<=>F?3
%J37869
%78
%6$
%5'
%$(*
%F/0eB
Ca =>eBCEX
%F/0eBCc =>eBCEX
%F/0eBCf=>eBCE3

!!"g35E
%&3
%38 9
%:E<=>E<=>F?<=>:E<=>F<=>E?<=>:F<=>E<=>E?<=>:E<=>E<=>E?3
%#$
%86
%13786
%79
%:/0E/
0<=> /0<=> /0?
E 3
;/0/0;/0/0;/
h 86E 9
%32E
%2(9
%E(
%:/0E
%<=>E
%<=>F?<=>:/0E/0<=>E/0<=>E?/0(8@
%:F<=>E/0<=>E/0?<=>:E<=>E/0<=>E/0?/0(8@
%:/0E/0<=
>F<=> /0? <:/0 /0<=>E<=> /0?3
;/0/0;/ ;/0/0;/ ;/0/0;/ ;/0/0;/ ;/ ;/ ;/ ;/
!4"#$
%3&'78(67389
%32
%_679/0:E<=>F<=>F?/0(8@
%_678/0 6̀79/0:E<=>E<=>F?/02744
%6$
%ac=>14(8
%78
%acf=
/ /




>9 1(3

!G"25&
%9/0Uq3
%*63q3
%2i5&
%9/0A;IFF/0*63
%9/0jIFF/0*633
%;IFF/079
%.Fklm23&
%$37U386(4

9/0:nop/0 =><=>prs/0 =>?/09/0:/0 .t;<=>Et;?3

D/ D/

, 012345167419 577 
 

 574
134714 !4174 456"1#$ 

15 64&& % 4 1
 
  72 !41'(


$% 41

57)'*4 


5
 16 1 4

&& ) )
 2221" #+$
,-22 1#.564516754/01

201(

16425644777
4 13" 63$15644 (
5

)571644256.3454
57.!163$
6-22% 417/

/ 1642567756"413"789018:
63'(






$ 4  ) )
256 1645637134.!163

 63. ;.!163789018:$<54/01=>?8@2
1 4 5725657 #1%3@2 %56" ABCDE4474 47 4789018:$
F 1#.5645167/

2548
G>?/01G>?
638
G>?201G>?
HIJJDEKLMD
ENBA BJJMJOPABQDE547537 63$R1 #2@5(
79018:
63
(
7 8901:
46/

25227436547S3 $T346(
7U9018:

63(
7 V9018:
47 1#.5645167162!522 7"# 641 256$
W<54/01=>?8
63201=>?8
 "44565654XYZ[\]1X^\_`\]
.4  6 63$R1 #2@5(
79018:
63(
78901:@46
4 1657412S33 64a0
=>?8@b01=>
8$cdMeKIOfg<45 (
5h 1616741 2
7 $T344 1#.5645167
1
(
79018:
63(
759018:
162!522 256$
ij*+
'

 


574 64 14456"2.4 6'901 63k
'



2 57



    


) )
.4 6' 63 *.+15224456"2; /01=>?8@201=>?8@l01=>?8@ 63/01

201


l01(
$ 
i73#5775>?':

75>?:

7'5>?:
(
mnopqrsntupo$17
4 75371 456"2 5647# 26v
ii% 41 
7'



:
57OdKeIwMDE4! #53. 37/01

201
l01(







x01$ 
) 


) ) )
iyzJJDE% 417  1#.56451671'901901 73 6*6145647# 
26+ $04 4.!7 56"44/'

25227 26@46 3356"l
 5227 221{$
i| 1#.56451671' 635221626$ 1#.56451671 63

,

0
3

478
339









8
838! 3
2"

34567338
9
63
#
7939


$48

339

8%
78
%7&& 86
%767389'
(
3)#786738
47*



+

79
78
6
9)

$48'