WPO 5: DISCRETE EN CONTINUE STOCHASTEN
Wat is een stochast?
Een stochastische variabele (toevalsvariabele, kansvariabele, stochast) is een groot-
heid waarvan de waarde afhangt van de toevallige uitkomst in een kansexperiment.
M.a.w: een uitkomst van een toevalsexperiment die je in een getal kan uitdrukken.
Stochastisch wil eigenlijk zeggen ‘bepaald door toeval’, je weet de exacte uitkomst niet
op voorhand, het getal is dus variabel.
De kansverdeling van een stochastische variabele geeft de mogelijke uitkomsten en
hun kansen.
M.a.w.: een volledig overzicht, menukaart of tabel waarin je in 1 oogopslag alle moge-
lijke getallen ziet die de stochast kan worden, samen met hoe groot de kans is op elk
getal.
We maken het onderscheid tussen discrete en continue stochasten.
Discreet = tellen (losse getallen) continue = meten (alle mogelijke kommagetallen
op een schaal)
Een discrete stochast is een stochastische variabele waarvan je de mogelijke uitkom-
sten kunt tellen, de uitkomsten zijn eindig, er zitten gaten tussen de waarden. Bv
schoenmaat 38 – 38,5 – 39, je kan geen 38,72 hebben.
Elke losse uitkomst heeft een kans (een percentage uitgedrukt als getal tussen 0 en 1).
Als je al deze kansen optelt kom je altijd exact uit op 1 (100%)
Grote letter X = de stochast (de theoretische kans)
Kleine letter x = de uiteindelijke concrete uitkomst
xi = de uitkomst met teller/index bv x1, x2 = de eerste uitkomst, de tweede uitkomst, …)
pi = de kans (probability) die exact hoort bij die i-uitkomst bv p1 is de kans op de eerste
uitkomst
,Een continue stochast of continue stochastische variabele is een uitkomst van een
toevalsexperiment die je moet meten in plaats van tellen. Een continue stochast kan elk
willekeurig kommagetal aannemen. Er zijn oneindig veel mogelijke uitkomsten.
De uitkomsten vormen een vloeiende, ononderbroken lijn (een interval). Tussen de
meetpunten past altijd nog een ander getal.
Bv tussen 1,75 meter en 1,76 meter zit bv 1,755 meter en daartussen zit weer 1,7553
meter enz.
Je kan dit nooit netjes in een tabelletje onder elkaar zetten, lijst zou oneindig lang zijn.
Daarom wordt er een grafiek gebruikt.
De grafiek toont een vloeiende curve, waar de curve hoog is (een hoge kansdichtheid),
is de kans groot dat je meting in die buurt zal uitkomen. De kansdichtheid ( ) is de
hoogte van die lijn op één specifiek punt.
Maar de hoogte is geen kans, het vertelt je alleen hoe waarschijnlijk het is dat een me-
ting in die buurt uitkomt.
Bij een continue stochast is de kans op exact één getal bv de kans dat iemand exact
1,80000 meter lang is altijd 0%
Je kan alleen de kans berekenen dat iemand tussen twee waarden in zit bv 1,75 en
1,85 meter. Die kans is de oppervlakte onder de grafiek tussen die punten.
Om een echte kans (een percentage) te krijgen moet je altijd een linker- en rechter-
grens kiezen de oppervlakte onder die hoogte berekenen.
Kansen zijn nooit negatief, de curve van de grafiek mag nooit onder de horizontale as
(de nul-lijn) zakken.
De totale som is 1 omdat je hier alle oppervlaktes optelt, de totale oppervlakte onder de
hele curve is altijd exact gelijk aan 1 (of 100%)
Dit wordt berekend met een integraal
Hier staat in wiskundetaal dat de totale oppervlakte onder de grafiek 100% moet zijn.
Pagina 2
, Deze formule zegt: De oppervlakte van het ingekleurde gedeelte S is gelijk aan de som
van alle hoogtes ( ) vanaf grens a tot grens b onder de grafiek f(x)
dx achteraan de formule is geen getal maar een wiskundig symbool. Het werkt als een
sluitingsteken bij de formule van de berekening via een integraal.
De integraal opent de berekening ‘bereken de oppervlakte…’ en dx sluit de berekening
af ‘en doe dit langs de horizontale x-as’
Stel dat de kansdichtheid f(x) de lengte van marketingstudenten omschrijft. De curve is het
hoogst rond de 1,75 meter.
Als je wilt weten hoe groot de kans is dat een willekeurige student tussen de 1,70 en 1,80 meter
lang is, dan doe je dit:
Je zet een streep bij 1,70 (grens a)
Je zet een streep bij 1,80 (grens b)
Je kleurt de oppervlakte onder de curve tussen deze twee strepen in.
De formule ziet er dan zo uit:
Pagina 3
Wat is een stochast?
Een stochastische variabele (toevalsvariabele, kansvariabele, stochast) is een groot-
heid waarvan de waarde afhangt van de toevallige uitkomst in een kansexperiment.
M.a.w: een uitkomst van een toevalsexperiment die je in een getal kan uitdrukken.
Stochastisch wil eigenlijk zeggen ‘bepaald door toeval’, je weet de exacte uitkomst niet
op voorhand, het getal is dus variabel.
De kansverdeling van een stochastische variabele geeft de mogelijke uitkomsten en
hun kansen.
M.a.w.: een volledig overzicht, menukaart of tabel waarin je in 1 oogopslag alle moge-
lijke getallen ziet die de stochast kan worden, samen met hoe groot de kans is op elk
getal.
We maken het onderscheid tussen discrete en continue stochasten.
Discreet = tellen (losse getallen) continue = meten (alle mogelijke kommagetallen
op een schaal)
Een discrete stochast is een stochastische variabele waarvan je de mogelijke uitkom-
sten kunt tellen, de uitkomsten zijn eindig, er zitten gaten tussen de waarden. Bv
schoenmaat 38 – 38,5 – 39, je kan geen 38,72 hebben.
Elke losse uitkomst heeft een kans (een percentage uitgedrukt als getal tussen 0 en 1).
Als je al deze kansen optelt kom je altijd exact uit op 1 (100%)
Grote letter X = de stochast (de theoretische kans)
Kleine letter x = de uiteindelijke concrete uitkomst
xi = de uitkomst met teller/index bv x1, x2 = de eerste uitkomst, de tweede uitkomst, …)
pi = de kans (probability) die exact hoort bij die i-uitkomst bv p1 is de kans op de eerste
uitkomst
,Een continue stochast of continue stochastische variabele is een uitkomst van een
toevalsexperiment die je moet meten in plaats van tellen. Een continue stochast kan elk
willekeurig kommagetal aannemen. Er zijn oneindig veel mogelijke uitkomsten.
De uitkomsten vormen een vloeiende, ononderbroken lijn (een interval). Tussen de
meetpunten past altijd nog een ander getal.
Bv tussen 1,75 meter en 1,76 meter zit bv 1,755 meter en daartussen zit weer 1,7553
meter enz.
Je kan dit nooit netjes in een tabelletje onder elkaar zetten, lijst zou oneindig lang zijn.
Daarom wordt er een grafiek gebruikt.
De grafiek toont een vloeiende curve, waar de curve hoog is (een hoge kansdichtheid),
is de kans groot dat je meting in die buurt zal uitkomen. De kansdichtheid ( ) is de
hoogte van die lijn op één specifiek punt.
Maar de hoogte is geen kans, het vertelt je alleen hoe waarschijnlijk het is dat een me-
ting in die buurt uitkomt.
Bij een continue stochast is de kans op exact één getal bv de kans dat iemand exact
1,80000 meter lang is altijd 0%
Je kan alleen de kans berekenen dat iemand tussen twee waarden in zit bv 1,75 en
1,85 meter. Die kans is de oppervlakte onder de grafiek tussen die punten.
Om een echte kans (een percentage) te krijgen moet je altijd een linker- en rechter-
grens kiezen de oppervlakte onder die hoogte berekenen.
Kansen zijn nooit negatief, de curve van de grafiek mag nooit onder de horizontale as
(de nul-lijn) zakken.
De totale som is 1 omdat je hier alle oppervlaktes optelt, de totale oppervlakte onder de
hele curve is altijd exact gelijk aan 1 (of 100%)
Dit wordt berekend met een integraal
Hier staat in wiskundetaal dat de totale oppervlakte onder de grafiek 100% moet zijn.
Pagina 2
, Deze formule zegt: De oppervlakte van het ingekleurde gedeelte S is gelijk aan de som
van alle hoogtes ( ) vanaf grens a tot grens b onder de grafiek f(x)
dx achteraan de formule is geen getal maar een wiskundig symbool. Het werkt als een
sluitingsteken bij de formule van de berekening via een integraal.
De integraal opent de berekening ‘bereken de oppervlakte…’ en dx sluit de berekening
af ‘en doe dit langs de horizontale x-as’
Stel dat de kansdichtheid f(x) de lengte van marketingstudenten omschrijft. De curve is het
hoogst rond de 1,75 meter.
Als je wilt weten hoe groot de kans is dat een willekeurige student tussen de 1,70 en 1,80 meter
lang is, dan doe je dit:
Je zet een streep bij 1,70 (grens a)
Je zet een streep bij 1,80 (grens b)
Je kleurt de oppervlakte onder de curve tussen deze twee strepen in.
De formule ziet er dan zo uit:
Pagina 3
