Aerodynamics for Engineering Students 6th Edition Houghton Solutions Manual

Aerodynamics for Engineering
Students 6th Edition Houghton
Solutions Manual

,1 Solutions to Chapter 2 problems g. g. g. g.




Problem 2.1: In this problem we are interested in the continuity
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




equation for axisymmetric flow in terms of the cylindrical coordinate
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



system (r, φ, z), where all flow variables are indepen-dent of angular
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




coordinate, φ. Let the velocity components (u, v, w) = (u, 0, w) in the
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. (r, φ, z) coordinate directions. (a) Show that the continuity equation is
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




given by
g. g.




∂u u ∂w
+ g. g. + = 0 g.



∂r r ∂z

Solution: Let us consider an annular control volume with square cross-
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




sectional area equal to drdz centered at (r, z). Let us label the sides
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



g. of the control volume R, L, T, B the centers of which are located at
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



g. (r, z + dz/2), (r, z − dz/2), (r + dr/2, z), (r − dr/2, z), respectively. In this
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. analysis the horizontal coordinate is z and the vertical (or radial)
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




coordinate is r. The flow through each of the surfaces is
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



g. g.
∂w dz g . g .

ṁ = ρ w∂z+ 2 2πr dr
g.
R g. g. g. g.




∂w dz
g. g. g . g .

ṁL = ρ w∂z− 2πr dr
g.
g. g.
2
g. g.




∂u dr
g. g. g . g . g. g. g . g .
dr
ṁT = ρ u∂r+2 2π r+
g.
g. g. g.
2 g. g. dz

g. g.
∂u dr g . g . g. g.
dr g . g .

ṁ = ρ u∂r− 2 2 2π r−
g.
B g. g. g. g. g. dz

The conservation of mass principle means that the net flow of mass out
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



of the control volume is zero, i.e.,
g. g. g. g. g. g. g.




ṁ R − ṁ L + ṁ T − ṁ B = 0
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.

, This holds for both steady and unsteady conditions because ρ is
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




assumed to be constant. An incompressible flow is volume preserving
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. and, hence, this result is independent of whether or not the flow is
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. steady. g . This is not the case for Euler’s equation of motion; see
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. Exercise
2.4. Substituting the expressions for the mass flow across each part of
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. the control surface and rearranging terms, we get the equation given
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




above.
g.




(b) Show that the Stokes’s stream function ψ defined by the
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




following expressions for the velocity components
g. g. g. g. g. g.




1 , w = 1 ∂ψ g.
g.



∂ψ −
g.
g.


u= g.



r r ∂r g.



g. ∂z
By direct substitution of these expressions into the continuity equation,
g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. we see that the conti-nuity equation is automatically satisfied. Note
g. g. g. g. g. g. g. g. g.



g. that the function ψ is assumed to be a function for which the order of
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



differentiation is immaterial.
g. g. g.




Problem 2.2: In this problem we want to transform the continuity
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. equation given in (x, y) to polar coordinates (r, φ). The two coordinate
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. systems are related by the following formulas: x = r cos φ. y = r sin φ.
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



g. Let the components of the velocity in (x, y) be given by u = (ux,
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




uy) and the components in (r, φ) by u = (u, v). Note that
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




ux = u cos φ − v sin φ,
g. g. g. g. g. g. g. g. uy = u sin φ + v cos φ
g. g. g. g. g. g. g. g.




We want to
g. g.
∂ux + ∂uy g.
g.
g .
= 0 g.
transform
g.