INFERENTIËLE STATISTIEK
= op basis van een steekproef conclusies trekken over een hele populatie.
1. WETENSCHAP EN DATA-ANALYSE
Elke wetenschappelijke studie start met een onderzoeksvraag of hypothese. Zo’n hypothese is gebaseerd op een
conceptueel model (= een vereenvoudigde voorstelling van hoe we denken dat de werkelijkheid in elkaar zit).
Bijv. meer sociale mediagebruik (X) → slechtere mentale gezondheid (Y)
Daarna vertalen naar een statistisch model (= wiskundige formule die het conceptuele model meetbaar maakt).
Werkt met variabelen (wat we meten).
Bevat parameters (zoals effecten of gemiddelden).
Laat ons toe om voorspellingen te maken.
Test of onze hypothese klopt op basis van data.
Bijv. regressievergelijking: y=b0 +¿ b 1 x+ ¿ e
b₀ (intercept) = waarde van Y als X = 0
b₁ (regressiecoëfficiënt) = hoeveel Y verandert als X met 1 stijgt
e (error) = verschil tussen voorspelde en werkelijke waarde (meetfout)
De voorspelde waarde zal nooit exact gelijk zijn aan de echte waarde, daarom is er altijd een error.
2. STAP 1: ANALYSE & MODELLERING VAN DE STEEKPROEFDATA
Om een hypothese te testen, heb je data nodig uit een steekproef (n) van een grotere populatie (N).
Operationalisering: abstracte concepten moet je eerst omzetten in meetbare variabelen.
Mediagebruik: 10 enquêtevragen
Attitudes t.o.v. migratie: reeks stellingen
Vervolgens vult de steekproef deze metingen in, dit levert steekproefgegevens op.
Met de verzamelde data kan je:
Steekproefstatistieken berekenen.
Nagaan hoe goed het statistisch model past bij de data. => model fit
Bijv. in een regressievergelijking zijn we vooral geïnteresseerd in de regressiecoëfficiënt (b 1).
b₁ geeft aan hoeveel mentaal welzijn (Y) toeneemt of afneemt wanneer sociale mediagebruik (X) met 1
meeteenheid stijgt.
“Wat gebeurt er met mentaal welzijn als iemand 1 uur meer sociale media gebruikt?”
Model fitten: op basis van het statistisch model een schatting maken van Y.
Hier: we gebruiken de lineaire regressievergelijking om mentaal welzijn te voorspellen op basis van sociale
mediagebruik.
Maar: de geschatte waarde van Y zal niet exact overeenkomen met de werkelijke geobserveerde waarde.
=> error (meetfout)
,Het doel is om o.b.v. het statistisch model een zo goed mogelijke schatting van de parameter (bijv. b₁) te maken.
Kleine meetfout: het model is een goede schatter (= goede fit van de data).
Grote meetfout: het model is een slechte schatter.
2.1.Lineaire modellen
We gebruiken lineaire modellen, meer bepaald vormen van het General Linear Model (GLM).
Algemene vorm van het lineair model: y i=b 0 +b1 x1 i +b 2 x 2 i+ …+bk x ki +e i
yᵢ = score van persoon i op de afhankelijke variabele
b₀ = intercept
bⱼ = regressiecoëfficiënten (effecten van de onafhankelijke variabelen)
xⱼᵢ = score van persoon i op onafhankelijke variabele j
eᵢ = error (meetfout)
3 types lineaire modellen:
Basaal lineair model: y i=b 0 +¿ b 1 x 1i +¿ e i
Er is één onafhankelijke variabele.
Bijv. mentaal welzijn = b₀ + b₁ (sociale media) + error
- b₀ (intercept) = 2 => als iemand geen sociale media gebruikt (X = 0), is zijn score op mentaal welzijn 2.
- b₁ (regressiecoëfficiënt) = -2 => bij 1 uur extra sociale media daalt mentaal welzijn met 2 punten.
Complex lineair model: y i=b 0 +b1 x1 i +b 2 x 2 i+ …+¿ e i
Hier voorspellen meerdere onafhankelijke variabelen samen de afhankelijke variabele.
Bijv. mentaal welzijn voorspeld door sociale mediagebruik, aantal vrienden, aantal keer sporten, …
Elke variabele heeft zijn eigen regressiecoëfficiënt.
Meest rudimentair model: y i=b 0 +¿ e i= y +¿ e i
Er is geen onafhankelijke variabele.
We gaan ervan uit dat iedereen gelijk is aan het groepsgemiddelde.
In werkelijkheid klopt dat niet, dus veel meetfout (error)
= eenvoudigste model.
De vorm van het model is altijd hetzelfde: Y = intercept + effecten van X’en + error. Wat verandert:
Het aantal onafhankelijke variabelen.
Welke variabelen in het model zitten.
2.2.Informatie uit een model
Elk statistisch model geeft 2 soorten informatie:
Parameterschattingen (statistieken): de geschatte waarden van het intercept en de regressiecoëfficiënten.
- Hoe groot is het effect van elke X-variabele? In welke richting gaat het effect (positief/negatief)?
=> de inhoudelijke interpretatie van de relaties. (gemiddelden, varianties, proporties, correlaties, …)
, Fit van het model: hoe goed het model de afhankelijke variabele (Y) kan voorspellen.
- Hoe dicht liggen de voorspelde waarden bij de echte geobserveerde waarden?
- Hoe groot is de fout (error)?
Voorbeeld model fit
Regressielijn = statistisch model
^
y i=28.15+ 0.30 x i
Blauwe bolletjes = de echte steekproefdata
(werkelijke scores op X en Y).
y i= ^
y i +e i=28.15+ 0.30 x i +e i
Verticale stippellijn = de error.
Bijv. het eerste blauwe bolletje: deze persoon scoort 60 op X en Y, maar het model voorspelt 44 voor Y. Het verschil
van 16 is de error, weergegeven als de verticale stippellijn. Hoe kleiner deze afstand, hoe beter de model fit.
2.3.Keuze van statistisch model en analyses
De manier waarop we ons statistisch model formuleren, welke statistieken we berekenen en hoe we analyseren,
hangt af van:
Type data
- Gemiddelde: alleen zinvol voor continue variabelen, niet voor nominale variabelen.
- Relaties: regressiecoëfficiënt werkt voor 2 continue variabelen, maar niet voor 2 nominale variabelen.
Assumpties van het model
- Lineaire regressiecoëfficiënt is alleen geldig bij een lineair verband.
- Vergelijking van gemiddelden tussen 2 groepen veronderstelt vaak gelijke populatievarianties; die
moeten ook werkelijk gelijk zijn.
3. STAP 2: STATISTISCHE INFERENTIE
De logica van statistische inferentie geldt voor alle statistische modellen en statistieken:
We gebruiken een steekproef om iets te schatten.
De steekproefstatistiek geeft een indicatie van de populatieparameter.
Hoe betrouwbaar deze schatting is, hangt af van steekproefgrootte en spreiding.
Om te begrijpen waarom en hoe een steekproef iets zegt over de populatie, gebruiken we 3 concepten:
Sampling distribution (steekproefverdeling): de verdeling van een statistiek als je herhaaldelijk
steekproeven uit de populatie zou trekken.
Central Limit Theorem (centrale limietstelling, CLT): onafhankelijk van de verdeling van de populatie, zal het
gemiddelde van een grote steekproef normaal verdeeld zijn.
Standard error (standaardfout): de mate van variatie van een steekproefstatistiek rond de populatie-
parameter. Hoe kleiner de standaardfout, hoe betrouwbaarder de schatting.
, 3.1.Sampling distribution (steekproefverdeling)
Basisidee:
Je berekent een statistiek (bijv. gemiddelde, regressiecoëfficiënt, correlatie) uit één steekproef.
Maar jouw steekproef is niet de enige mogelijke steekproef uit de populatie.
Elke mogelijke steekproef van dezelfde grootte levert iets andere statistieken op.
Conclusie:
Er bestaat een verdeling van mogelijke waarden van die statistiek afhankelijk van welke steekproef je trekt.
Deze verdeling noemen we de sampling distribution (steekproefverdeling).
!!! het is een theoretisch concept, niet iets wat je direct observeert.
Het beschrijft alle mogelijke waarden die een statistiek kan aannemen over alle mogelijke steekproeven uit
de populatie.
Je kunt het wiskundig afleiden of simuleren, maar het is niet hetzelfde als de empirische verdeling van de
data in je steekproef (bijv. verdeling van leeftijd of inkomen binnen één steekproef).
Voorbeeld
Stel: IQ-populatie heeft gemiddelde µ = 100 en σ = 15.
We trekken n = 100 willekeurige mensen en berekenen het steekproefgemiddelde x́ .
Herhalen we dit oneindig vaak, dan variëren de steekproefgemiddelden rond het populatiegemiddelde.
=> sampling variation.
Steekproef xk
1 102.71
≠ 100 (sampling error)
2 102.74
3 95.46 Steekproefgemiddelde ≠ populatiegemiddelde
4 101.16
De steekproefverdeling ontstaat alleen doordat er sampling error is. Als alle steekproefgemiddelden exact gelijk
zouden zijn aan het populatiegemiddelde, zou er geen verdeling zijn. Er is dus sampling variation nodig om een
steekproefverdeling te kunnen vormen.
Hoe groter de steekproef, hoe kleiner de sampling error en hoe nauwkeuriger de schatting van µ.
Bij voldoende grote steekproeven is de steekproefverdeling ongeveer normaal verdeeld, ongeacht de
verdeling van de populatie (CLT).
3.2.Centrale limietstelling (CLT)
De steekproefverdeling van een statistiek, bijvoorbeeld het gemiddelde IQ, lijkt vaak normaal verdeeld, ook als de
verdeling van de originele variabele niet normaal is.
Bij een voldoende grote steekproef (n ≥ 40) is de steekproefverdeling van een statistiek bij benadering
normaal verdeeld rond de populatieparameter.
Dit geldt onder zeer algemene omstandigheden, zelfs als de populatievariabele zelf niet normaal verdeeld is
(bijv. extreem scheve verdelingen).
Eigenschappen normaalverdeling:
= op basis van een steekproef conclusies trekken over een hele populatie.
1. WETENSCHAP EN DATA-ANALYSE
Elke wetenschappelijke studie start met een onderzoeksvraag of hypothese. Zo’n hypothese is gebaseerd op een
conceptueel model (= een vereenvoudigde voorstelling van hoe we denken dat de werkelijkheid in elkaar zit).
Bijv. meer sociale mediagebruik (X) → slechtere mentale gezondheid (Y)
Daarna vertalen naar een statistisch model (= wiskundige formule die het conceptuele model meetbaar maakt).
Werkt met variabelen (wat we meten).
Bevat parameters (zoals effecten of gemiddelden).
Laat ons toe om voorspellingen te maken.
Test of onze hypothese klopt op basis van data.
Bijv. regressievergelijking: y=b0 +¿ b 1 x+ ¿ e
b₀ (intercept) = waarde van Y als X = 0
b₁ (regressiecoëfficiënt) = hoeveel Y verandert als X met 1 stijgt
e (error) = verschil tussen voorspelde en werkelijke waarde (meetfout)
De voorspelde waarde zal nooit exact gelijk zijn aan de echte waarde, daarom is er altijd een error.
2. STAP 1: ANALYSE & MODELLERING VAN DE STEEKPROEFDATA
Om een hypothese te testen, heb je data nodig uit een steekproef (n) van een grotere populatie (N).
Operationalisering: abstracte concepten moet je eerst omzetten in meetbare variabelen.
Mediagebruik: 10 enquêtevragen
Attitudes t.o.v. migratie: reeks stellingen
Vervolgens vult de steekproef deze metingen in, dit levert steekproefgegevens op.
Met de verzamelde data kan je:
Steekproefstatistieken berekenen.
Nagaan hoe goed het statistisch model past bij de data. => model fit
Bijv. in een regressievergelijking zijn we vooral geïnteresseerd in de regressiecoëfficiënt (b 1).
b₁ geeft aan hoeveel mentaal welzijn (Y) toeneemt of afneemt wanneer sociale mediagebruik (X) met 1
meeteenheid stijgt.
“Wat gebeurt er met mentaal welzijn als iemand 1 uur meer sociale media gebruikt?”
Model fitten: op basis van het statistisch model een schatting maken van Y.
Hier: we gebruiken de lineaire regressievergelijking om mentaal welzijn te voorspellen op basis van sociale
mediagebruik.
Maar: de geschatte waarde van Y zal niet exact overeenkomen met de werkelijke geobserveerde waarde.
=> error (meetfout)
,Het doel is om o.b.v. het statistisch model een zo goed mogelijke schatting van de parameter (bijv. b₁) te maken.
Kleine meetfout: het model is een goede schatter (= goede fit van de data).
Grote meetfout: het model is een slechte schatter.
2.1.Lineaire modellen
We gebruiken lineaire modellen, meer bepaald vormen van het General Linear Model (GLM).
Algemene vorm van het lineair model: y i=b 0 +b1 x1 i +b 2 x 2 i+ …+bk x ki +e i
yᵢ = score van persoon i op de afhankelijke variabele
b₀ = intercept
bⱼ = regressiecoëfficiënten (effecten van de onafhankelijke variabelen)
xⱼᵢ = score van persoon i op onafhankelijke variabele j
eᵢ = error (meetfout)
3 types lineaire modellen:
Basaal lineair model: y i=b 0 +¿ b 1 x 1i +¿ e i
Er is één onafhankelijke variabele.
Bijv. mentaal welzijn = b₀ + b₁ (sociale media) + error
- b₀ (intercept) = 2 => als iemand geen sociale media gebruikt (X = 0), is zijn score op mentaal welzijn 2.
- b₁ (regressiecoëfficiënt) = -2 => bij 1 uur extra sociale media daalt mentaal welzijn met 2 punten.
Complex lineair model: y i=b 0 +b1 x1 i +b 2 x 2 i+ …+¿ e i
Hier voorspellen meerdere onafhankelijke variabelen samen de afhankelijke variabele.
Bijv. mentaal welzijn voorspeld door sociale mediagebruik, aantal vrienden, aantal keer sporten, …
Elke variabele heeft zijn eigen regressiecoëfficiënt.
Meest rudimentair model: y i=b 0 +¿ e i= y +¿ e i
Er is geen onafhankelijke variabele.
We gaan ervan uit dat iedereen gelijk is aan het groepsgemiddelde.
In werkelijkheid klopt dat niet, dus veel meetfout (error)
= eenvoudigste model.
De vorm van het model is altijd hetzelfde: Y = intercept + effecten van X’en + error. Wat verandert:
Het aantal onafhankelijke variabelen.
Welke variabelen in het model zitten.
2.2.Informatie uit een model
Elk statistisch model geeft 2 soorten informatie:
Parameterschattingen (statistieken): de geschatte waarden van het intercept en de regressiecoëfficiënten.
- Hoe groot is het effect van elke X-variabele? In welke richting gaat het effect (positief/negatief)?
=> de inhoudelijke interpretatie van de relaties. (gemiddelden, varianties, proporties, correlaties, …)
, Fit van het model: hoe goed het model de afhankelijke variabele (Y) kan voorspellen.
- Hoe dicht liggen de voorspelde waarden bij de echte geobserveerde waarden?
- Hoe groot is de fout (error)?
Voorbeeld model fit
Regressielijn = statistisch model
^
y i=28.15+ 0.30 x i
Blauwe bolletjes = de echte steekproefdata
(werkelijke scores op X en Y).
y i= ^
y i +e i=28.15+ 0.30 x i +e i
Verticale stippellijn = de error.
Bijv. het eerste blauwe bolletje: deze persoon scoort 60 op X en Y, maar het model voorspelt 44 voor Y. Het verschil
van 16 is de error, weergegeven als de verticale stippellijn. Hoe kleiner deze afstand, hoe beter de model fit.
2.3.Keuze van statistisch model en analyses
De manier waarop we ons statistisch model formuleren, welke statistieken we berekenen en hoe we analyseren,
hangt af van:
Type data
- Gemiddelde: alleen zinvol voor continue variabelen, niet voor nominale variabelen.
- Relaties: regressiecoëfficiënt werkt voor 2 continue variabelen, maar niet voor 2 nominale variabelen.
Assumpties van het model
- Lineaire regressiecoëfficiënt is alleen geldig bij een lineair verband.
- Vergelijking van gemiddelden tussen 2 groepen veronderstelt vaak gelijke populatievarianties; die
moeten ook werkelijk gelijk zijn.
3. STAP 2: STATISTISCHE INFERENTIE
De logica van statistische inferentie geldt voor alle statistische modellen en statistieken:
We gebruiken een steekproef om iets te schatten.
De steekproefstatistiek geeft een indicatie van de populatieparameter.
Hoe betrouwbaar deze schatting is, hangt af van steekproefgrootte en spreiding.
Om te begrijpen waarom en hoe een steekproef iets zegt over de populatie, gebruiken we 3 concepten:
Sampling distribution (steekproefverdeling): de verdeling van een statistiek als je herhaaldelijk
steekproeven uit de populatie zou trekken.
Central Limit Theorem (centrale limietstelling, CLT): onafhankelijk van de verdeling van de populatie, zal het
gemiddelde van een grote steekproef normaal verdeeld zijn.
Standard error (standaardfout): de mate van variatie van een steekproefstatistiek rond de populatie-
parameter. Hoe kleiner de standaardfout, hoe betrouwbaarder de schatting.
, 3.1.Sampling distribution (steekproefverdeling)
Basisidee:
Je berekent een statistiek (bijv. gemiddelde, regressiecoëfficiënt, correlatie) uit één steekproef.
Maar jouw steekproef is niet de enige mogelijke steekproef uit de populatie.
Elke mogelijke steekproef van dezelfde grootte levert iets andere statistieken op.
Conclusie:
Er bestaat een verdeling van mogelijke waarden van die statistiek afhankelijk van welke steekproef je trekt.
Deze verdeling noemen we de sampling distribution (steekproefverdeling).
!!! het is een theoretisch concept, niet iets wat je direct observeert.
Het beschrijft alle mogelijke waarden die een statistiek kan aannemen over alle mogelijke steekproeven uit
de populatie.
Je kunt het wiskundig afleiden of simuleren, maar het is niet hetzelfde als de empirische verdeling van de
data in je steekproef (bijv. verdeling van leeftijd of inkomen binnen één steekproef).
Voorbeeld
Stel: IQ-populatie heeft gemiddelde µ = 100 en σ = 15.
We trekken n = 100 willekeurige mensen en berekenen het steekproefgemiddelde x́ .
Herhalen we dit oneindig vaak, dan variëren de steekproefgemiddelden rond het populatiegemiddelde.
=> sampling variation.
Steekproef xk
1 102.71
≠ 100 (sampling error)
2 102.74
3 95.46 Steekproefgemiddelde ≠ populatiegemiddelde
4 101.16
De steekproefverdeling ontstaat alleen doordat er sampling error is. Als alle steekproefgemiddelden exact gelijk
zouden zijn aan het populatiegemiddelde, zou er geen verdeling zijn. Er is dus sampling variation nodig om een
steekproefverdeling te kunnen vormen.
Hoe groter de steekproef, hoe kleiner de sampling error en hoe nauwkeuriger de schatting van µ.
Bij voldoende grote steekproeven is de steekproefverdeling ongeveer normaal verdeeld, ongeacht de
verdeling van de populatie (CLT).
3.2.Centrale limietstelling (CLT)
De steekproefverdeling van een statistiek, bijvoorbeeld het gemiddelde IQ, lijkt vaak normaal verdeeld, ook als de
verdeling van de originele variabele niet normaal is.
Bij een voldoende grote steekproef (n ≥ 40) is de steekproefverdeling van een statistiek bij benadering
normaal verdeeld rond de populatieparameter.
Dit geldt onder zeer algemene omstandigheden, zelfs als de populatievariabele zelf niet normaal verdeeld is
(bijv. extreem scheve verdelingen).
Eigenschappen normaalverdeling:
