Fiche de révision — Applications linéaires L1 IG2I
I. Définitions fondamentales
Application linéaire (morphisme) Soit f : E → F entre deux -espaces vectoriels. f est linéaire si : - ∀x, y ∈ E, f(x+y) = f(x) + f(y) -
∀α ∈ , ∀x ∈ E, f(αx) = αf(x)
Critère combiné : f est linéaire ⇔ ∀α, β ∈ , ∀x, y ∈ E, f(αx+βy) = αf(x) + βf(y)
Propriété immédiate : f linéaire ⇒ f(0E) = 0F
Nom Définition
Endomorphisme Application linéaire de E dans E
Forme linéaire Application linéaire de E dans
Isomorphisme Application linéaire bijective de E dans F
Automorphisme Isomorphisme de E dans E
II. Image et Noyau
Noyau
ker (f) = {x ∈ E ∣ f(x) = 0F}
ker (f) est un sous-espace vectoriel de E
f injective ⇔ ker (f) = {0E}
Image
Im(f) = {f(x) ∣ x ∈ E}
Im(f) est un sous-espace vectoriel de F
f surjective ⇔ Im(f) = F
Méthode — trouver ker (f) : Résoudre f(x) = 0F, i.e. mettre en système et décrire l’ensemble solution.
Ex : f(x,y) = x + y ⇒ ker (f) = {(x,y) ∣ x + y = 0}
III. L’espace ℒ(E,F)
La somme et le produit scalaire de deux applications linéaires sont linéaires → ℒ(E,F) est un sous-espace vectoriel de
ℱ(E,F)
La composée de deux applications linéaires est linéaire
La réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme
IV. Image d’une famille de vecteurs
I. Définitions fondamentales
Application linéaire (morphisme) Soit f : E → F entre deux -espaces vectoriels. f est linéaire si : - ∀x, y ∈ E, f(x+y) = f(x) + f(y) -
∀α ∈ , ∀x ∈ E, f(αx) = αf(x)
Critère combiné : f est linéaire ⇔ ∀α, β ∈ , ∀x, y ∈ E, f(αx+βy) = αf(x) + βf(y)
Propriété immédiate : f linéaire ⇒ f(0E) = 0F
Nom Définition
Endomorphisme Application linéaire de E dans E
Forme linéaire Application linéaire de E dans
Isomorphisme Application linéaire bijective de E dans F
Automorphisme Isomorphisme de E dans E
II. Image et Noyau
Noyau
ker (f) = {x ∈ E ∣ f(x) = 0F}
ker (f) est un sous-espace vectoriel de E
f injective ⇔ ker (f) = {0E}
Image
Im(f) = {f(x) ∣ x ∈ E}
Im(f) est un sous-espace vectoriel de F
f surjective ⇔ Im(f) = F
Méthode — trouver ker (f) : Résoudre f(x) = 0F, i.e. mettre en système et décrire l’ensemble solution.
Ex : f(x,y) = x + y ⇒ ker (f) = {(x,y) ∣ x + y = 0}
III. L’espace ℒ(E,F)
La somme et le produit scalaire de deux applications linéaires sont linéaires → ℒ(E,F) est un sous-espace vectoriel de
ℱ(E,F)
La composée de deux applications linéaires est linéaire
La réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme
IV. Image d’une famille de vecteurs
