ALL 10 CHAPTERS COVERED
,Contents
1 Dynamics of First Order Difference Equations 1
1.1 1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Linear Difference Equations of Higher Order 40
2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3 Systems of Difference Equations 96
3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4 Stability Theory 142
4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
,ii Contents
5 173
5.1 5.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6 185
6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7 213
7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8 222
8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9 254
9.1 9.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.4 9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10 273
10.1 10.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
, Chapter 1
Dynamics of First Order
Difference Equations
1.1 1.2 Exercises
1. (a) x(n + 1)= (n + 1)x(n),
x(0) = c
n−1
Q
x(n) = (i + 1)
i=0
x(0) = cn!
(b) x(n + 1) = 3n x(n), x(0) = c
n−1
!
Y
x(n) = 3i x(0)
i=0
1+2+···+(n−1)
=3 x(0)
n(n−1)
= c3 2
(c) x(n + 1) = e2n x(n), x(0) = c
n−1
!
Y
2i
x(n) = e x(0)
i=0
2
= e0 · e2 · e2 · · · e2(n−1) c
= ce2(1+2+3+···+n−1)
2(n−1)n
= ce 2
= cen(n−1)
,Contents
1 Dynamics of First Order Difference Equations 1
1.1 1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Linear Difference Equations of Higher Order 40
2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3 Systems of Difference Equations 96
3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4 Stability Theory 142
4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
,ii Contents
5 173
5.1 5.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6 185
6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7 213
7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8 222
8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9 254
9.1 9.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.4 9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10 273
10.1 10.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
, Chapter 1
Dynamics of First Order
Difference Equations
1.1 1.2 Exercises
1. (a) x(n + 1)= (n + 1)x(n),
x(0) = c
n−1
Q
x(n) = (i + 1)
i=0
x(0) = cn!
(b) x(n + 1) = 3n x(n), x(0) = c
n−1
!
Y
x(n) = 3i x(0)
i=0
1+2+···+(n−1)
=3 x(0)
n(n−1)
= c3 2
(c) x(n + 1) = e2n x(n), x(0) = c
n−1
!
Y
2i
x(n) = e x(0)
i=0
2
= e0 · e2 · e2 · · · e2(n−1) c
= ce2(1+2+3+···+n−1)
2(n−1)n
= ce 2
= cen(n−1)
