Hoofdstuk 10: inleiding-eigenschappen van fluïda
10.1 de “geen-slip” randvoorwaarde
°als fluïdum over object stroomt, “kleeft” het aan het opp door de viscositeit
ð Gevolgen: -grenslaag: laag waarin de snelheid varieert
-opp-weerstand of wrijvingsweerstand: opp wordt meegesleurd met stroom
-afscheidingszone: fluïdum over gebogen opp laat los door inertie
-“geen-temperatuursprong”: fluïdum en opp hebben zelfde temp bij contactopp
10.2 viscositeit
°viscositeit bij fluïda~wrijvingscoëfficiënt bij vaste stoffen
°experiment: -2 vlakke platen, onderste stil (𝑉 = 0) en bovenste beweegt met snelheid 𝑉
à constante 𝐹 nodig om tegen de weerstand in te gaan
+
-er ontstaat een snelheidsprofiel: 𝑢(𝑦) = 𝑉 (als 𝑦 = 𝑙) is snelheid=𝑉
,
/ + 12 3
°schuifspanning: 𝜏 = 0 snelheid: 𝑢(𝑦) = , 𝑉 à 1+ = ,
1: 31; 12
°in interval dt: verplaatsing 𝑑𝑎 = 𝑉𝑑𝑡 en hoekverplaatsing 𝑑𝛽 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝑑𝛽 = = = 𝑑𝑡
, , 1+
1< 12
ð Vervormingssnelheid =
1; 1+
Newtoniaanse fluïda: fluïda waar vervormingsnelheid evenredig met schuifspanning
ð Dynamische viscositeit 𝜇 als evenredigheidsconstante
1< 12 12
ð Schuifspanning 𝜏 ∝ 1;
= 1+ à 𝜏 = 𝜇 1+ [𝑁/𝑚B ]
12 3
Schuifkracht: 𝐹 = 𝜏𝐴 = 𝜇𝐴 1+ = 𝜇𝐴 ,
E
°kinematische viscositeit 𝑣 = F [𝑚B /𝑠 of stoke (𝑐𝑚B /𝑠)]
°niet-newtoniaanse fluïda (schijnbare viscositeit (niet cte)):
-pseudoplastisch: afschuif verdunnend vb: verf, zeep, detergent,…
-dilatant: afschuif verdikkend vb drijfzand, natte cement,..
-bingham plastisch: bieden weerstand aan bepaalde schuifspanning vb: boter, tandpasta,…
°druk: -vloeistof: 𝜇 en v onafhankelijk van P temperatuur: -vloeistof: cohesiekracht ↓ als T ↑
-gas: 𝑣 afhankelijk van P -gas: botsingen ↑ als T ↑
10.2.1 de roterende viscosimeter (toestel om viscositeit te meten)
°krachtmoment: 𝑇 = 𝐹 · 𝑅
Tangentiële snelheid: 𝑉 = 𝜔𝑅 = 2𝜋𝑛̇ (toerental)𝑅
Oppervlakte: 𝐴 = 2𝜋𝑅𝐿 (lengte cilinder)
3 STU V U Ẇ X STU V Y Ẇ X
ð 𝐹 = 𝜇𝐴 = 𝜇 en 𝑇 = 𝐹𝑅 = 𝜇
, , ,
10.3 classificatie van stromingen
10.3.1 viskeuze versus niet-viskeuze stroming
viskeus: stroming waar wrijving significant is
niet-viskeus: stroming waar viskeuze krachten verwaarloosbaar zijn t.o.v. traagheids- of drukkrachten
10.3.2 interne versus externe stroming
Intern: stroming in pijp, buis of kanaal volledig begrensd door vaste oppervlakken
Extern: stroming onbegrensde vloeistof over opp zoals plaat of draad
In open kanaal: vb in rivieren
10.3.3 samendrukbare versus onsamendrukbare stroming
Onsamendrukbaar: dichtheid ongeveer constant (vb: vloeistof)
Samendrukbaar: dichtheid varieërt in stroming (vb: hoge snelheidsstromen)
3
Gassen: onsamendrukbaar bij mach getal < 0,3 𝑀𝑎 = [
10.3.4 laminaire versus turbulente stroming bepaald door Reynolds getal Re
,Laminair: geordend, gelaagd, hoog viskeus, bij lage snelheden
Turbulent: wanordelijk, laag viskeus, bij hoge snelheden
10.3.5 natuurlijke versus gedwongen stroming
Natuurlijk: natuurlijke oorzaak vb: verschil in densiteit of temperatuur
Gedwongen: gedwongen over opp of in buis door pomp of ventilator
10.3.6 stationaire versus niet-stationaire stroming
Stationair: geen verandering van eigenschappen in tijd vb: turbine, compressor, pomp
Niet-stationair: -transient: ontwikkelende stroming
-periodisch: fluctuatie rond stationair gemiddelde
10.3.7 1, 2, 3D stroming
°stroming in buis aan begin 2D en binnenin 1D, stroming over kogel 3D
Hoofdstuk 11: hydrostatica
11.1 inleiding
°mechanica van niet-stromende fluïda: absolute rust of ERB, enige kracht is normaalkracht
11.2 hydrostatische druk
f f
°atmosferische druk (𝑃] , 𝑃: 𝑜𝑓 𝑃:;a ): 1𝑎𝑡𝑚 = 1,013𝑥10e U = 101,3𝑘𝑃𝑎 1𝑏𝑎𝑟 = 1,0𝑥10e U
a a
°absolute druk (𝑃:jk )
°effectieve of relatieve druk (𝑃lm, ) (over- en onderdrukken): 𝑃:jk = 𝑃:;a + 𝑃lm,
°variatie druk met diepte: -∑ 𝐹p = 0 → 𝑃r ∆𝑥∆𝑦 − 𝑃B ∆𝑥∆𝑦 − 𝜌𝑔∆𝑥∆𝑦∆𝑧 = 0
-∆𝑃 = 𝑃B − 𝑃r = −𝜌𝑔∆𝑍 (𝜌 = 𝑐𝑡𝑒)
ð Bij gas 𝜌 vanonder groter dus variatie met diepte in rekening brengen
1z B
ð = −𝜌𝑔 en ∆𝑃 = 𝑃B − 𝑃r = − ∫r 𝜌𝑔𝑑𝑧 à 𝑃:jk = 𝑃:;a + 𝜌𝑔ℎ
1{
11.3 drukmetingen
Barometer manometer differentiaalmanometer:
𝑃:;a = 𝜌𝑔ℎ 𝑃r = 𝑃B = 𝑃:;a + 𝜌𝑔ℎ voor druk in stroming
𝑃r + 𝜌r 𝑔(ℎ + 𝑎) = 𝑃B + 𝜌r 𝑔𝑎 + 𝜌B 𝑔ℎ
à 𝑃" − 𝑃$ = &𝜌2 − 𝜌1 '𝑔ℎ
à 𝑃r − 𝑃B ≅ 𝜌B 𝑔ℎ
11.4 hydrostatische krachten op ondergedompelde vlakke oppervlakken
°parallele krachten resulteren in hydrostatische 𝐹V met grootte en punt van inwerking (drukcentrum)
°atmosferische druk verwaarlozen als ze inwerkt op beide kanten
11.4.1 vlakke plaat – volledig ondergedompeld
11.4.1.1 de grootte van de resulterende kracht
°druk varieert met diepte
°𝐹V = ∫0 𝑃𝑑𝐴 = ∫0 (𝑃] + 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝐴 = 𝑃] 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 ∫0 𝑦𝑑𝐴
r
°y-coördinaat van geometrisch centrum (evenwichtspunt) van het opp: 𝑦[ ≡ ∫0 𝑦𝑑𝐴
0
ð 𝐹V = (𝑃] + 𝜌𝑔𝑦‚ 𝑠𝑖𝑛𝜃)𝐴 = (𝑃] + 𝜌𝑔ℎ‚ )𝐴 = 𝑃‚ 𝐴 = 𝑃:ƒ„ (𝑔𝑒𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑑𝑒 𝑃 𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑜𝑝𝑝)𝐴
11.4.1.2 drukcentrum (waar de resulterende kracht ingrijpt)
, °2 systemen gelijk als ze dezelfde grootte hebben en zelfde moment t.o.v. elk punt
°𝑦z 𝐹V = ∫0 𝑦𝑃𝑑𝐴 = ∫0 𝑦(𝑃] + 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝐴 = 𝑃] ∫0 𝑦𝑑𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 ∫0 𝑦 B 𝑑𝐴
= 𝑃] 𝑦‚ 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃𝐼‡‡,] met 𝐼‡‡,] ≡ ∫0 𝑦 B 𝑑𝐴c (opp-traagheidsmoment rond x-as)
°𝐼‡‡,] = 𝐼‡‡,‚ (𝑜𝑝𝑝 − 𝑡𝑟𝑎𝑎𝑔ℎ𝑒𝑖𝑑𝑠𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑜𝑛𝑑 𝑎𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑎𝑎𝑛 𝑥 −
𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑜𝑟 𝑝𝑢𝑛𝑡 𝐶) + 𝑦‚B 𝐴
°theorema van parallelle assen op afstand 𝑦‚ van elkaar: 𝑦z 𝐹V = 𝑃] 𝑦‚ 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃𝐼‡‡,]
‰ŠŠ,‹ ‰ŠŠ,‹
ð 𝑦z = 𝑦‚ + [+ = 𝑦‚ + (𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑃] = 0)
‹ •(zŽ /F„k•W•)]0 +‹ 0
11.4.2 bijzonder geval: ondergedompelde rechthoekige plaat
j :j Y /rB j jU
°𝑦z = 𝑠 + B + [k•j/B•z /(F„k•W•)]:j = 𝑠 + B + rB[k•j/B•z /(F„k•W•)]
Ž Ž
°𝐹V = 𝑃‚ 𝐴 = [𝑃] + 𝜌𝑔(𝑠 + 𝑏/2)𝑠𝑖𝑛𝜃]𝑎𝑏 = [𝑃] + 𝜌𝑔(𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃)/2]𝑎𝑏 (𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑠 = 0)
°verticaal: 𝐹V = [𝑃] + 𝜌𝑔(𝑠 + 𝑏/2)]𝑎𝑏 horizontal: 𝐹V = (𝑃] + 𝜌𝑔ℎ)𝑎𝑏
11.5 hydrostatische krachten op ondergedompelde gekromde oppervlakken
°componenten apart bepalen via vrij lichaam diagram
𝐹’ = 𝐹“
𝐹3 = 𝐹” ± 𝑊
𝐹V = —𝐹’B + 𝐹3B
tan 𝛼 = 𝐹3 /𝐹’
°horizontale component (𝐹’ ): hydrostatische F op verticale projectie van gekromd opp
°verticale component: hydrostatische F op horizontale porjectie, plus
(of min als ze tegenegsteld gericht zijn) gewicht geïsoleerd fluïdum
Hoofdstuk 12: kinematica van fluïda
12.1 inleiding
°beschrijft beweging stromende fluïda door methode van Lagrange en Methode van Euler
12.2 Lagrange versus Euler
12.2.1 methode van Lagrange
°pad individuele objecten gevolgd: positie en snelheid elk fluïdumdeeltje volgen
°moeilijk: bewegende fluïdumdeeltjes moeilijk te definiëren, interacties, vervormen continu
12.2.2 methode van Euler
Controlevolume: eindig volume in stroming waardoor fluïdum stroomt
ð Hierbinnen veldvariabelen f(plaats en tijd) gedefinieerd
°stromingsveld beschreven door: -drukveld: 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
-snelheidsveld: 𝑉œ⃗ = 𝑉
œ⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
œ⃗
œ⃗ = (𝑢, 𝑣, 𝑤) = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝚤⃗ + 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝚥⃗ + 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘
𝑉
-versnellingsvled: 𝑎⃗ = 𝑎⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
°herschrijven van behoudsvergelijkingen (massa, energie) voor stromingsveld:
œ⃗¢££¤¥¦£
13
œ⃗1mm,;¡m (𝑡)
LAGRANGE: 𝑉 2de wet van newton: 𝐹⃗1mm,;¡m = 𝑚1mm,;¡m 𝑎⃗1mm,;¡m 𝑎⃗1mm,;¡m = 1;
œ⃗ (‡¢££¤¥¦£ ,+¢££¤¥¦£ ,{¢££¤¥¦£ ,;)
13
œ⃗(𝑥1mm,;¡m , 𝑦1mm,;¡m , 𝑧1mm,;¡m , 𝑡)
EULER: 𝑉 𝑎⃗1mm,;¡m = 1;
œ⃗ 1;
§3 œ⃗ 1‡
§3 œ⃗ 1+
§3 œ⃗ 1{
§3
= §; 1;
+ §‡ 1; + §+ 1; + §{ 1;
œ⃗
§3 œ⃗
§3 œ⃗
§3 œ⃗
§3 œ⃗
§3
ð 𝑎⃗1mm,;¡m (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = + §‡ 𝑢 + §+ 𝑣 + §{ 𝑤 = œ⃗ · ∇
+ (𝑉 œ⃗)𝑉
œ⃗
§; §;
Lokale versnelling: advectieve versnelling:
Verandering in tijd verandering in positie
10.1 de “geen-slip” randvoorwaarde
°als fluïdum over object stroomt, “kleeft” het aan het opp door de viscositeit
ð Gevolgen: -grenslaag: laag waarin de snelheid varieert
-opp-weerstand of wrijvingsweerstand: opp wordt meegesleurd met stroom
-afscheidingszone: fluïdum over gebogen opp laat los door inertie
-“geen-temperatuursprong”: fluïdum en opp hebben zelfde temp bij contactopp
10.2 viscositeit
°viscositeit bij fluïda~wrijvingscoëfficiënt bij vaste stoffen
°experiment: -2 vlakke platen, onderste stil (𝑉 = 0) en bovenste beweegt met snelheid 𝑉
à constante 𝐹 nodig om tegen de weerstand in te gaan
+
-er ontstaat een snelheidsprofiel: 𝑢(𝑦) = 𝑉 (als 𝑦 = 𝑙) is snelheid=𝑉
,
/ + 12 3
°schuifspanning: 𝜏 = 0 snelheid: 𝑢(𝑦) = , 𝑉 à 1+ = ,
1: 31; 12
°in interval dt: verplaatsing 𝑑𝑎 = 𝑉𝑑𝑡 en hoekverplaatsing 𝑑𝛽 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝑑𝛽 = = = 𝑑𝑡
, , 1+
1< 12
ð Vervormingssnelheid =
1; 1+
Newtoniaanse fluïda: fluïda waar vervormingsnelheid evenredig met schuifspanning
ð Dynamische viscositeit 𝜇 als evenredigheidsconstante
1< 12 12
ð Schuifspanning 𝜏 ∝ 1;
= 1+ à 𝜏 = 𝜇 1+ [𝑁/𝑚B ]
12 3
Schuifkracht: 𝐹 = 𝜏𝐴 = 𝜇𝐴 1+ = 𝜇𝐴 ,
E
°kinematische viscositeit 𝑣 = F [𝑚B /𝑠 of stoke (𝑐𝑚B /𝑠)]
°niet-newtoniaanse fluïda (schijnbare viscositeit (niet cte)):
-pseudoplastisch: afschuif verdunnend vb: verf, zeep, detergent,…
-dilatant: afschuif verdikkend vb drijfzand, natte cement,..
-bingham plastisch: bieden weerstand aan bepaalde schuifspanning vb: boter, tandpasta,…
°druk: -vloeistof: 𝜇 en v onafhankelijk van P temperatuur: -vloeistof: cohesiekracht ↓ als T ↑
-gas: 𝑣 afhankelijk van P -gas: botsingen ↑ als T ↑
10.2.1 de roterende viscosimeter (toestel om viscositeit te meten)
°krachtmoment: 𝑇 = 𝐹 · 𝑅
Tangentiële snelheid: 𝑉 = 𝜔𝑅 = 2𝜋𝑛̇ (toerental)𝑅
Oppervlakte: 𝐴 = 2𝜋𝑅𝐿 (lengte cilinder)
3 STU V U Ẇ X STU V Y Ẇ X
ð 𝐹 = 𝜇𝐴 = 𝜇 en 𝑇 = 𝐹𝑅 = 𝜇
, , ,
10.3 classificatie van stromingen
10.3.1 viskeuze versus niet-viskeuze stroming
viskeus: stroming waar wrijving significant is
niet-viskeus: stroming waar viskeuze krachten verwaarloosbaar zijn t.o.v. traagheids- of drukkrachten
10.3.2 interne versus externe stroming
Intern: stroming in pijp, buis of kanaal volledig begrensd door vaste oppervlakken
Extern: stroming onbegrensde vloeistof over opp zoals plaat of draad
In open kanaal: vb in rivieren
10.3.3 samendrukbare versus onsamendrukbare stroming
Onsamendrukbaar: dichtheid ongeveer constant (vb: vloeistof)
Samendrukbaar: dichtheid varieërt in stroming (vb: hoge snelheidsstromen)
3
Gassen: onsamendrukbaar bij mach getal < 0,3 𝑀𝑎 = [
10.3.4 laminaire versus turbulente stroming bepaald door Reynolds getal Re
,Laminair: geordend, gelaagd, hoog viskeus, bij lage snelheden
Turbulent: wanordelijk, laag viskeus, bij hoge snelheden
10.3.5 natuurlijke versus gedwongen stroming
Natuurlijk: natuurlijke oorzaak vb: verschil in densiteit of temperatuur
Gedwongen: gedwongen over opp of in buis door pomp of ventilator
10.3.6 stationaire versus niet-stationaire stroming
Stationair: geen verandering van eigenschappen in tijd vb: turbine, compressor, pomp
Niet-stationair: -transient: ontwikkelende stroming
-periodisch: fluctuatie rond stationair gemiddelde
10.3.7 1, 2, 3D stroming
°stroming in buis aan begin 2D en binnenin 1D, stroming over kogel 3D
Hoofdstuk 11: hydrostatica
11.1 inleiding
°mechanica van niet-stromende fluïda: absolute rust of ERB, enige kracht is normaalkracht
11.2 hydrostatische druk
f f
°atmosferische druk (𝑃] , 𝑃: 𝑜𝑓 𝑃:;a ): 1𝑎𝑡𝑚 = 1,013𝑥10e U = 101,3𝑘𝑃𝑎 1𝑏𝑎𝑟 = 1,0𝑥10e U
a a
°absolute druk (𝑃:jk )
°effectieve of relatieve druk (𝑃lm, ) (over- en onderdrukken): 𝑃:jk = 𝑃:;a + 𝑃lm,
°variatie druk met diepte: -∑ 𝐹p = 0 → 𝑃r ∆𝑥∆𝑦 − 𝑃B ∆𝑥∆𝑦 − 𝜌𝑔∆𝑥∆𝑦∆𝑧 = 0
-∆𝑃 = 𝑃B − 𝑃r = −𝜌𝑔∆𝑍 (𝜌 = 𝑐𝑡𝑒)
ð Bij gas 𝜌 vanonder groter dus variatie met diepte in rekening brengen
1z B
ð = −𝜌𝑔 en ∆𝑃 = 𝑃B − 𝑃r = − ∫r 𝜌𝑔𝑑𝑧 à 𝑃:jk = 𝑃:;a + 𝜌𝑔ℎ
1{
11.3 drukmetingen
Barometer manometer differentiaalmanometer:
𝑃:;a = 𝜌𝑔ℎ 𝑃r = 𝑃B = 𝑃:;a + 𝜌𝑔ℎ voor druk in stroming
𝑃r + 𝜌r 𝑔(ℎ + 𝑎) = 𝑃B + 𝜌r 𝑔𝑎 + 𝜌B 𝑔ℎ
à 𝑃" − 𝑃$ = &𝜌2 − 𝜌1 '𝑔ℎ
à 𝑃r − 𝑃B ≅ 𝜌B 𝑔ℎ
11.4 hydrostatische krachten op ondergedompelde vlakke oppervlakken
°parallele krachten resulteren in hydrostatische 𝐹V met grootte en punt van inwerking (drukcentrum)
°atmosferische druk verwaarlozen als ze inwerkt op beide kanten
11.4.1 vlakke plaat – volledig ondergedompeld
11.4.1.1 de grootte van de resulterende kracht
°druk varieert met diepte
°𝐹V = ∫0 𝑃𝑑𝐴 = ∫0 (𝑃] + 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝐴 = 𝑃] 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 ∫0 𝑦𝑑𝐴
r
°y-coördinaat van geometrisch centrum (evenwichtspunt) van het opp: 𝑦[ ≡ ∫0 𝑦𝑑𝐴
0
ð 𝐹V = (𝑃] + 𝜌𝑔𝑦‚ 𝑠𝑖𝑛𝜃)𝐴 = (𝑃] + 𝜌𝑔ℎ‚ )𝐴 = 𝑃‚ 𝐴 = 𝑃:ƒ„ (𝑔𝑒𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑑𝑒 𝑃 𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑜𝑝𝑝)𝐴
11.4.1.2 drukcentrum (waar de resulterende kracht ingrijpt)
, °2 systemen gelijk als ze dezelfde grootte hebben en zelfde moment t.o.v. elk punt
°𝑦z 𝐹V = ∫0 𝑦𝑃𝑑𝐴 = ∫0 𝑦(𝑃] + 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝐴 = 𝑃] ∫0 𝑦𝑑𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 ∫0 𝑦 B 𝑑𝐴
= 𝑃] 𝑦‚ 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃𝐼‡‡,] met 𝐼‡‡,] ≡ ∫0 𝑦 B 𝑑𝐴c (opp-traagheidsmoment rond x-as)
°𝐼‡‡,] = 𝐼‡‡,‚ (𝑜𝑝𝑝 − 𝑡𝑟𝑎𝑎𝑔ℎ𝑒𝑖𝑑𝑠𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑜𝑛𝑑 𝑎𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑎𝑎𝑛 𝑥 −
𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑜𝑟 𝑝𝑢𝑛𝑡 𝐶) + 𝑦‚B 𝐴
°theorema van parallelle assen op afstand 𝑦‚ van elkaar: 𝑦z 𝐹V = 𝑃] 𝑦‚ 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃𝐼‡‡,]
‰ŠŠ,‹ ‰ŠŠ,‹
ð 𝑦z = 𝑦‚ + [+ = 𝑦‚ + (𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑃] = 0)
‹ •(zŽ /F„k•W•)]0 +‹ 0
11.4.2 bijzonder geval: ondergedompelde rechthoekige plaat
j :j Y /rB j jU
°𝑦z = 𝑠 + B + [k•j/B•z /(F„k•W•)]:j = 𝑠 + B + rB[k•j/B•z /(F„k•W•)]
Ž Ž
°𝐹V = 𝑃‚ 𝐴 = [𝑃] + 𝜌𝑔(𝑠 + 𝑏/2)𝑠𝑖𝑛𝜃]𝑎𝑏 = [𝑃] + 𝜌𝑔(𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃)/2]𝑎𝑏 (𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑠 = 0)
°verticaal: 𝐹V = [𝑃] + 𝜌𝑔(𝑠 + 𝑏/2)]𝑎𝑏 horizontal: 𝐹V = (𝑃] + 𝜌𝑔ℎ)𝑎𝑏
11.5 hydrostatische krachten op ondergedompelde gekromde oppervlakken
°componenten apart bepalen via vrij lichaam diagram
𝐹’ = 𝐹“
𝐹3 = 𝐹” ± 𝑊
𝐹V = —𝐹’B + 𝐹3B
tan 𝛼 = 𝐹3 /𝐹’
°horizontale component (𝐹’ ): hydrostatische F op verticale projectie van gekromd opp
°verticale component: hydrostatische F op horizontale porjectie, plus
(of min als ze tegenegsteld gericht zijn) gewicht geïsoleerd fluïdum
Hoofdstuk 12: kinematica van fluïda
12.1 inleiding
°beschrijft beweging stromende fluïda door methode van Lagrange en Methode van Euler
12.2 Lagrange versus Euler
12.2.1 methode van Lagrange
°pad individuele objecten gevolgd: positie en snelheid elk fluïdumdeeltje volgen
°moeilijk: bewegende fluïdumdeeltjes moeilijk te definiëren, interacties, vervormen continu
12.2.2 methode van Euler
Controlevolume: eindig volume in stroming waardoor fluïdum stroomt
ð Hierbinnen veldvariabelen f(plaats en tijd) gedefinieerd
°stromingsveld beschreven door: -drukveld: 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
-snelheidsveld: 𝑉œ⃗ = 𝑉
œ⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
œ⃗
œ⃗ = (𝑢, 𝑣, 𝑤) = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝚤⃗ + 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝚥⃗ + 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘
𝑉
-versnellingsvled: 𝑎⃗ = 𝑎⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
°herschrijven van behoudsvergelijkingen (massa, energie) voor stromingsveld:
œ⃗¢££¤¥¦£
13
œ⃗1mm,;¡m (𝑡)
LAGRANGE: 𝑉 2de wet van newton: 𝐹⃗1mm,;¡m = 𝑚1mm,;¡m 𝑎⃗1mm,;¡m 𝑎⃗1mm,;¡m = 1;
œ⃗ (‡¢££¤¥¦£ ,+¢££¤¥¦£ ,{¢££¤¥¦£ ,;)
13
œ⃗(𝑥1mm,;¡m , 𝑦1mm,;¡m , 𝑧1mm,;¡m , 𝑡)
EULER: 𝑉 𝑎⃗1mm,;¡m = 1;
œ⃗ 1;
§3 œ⃗ 1‡
§3 œ⃗ 1+
§3 œ⃗ 1{
§3
= §; 1;
+ §‡ 1; + §+ 1; + §{ 1;
œ⃗
§3 œ⃗
§3 œ⃗
§3 œ⃗
§3 œ⃗
§3
ð 𝑎⃗1mm,;¡m (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = + §‡ 𝑢 + §+ 𝑣 + §{ 𝑤 = œ⃗ · ∇
+ (𝑉 œ⃗)𝑉
œ⃗
§; §;
Lokale versnelling: advectieve versnelling:
Verandering in tijd verandering in positie
