Chapitre 6
, Dérivation des fonctions numériques
I. Dérivée en un
point
Dans toute cette partie F fonction
, désigne une
numérique définie sur
la b € IR a < b) et
un intervalle I = Ja
,
b C
, ,
xo un
point de I :
a < xo Cb
1) Définition
On appelle taux d' accroissement de f l'
en xo
application
[
' {%} → IR
Exo
x 1->
Fbc) fcxo)
-
X -
JCO
Remarque : Le taux d'accroissement de f en x
peut aussi s'écrire (avec le
changement de variable x = xo th )
f loco th) - F ( xd
h
Proposition
sait x E I \ {xo} .
Le taux d' accroissement de f entre xoetx est
le coefficient directeur de lacorde qui jouent les points Mo loco
,
Flood ) et
M (x fac) ) .
,
Y ^
c
FH fcod Flaco )
coeff directeur =
-
Fosco)
x -
Ko
I I > 0C
xo X
a b
Définition
On dit F est dérivable en xo si le taux d' accroissement de F
que
admet une limite finie ( que l'on mate a) quand xtend vers xo :
floc) fcxo) a E IR
lim =
-
Xixo x -
Xo
, Le cas échéant, cette limite se nomme lenombre dérivé defenxo et se
note f- Coco)
'
.
Définition
On ensemble loue domaine) de dérivabilité def l' ensemble des
appelle xo EI
en
lesquels P-estderivab.ee .
Exemples
•
La fonction constante x - C CCEIR ) est dérivable sur IR et pourtant
'
Xo C- IR f Coco ) 0 =
,
En effet :
lim FCX) Flaco) -
= lim = O
Xixo x -
SCO Xixo X -
XO
*
•
Sait n C- IN
La fonction xixn est dérivable sur IR et
, pourtant sa C- I f ' loco) =
,
^
Macon
-
En effet : n ^
xn-t-kxokrk-OTX-xox-x.co
-
lim xn - acon ein Fx -
xo) E
=
✗ → do
x -
Xo
{
{ Vérification :
n n
Ë
-
Ë kxok
• * ^
) xok E oon xn -11
-
t ☐ - -
(x xn
- -
' -
xo = xo -
l
* D= 0 k ≥ 0
=◦
y n
seok
'
Ê
n
Lok
'
-
K
xn
-
E. xn ( K'
-
, = -
= la -11)
l k=o t' = 1
I
I = xn -
Xon
i
Ë
,
-1
i
lim " ^ -
K
Xok Macon
-
-
→ =
X =
Xixo bro
Interprétation graphique
si la fonction Fest dérivable en xo alors le graphe de cette fonction admet
,
au point Mocxqfcxo ) ) une tangente dont le
coefficient directeur vaut t'Gco)
4 n
( non)
qM.co?rg-- Xo
l
x
tangente
>
y
en xo
, Dérivation des fonctions numériques
I. Dérivée en un
point
Dans toute cette partie F fonction
, désigne une
numérique définie sur
la b € IR a < b) et
un intervalle I = Ja
,
b C
, ,
xo un
point de I :
a < xo Cb
1) Définition
On appelle taux d' accroissement de f l'
en xo
application
[
' {%} → IR
Exo
x 1->
Fbc) fcxo)
-
X -
JCO
Remarque : Le taux d'accroissement de f en x
peut aussi s'écrire (avec le
changement de variable x = xo th )
f loco th) - F ( xd
h
Proposition
sait x E I \ {xo} .
Le taux d' accroissement de f entre xoetx est
le coefficient directeur de lacorde qui jouent les points Mo loco
,
Flood ) et
M (x fac) ) .
,
Y ^
c
FH fcod Flaco )
coeff directeur =
-
Fosco)
x -
Ko
I I > 0C
xo X
a b
Définition
On dit F est dérivable en xo si le taux d' accroissement de F
que
admet une limite finie ( que l'on mate a) quand xtend vers xo :
floc) fcxo) a E IR
lim =
-
Xixo x -
Xo
, Le cas échéant, cette limite se nomme lenombre dérivé defenxo et se
note f- Coco)
'
.
Définition
On ensemble loue domaine) de dérivabilité def l' ensemble des
appelle xo EI
en
lesquels P-estderivab.ee .
Exemples
•
La fonction constante x - C CCEIR ) est dérivable sur IR et pourtant
'
Xo C- IR f Coco ) 0 =
,
En effet :
lim FCX) Flaco) -
= lim = O
Xixo x -
SCO Xixo X -
XO
*
•
Sait n C- IN
La fonction xixn est dérivable sur IR et
, pourtant sa C- I f ' loco) =
,
^
Macon
-
En effet : n ^
xn-t-kxokrk-OTX-xox-x.co
-
lim xn - acon ein Fx -
xo) E
=
✗ → do
x -
Xo
{
{ Vérification :
n n
Ë
-
Ë kxok
• * ^
) xok E oon xn -11
-
t ☐ - -
(x xn
- -
' -
xo = xo -
l
* D= 0 k ≥ 0
=◦
y n
seok
'
Ê
n
Lok
'
-
K
xn
-
E. xn ( K'
-
, = -
= la -11)
l k=o t' = 1
I
I = xn -
Xon
i
Ë
,
-1
i
lim " ^ -
K
Xok Macon
-
-
→ =
X =
Xixo bro
Interprétation graphique
si la fonction Fest dérivable en xo alors le graphe de cette fonction admet
,
au point Mocxqfcxo ) ) une tangente dont le
coefficient directeur vaut t'Gco)
4 n
( non)
qM.co?rg-- Xo
l
x
tangente
>
y
en xo
