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Dérivés

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Cours sur les dérivés pour prépa.

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Chapitre 6

, Dérivation des fonctions numériques
I. Dérivée en un
point
Dans toute cette partie F fonction
, désigne une
numérique définie sur

la b € IR a < b) et
un intervalle I = Ja
,
b C
, ,
xo un
point de I :


a < xo Cb


1) Définition

On appelle taux d' accroissement de f l'
en xo
application

[
' {%} → IR
Exo
x 1->
Fbc) fcxo)
-




X -
JCO




Remarque : Le taux d'accroissement de f en x
peut aussi s'écrire (avec le

changement de variable x = xo th )


f loco th) - F ( xd
h




Proposition
sait x E I \ {xo} .
Le taux d' accroissement de f entre xoetx est
le coefficient directeur de lacorde qui jouent les points Mo loco
,
Flood ) et
M (x fac) ) .




,



Y ^




c

FH fcod Flaco )
coeff directeur =
-




Fosco)
x -

Ko




I I > 0C
xo X
a b




Définition

On dit F est dérivable en xo si le taux d' accroissement de F
que
admet une limite finie ( que l'on mate a) quand xtend vers xo :




floc) fcxo) a E IR
lim =
-




Xixo x -
Xo

, Le cas échéant, cette limite se nomme lenombre dérivé defenxo et se
note f- Coco)
'
.




Définition

On ensemble loue domaine) de dérivabilité def l' ensemble des
appelle xo EI
en
lesquels P-estderivab.ee .




Exemples


La fonction constante x - C CCEIR ) est dérivable sur IR et pourtant
'
Xo C- IR f Coco ) 0 =
,

En effet :


lim FCX) Flaco) -




= lim = O
Xixo x -
SCO Xixo X -
XO




*

Sait n C- IN

La fonction xixn est dérivable sur IR et
, pourtant sa C- I f ' loco) =
,
^
Macon
-




En effet : n ^




xn-t-kxokrk-OTX-xox-x.co
-




lim xn - acon ein Fx -
xo) E
=

✗ → do
x -

Xo

{
{ Vérification :
n n

Ë
-




Ë kxok
• * ^

) xok E oon xn -11
-

t ☐ - -




(x xn
- -


' -
xo = xo -




l
* D= 0 k ≥ 0
=◦


y n


seok
'

Ê
n


Lok
'
-




K
xn
-




E. xn ( K'
-




, = -
= la -11)
l k=o t' = 1
I




I = xn -
Xon
i

Ë
,


-1
i
lim " ^ -
K
Xok Macon
-




-


→ =
X =

Xixo bro




Interprétation graphique

si la fonction Fest dérivable en xo alors le graphe de cette fonction admet
,

au point Mocxqfcxo ) ) une tangente dont le
coefficient directeur vaut t'Gco)
4 n




( non)





qM.co?rg-- Xo
l
x
tangente

>
y
en xo

Written for

Institution
Study
Course

Document information

Uploaded on
July 6, 2023
Number of pages
17
Written in
2022/2023
Type
Class notes
Professor(s)
Veron
Contains
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