INLEIDING TOT DE
KWANTUMCHEMIE
2de Bachelor Chemie
Raphael Nguyen Tien
,Hoofdstuk 1 – Postulaten van de
kwantummechanica
Wat zijn postulaten?
Postulaten = basisregels van de theorie
Kunnen niet bewezen worden, maar zijn nodig om
kwantummechanica op te bouwen
Theorie geeft voorspellingen, experimenten testen deze
Belangrijk om te onthouden:
Theorie ↔ experiment: geldigheid = correctie/controle
Postulaten vormen de fundering van alles wat volgt
Postulaat 1 – Toestandsfunctie /
Golffunctie
Kernidee:
Een kwantumsysteem van N deeltjes wordt volledig beschreven
door een golffunctie Ψ(r₁, r₂, …, r_N, t)
Voor 1 deeltje:
o |Ψ(r, t)|² dr = waarschijnlijkheid om het deeltje in klein
volume dr bij positie r aan te treffen
o Dit is de Born-interpretatie
Uitleg stap voor stap:
1. Ψ(r, t) = toestandsfunctie
o Afhankelijk van positie r en tijd t
o Bevat alle info over het systeem
2. |Ψ(r, t)|² dr = kans om deeltje te vinden in dr
o “dr” = klein stukje ruimte rond punt P
o Voorbeeld: als |Ψ|² = 0,1 in dr, kans = 10%
, 3. N-deeltjes systeem:
o |Ψ(r₁, r₂, …, r_N, t)|² dr₁ dr₂ … dr_N = kans om alle deeltjes
tegelijk in hun respectievelijke kleine volumes te vinden
4. Normering van Ψ:
o Totale kans = 1
o wiskundig:
∫ ∣Ψ (r 1 , … ,r N , t)∣2 d r 1 … d r N =1
o Vereist: Ψ moet kwadratisch integreerbaar, continu en
single-valued zijn
Belan
grijk om te onthouden:
Ψ zelf = niet fysisch meetbaar, |Ψ|² = meetbare
waarschijnlijkheid
Normering = zekerheid dat het deeltje ergens is
Voorbeeld 1-deeltje: elektron in doos → kans = 1 dat het ergens in
de doos is
, Postulaat 2 – Observabelen en
operatoren
Kernidee:
Elke waarneembare grootheid A (zoals positie, impuls, energie)
wordt wiskundig voorgesteld door een lineaire Hermitische
operator Â.
Operatoren werken op de golffunctie Ψ om meetwaarden te bepalen.
Uitleg stap voor stap:
1. Lineair en Hermitisch
o Lineair: Â(c₁Ψ₁ + c₂Ψ₂) = c₁ÂΨ₁ + c₂ÂΨ₂
o Hermitisch: eigenwaarden zijn reëel → meetwaarden zijn
fysisch mogelijk
2. Constructie van operatoren
o Van klassieke grootheid naar kwantumoperator via substitutie:
t → t (tijd blijft gelijk)
r → r (positie blijft gelijk)
p → -iħ ∇ (impuls wordt differentieeroperator)
o Voor energie:
2 2
p ^ =−ℏ ∇ 2+V (r )
E= +V (r)⇒ H
2m 2m
3. Belangrijk punt:
o Als er volgordeproblemen zijn bij operatoren (bijvoorbeeld p
en r samen), kies de volgorde zodat de operator Hermitisch
blijft → zorgt voor reële meetwaarden
Voorbeeld:
Impuls in x-richting:
∂
^p x =−iℏ
∂x
Energie (1-deeltje in potentiaal V):
2
^ −ℏ 2
H= ∇ +V (r)
2m
KWANTUMCHEMIE
2de Bachelor Chemie
Raphael Nguyen Tien
,Hoofdstuk 1 – Postulaten van de
kwantummechanica
Wat zijn postulaten?
Postulaten = basisregels van de theorie
Kunnen niet bewezen worden, maar zijn nodig om
kwantummechanica op te bouwen
Theorie geeft voorspellingen, experimenten testen deze
Belangrijk om te onthouden:
Theorie ↔ experiment: geldigheid = correctie/controle
Postulaten vormen de fundering van alles wat volgt
Postulaat 1 – Toestandsfunctie /
Golffunctie
Kernidee:
Een kwantumsysteem van N deeltjes wordt volledig beschreven
door een golffunctie Ψ(r₁, r₂, …, r_N, t)
Voor 1 deeltje:
o |Ψ(r, t)|² dr = waarschijnlijkheid om het deeltje in klein
volume dr bij positie r aan te treffen
o Dit is de Born-interpretatie
Uitleg stap voor stap:
1. Ψ(r, t) = toestandsfunctie
o Afhankelijk van positie r en tijd t
o Bevat alle info over het systeem
2. |Ψ(r, t)|² dr = kans om deeltje te vinden in dr
o “dr” = klein stukje ruimte rond punt P
o Voorbeeld: als |Ψ|² = 0,1 in dr, kans = 10%
, 3. N-deeltjes systeem:
o |Ψ(r₁, r₂, …, r_N, t)|² dr₁ dr₂ … dr_N = kans om alle deeltjes
tegelijk in hun respectievelijke kleine volumes te vinden
4. Normering van Ψ:
o Totale kans = 1
o wiskundig:
∫ ∣Ψ (r 1 , … ,r N , t)∣2 d r 1 … d r N =1
o Vereist: Ψ moet kwadratisch integreerbaar, continu en
single-valued zijn
Belan
grijk om te onthouden:
Ψ zelf = niet fysisch meetbaar, |Ψ|² = meetbare
waarschijnlijkheid
Normering = zekerheid dat het deeltje ergens is
Voorbeeld 1-deeltje: elektron in doos → kans = 1 dat het ergens in
de doos is
, Postulaat 2 – Observabelen en
operatoren
Kernidee:
Elke waarneembare grootheid A (zoals positie, impuls, energie)
wordt wiskundig voorgesteld door een lineaire Hermitische
operator Â.
Operatoren werken op de golffunctie Ψ om meetwaarden te bepalen.
Uitleg stap voor stap:
1. Lineair en Hermitisch
o Lineair: Â(c₁Ψ₁ + c₂Ψ₂) = c₁ÂΨ₁ + c₂ÂΨ₂
o Hermitisch: eigenwaarden zijn reëel → meetwaarden zijn
fysisch mogelijk
2. Constructie van operatoren
o Van klassieke grootheid naar kwantumoperator via substitutie:
t → t (tijd blijft gelijk)
r → r (positie blijft gelijk)
p → -iħ ∇ (impuls wordt differentieeroperator)
o Voor energie:
2 2
p ^ =−ℏ ∇ 2+V (r )
E= +V (r)⇒ H
2m 2m
3. Belangrijk punt:
o Als er volgordeproblemen zijn bij operatoren (bijvoorbeeld p
en r samen), kies de volgorde zodat de operator Hermitisch
blijft → zorgt voor reële meetwaarden
Voorbeeld:
Impuls in x-richting:
∂
^p x =−iℏ
∂x
Energie (1-deeltje in potentiaal V):
2
^ −ℏ 2
H= ∇ +V (r)
2m
