Sumario Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.

Tema 4. Ecuaciones en derivadas parciales de
primer orden.

P1. Definiciones generales.
Se llaman ecuaciones en derivadas parciales (EDP) aquellas ecuaciones diferenciales en
las que la función incógnita depende de más de una variable independiente.
Estudiaremos el caso de dos variables independientes (que las denotaremos por 𝑥 e 𝑦),
mientras que a la función incógnita la notaremos por 𝑧(𝑥, 𝑦).
Con esta notación, las EDP de primer orden quedarán de la siguiente forma:
(
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧,
∂𝑧
∂𝑥
,
∂𝑧
∂𝑦 ) = 0 o también, escribiendo las derivadas parciales de forma simplificada,
∂𝑧 ∂𝑧
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞) = 0 donde 𝑝 = ∂𝑥
y𝑞 = ∂𝑦
.
Una solución o integral es una función 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) que satisface la ecuación al sustituir en
ella dicha función y sus derivadas parciales.
Interpretando 𝑥, 𝑦, 𝑧 como coordenadas cartesianas de un punto en el espacio, una integral
𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) de la ecuación representa una superficie que se conoce con el nombre de
superficie integral de dicha ecuación.


P2. Ecuaciones diferenciales totales. Ecuaciones de Pfaff.
Se llama ecuación diferencial total (EDT) o ecuación de Pfaff, a una ecuación de la forma
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 = 0 en la que supondremos que las funciones
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) y 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) son derivables respecto a todos sus argumentos.
Una expresión del tipo 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 se llama forma
diferencial de Pfaff.
Diremos que una ecuación de Pfaff es integrable si existe una función µ(𝑥, 𝑦, 𝑧), a la que
llamaremos factor integrante, tal que la expresión
µ(𝑥, 𝑦, 𝑧)(𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧) es una función diferencial exacta.
Es decir, la ecuación es integrable si existen funciones µ(𝑥, 𝑦, 𝑧) y 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) tales que
µ(𝑥, 𝑦, 𝑧)(𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧) = 𝑑𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧).
A la función 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) la llamaremos función potencial. En tal caso, 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶 es la
solución general de la ecuación de Pfaff.
Pasemos a caracterizar esa condición de integrabilidad que acabamos de definir.
Teorema 1.
La condición necesaria y suficiente para que una ecuación de Pfaff sea integrable es que
𝐹 · 𝑟𝑜𝑡(𝐹) = 0, siendo 𝐹 = (𝑃, 𝑄, 𝑅) y 𝑟𝑜𝑡(𝐹) el rotacional del campo vectorial 𝐹.


Resolución de EDT. Casos particulares.
- Ecuación en variables separadas.
Si la ecuación de Pfaff a resolver presenta la forma 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑦)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑧)𝑑𝑧 = 0,
entonces ∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑄(𝑦)𝑑𝑦 + ∫𝑅(𝑧)𝑑𝑧 = 𝐶 es su solución general. Queda claro
que en este caso particular la ecuación es siempre integrable.