Tema 5. Ecuaciones en derivadas parciales de
segundo orden.
P1. Definiciones generales.
Se llama ecuación en derivadas parciales de segundo orden a una ecuación de la forma
( ) = 0 o bien expresando las derivadas parciales en forma
2 2 2
∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧, ∂𝑥
, ∂𝑦
, 2 , ∂𝑥∂𝑦
, 2
∂𝑥 ∂𝑦
( )
reducida, 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑧'𝑥, 𝑧'𝑦, 𝑧''𝑥𝑥, 𝑧''𝑧𝑦, 𝑧''𝑦𝑦 = 0. Para expresar más brevemente este tipo de
2 2 2
∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧
ecuaciones utilizaremos 𝑝 = ∂𝑥
, 𝑞= ∂𝑦
, 𝑟= 2 , 𝑠= ∂𝑥∂𝑦
, 𝑡= 2 con lo que nos queda
∂𝑥 ∂𝑦
una expresión de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡) = 0.
P2. Ecuaciones en derivadas parciales lineales homogéneas
con coeficientes constantes.
Se llama ecuación en derivadas parciales lineal homogénea con coeficientes constantes a
2 2 2
∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧
una ecuación de la forma 𝑎 2 +𝑏 ∂𝑥∂𝑦
+𝑐 2 +𝑙 ∂𝑥
+𝑚 ∂𝑦
+ 𝑛𝑧 = 0 donde
∂𝑥 ∂𝑦
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑙, 𝑚, 𝑛 son coeficientes constantes.
Principio de superposición.
Teorema 1 (Principio de superposición) Sean 𝑢1, 𝑢2,..., 𝑢𝑘 soluciones de una ecuación en
derivadas parciales lineal homogénea con coeficientes constantes. Entonces
𝑘
𝑢 = 𝑐1𝑢1 + 𝑐2𝑢2 +... + 𝑐𝑘𝑢𝑘 = ∑ 𝑐𝑖𝑢𝑖 𝑐𝑖 constantes también es solución de dicha ecuación.
𝑖=1
Este resultado se puede extender al caso en el que se tengan un número infinito de
soluciones. Así, cada vez que tengamos un conjunto infinito 𝑢1, 𝑢2 , 𝑢3,... de soluciones de
una ecuación lineal homogénea, se puede obtener otra solución 𝑢 formando la serie
∞
𝑢 = ∑ 𝑐𝑘𝑢𝑘 con 𝑐𝑘 constantes.
𝑘=1
Método de separación de variables.
Un procedimiento para obtener la solución general de una ecuación lineal homogénea con
coeficientes constantes lo proporciona el método de separación de variables, el cual se ha
revelado extraordinariamente fructífero en numerosos problemas de la Física matemática.
Este método reduce la integración de una ecuación en derivadas parciales de segundo
orden con dos variables independientes, a la integración de dos ecuaciones diferenciales
ordinarias y resulta aplicable a las ecuaciones homogéneas en las que está ausente el
término en la derivada mixta.
segundo orden.
P1. Definiciones generales.
Se llama ecuación en derivadas parciales de segundo orden a una ecuación de la forma
( ) = 0 o bien expresando las derivadas parciales en forma
2 2 2
∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧, ∂𝑥
, ∂𝑦
, 2 , ∂𝑥∂𝑦
, 2
∂𝑥 ∂𝑦
( )
reducida, 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑧'𝑥, 𝑧'𝑦, 𝑧''𝑥𝑥, 𝑧''𝑧𝑦, 𝑧''𝑦𝑦 = 0. Para expresar más brevemente este tipo de
2 2 2
∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧
ecuaciones utilizaremos 𝑝 = ∂𝑥
, 𝑞= ∂𝑦
, 𝑟= 2 , 𝑠= ∂𝑥∂𝑦
, 𝑡= 2 con lo que nos queda
∂𝑥 ∂𝑦
una expresión de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡) = 0.
P2. Ecuaciones en derivadas parciales lineales homogéneas
con coeficientes constantes.
Se llama ecuación en derivadas parciales lineal homogénea con coeficientes constantes a
2 2 2
∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧 ∂𝑧
una ecuación de la forma 𝑎 2 +𝑏 ∂𝑥∂𝑦
+𝑐 2 +𝑙 ∂𝑥
+𝑚 ∂𝑦
+ 𝑛𝑧 = 0 donde
∂𝑥 ∂𝑦
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑙, 𝑚, 𝑛 son coeficientes constantes.
Principio de superposición.
Teorema 1 (Principio de superposición) Sean 𝑢1, 𝑢2,..., 𝑢𝑘 soluciones de una ecuación en
derivadas parciales lineal homogénea con coeficientes constantes. Entonces
𝑘
𝑢 = 𝑐1𝑢1 + 𝑐2𝑢2 +... + 𝑐𝑘𝑢𝑘 = ∑ 𝑐𝑖𝑢𝑖 𝑐𝑖 constantes también es solución de dicha ecuación.
𝑖=1
Este resultado se puede extender al caso en el que se tengan un número infinito de
soluciones. Así, cada vez que tengamos un conjunto infinito 𝑢1, 𝑢2 , 𝑢3,... de soluciones de
una ecuación lineal homogénea, se puede obtener otra solución 𝑢 formando la serie
∞
𝑢 = ∑ 𝑐𝑘𝑢𝑘 con 𝑐𝑘 constantes.
𝑘=1
Método de separación de variables.
Un procedimiento para obtener la solución general de una ecuación lineal homogénea con
coeficientes constantes lo proporciona el método de separación de variables, el cual se ha
revelado extraordinariamente fructífero en numerosos problemas de la Física matemática.
Este método reduce la integración de una ecuación en derivadas parciales de segundo
orden con dos variables independientes, a la integración de dos ecuaciones diferenciales
ordinarias y resulta aplicable a las ecuaciones homogéneas en las que está ausente el
término en la derivada mixta.
