SOLUTION MANUAL
su su
First Course in Abstract Algebra A
su su su su su su
8th Edition by John B. Fraleigh
su su su su su su
All Chapters Full Complete
su su su su
, CONTENTS
0. Sets and Relations 1
su su
I. Groups and Subgroups s u s u
1. Introduction and Examples 4 s u s u
2. Binary Operations 7
s u
3. Isomorphic Binary Structures 9 s u s u
4. Groups 13
5. Subgroups 17
6. Cyclic Groups 21
s u
7. Generators and Cayley Digraphs 24 s u s u s u
II. Permutations, Cosets, and Direct Products su su su su
8. Groups of Permutations 26
su su
9. Orbits, Cycles, and the Alternating Groups 30
su su su su su
10. Cosets and the Theorem of Lagrange 34
su su su su su
11. Direct Products and Finitely Generated Abelian Groups
s u s u s u s u s u s u 37
12. Plane Isometries 42
s u
III. Homomorphisms and Factor Groups s u s u s u
13. Homomorphisms 44
14. Factor Groups 49
s u
15. Factor-Group Computations and Simple Groups s u s u s u s u 53
16. Group Action on a Set 58
su su su su
17. Applications of G-Sets to Counting 61 su su su su
IV. Rings and Fields s u s u
18. Rings and Fields 63
su su
19. Integral Domains 68 s u
20. Fermat’s and Euler’s Theorems 72
s u s u s u
21. The Field of Quotients of an Integral Domain
s u su s u su s u s u s u 74
22. Rings of Polynomials 76
s u s u
23. Factorization of Polynomials over a Field 79 su su su su su
24. Noncommutative Examples 85 s u
25. Ordered Rings and Fields 87 s u s u s u
V. Ideals and Factor Rings s u s u s u
26. Homomorphisms and Factor Rings 89 su su su
27. Prime and Maximal Ideals 94
su su su
28. Gröbner Bases for Ideals 99 su su su
, VI. Extension Fields s u
29. Introduction to Extension Fields 103 su su su
30. Vector Spaces 107s u
31. Algebraic Extensions 111 s u
32. Geometric Constructions 115 su
33. Finite Fields 116
s u
VII. Advanced Group Theory su su
34. Isomorphism Theorems 117 su
35. Series of Groups 119
su su
36. Sylow Theorems 122
s u
37. Applications of the Sylow Theory 124 su s u s u su
38. Free Abelian Groups 128
s u s u
39. Free Groups 130
su
40. Group Presentations 133
s u
VIII. Groups in Topology s u s u
41. Simplicial Complexes and Homology Groups 136
s u s u s u s u
42. Computations of Homology Groups 138 su su su
43. More Homology Computations and Applications 140
su su su su
44. Homological Algebra 144 su
IX. Factorization
45. Unique Factorization Domains 148
s u s u
46. Euclidean Domains 151 s u
47. Gaussian Integers and Multiplicative Norms 154
s u s u s u s u
X. Automorphisms and Galois Theory s u s u s u
48. Automorphisms of Fields 159 su su
49. The Isomorphism Extension Theorem 164
s u s u s u
50. Splitting Fields 165 s u
51. Separable Extensions 167 su
52. Totally Inseparable Extensions 171
su su
53. Galois Theory 173
s u
54. Illustrations of Galois Theory 176 su su su
55. Cyclotomic Extensions 183 su
56. Insolvability of the Quintic 185 su s u su
APPENDIX s u Matrix s u Algebra 187
iv
, 0. Sets and Relations
s u su su 1
0. Sets and Relations s u s u
√ √
1. { 3, − 3} su 2. The set is empty. s u s u s u s u
3. s u{1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 5, −5, 6, −6, 10, −10, 12, −12, 15, −15, 20, −20, 30, −30,
su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su
60, −60} su
4. {−10, −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
s u su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su
5. It is not a well-defined set. (Some may argue that no element of Z+ is large, because every
su su su su su s u su su su su su su su su su su su
element exceeds only a finite number of other elements but is exceeded by an infinite number of other
su su su su su su su su su su su su su su su su su su
elements. Such people might claim the answer should be ∅.)
su su su su su su su su su su
6. ∅ 7. The set is ∅ because 33 = 27 and 43 = 64.
s u su su su su su su su su su su su
8. It is not a well-defined set.
s u su su su su su 9. Q s u
10. The set containing all numbers that are (positive, negative, or zero) integer multiples of
s u s u s u s u s u s u s u s u s u s u s u s u s u
1, 1/2, or 1/3.
s u s u s u su
11. {(a, 1), (a, 2), (a, c), (b, 1), (b, 2), (b, c), (c, 1), (c, 2), (c, c)}
su su su su su su su su su su su su su su su su su
12. a. It is a function. It is not one-to-one since there are two pairs with second member 4. It is
s u su su su s u su su su su su su su su su su su su s u su
not onto
su su
B because there is no pair with second member 2.
su su su su su su su su su
b. (Same answer as Part(a).) s u s u s u
c. It is not a function because there are two pairs with first member 1.
su su su su su su su su su su su su su
d. It is a function. It is one-to-one.
su su su s u su su s u It is onto B because every element of B appears
su su su su su su su su su
as second member of some pair.
su su su su su su
e. It is a function. It is not one-to-one because there are two pairs with second member 6. It is
su su su su su su su su su su su su su su su su su su
not onto B because there is no pair with second member 2.
su su su su su su su su su su su su
f. It is not a function because there are two pairs with first member 2.
su su su su su su su su su su su su su
13. Draw the line through P and x, and let y be its point of intersection with the line segment
su su su su s u su su su su su su su su su su su su su
CD.su
14. a. φ : [0, 1] → [0, 2] where φ(x) = 2x
s u su su su su su su su su su su b. φ : [1, 3] → [5, 25] where φ(x) = 5 + 10(x − 1)
s u su su su su su su su su su su su su su su
d− c
c. φ : [a, b]→ [c, d] where φ(x) = c +
s u su su su su s u s u su su su su (−x a) u
s
b−a
1
15. Let φ : S → R be defined by φ(x) = tan(π(x2 −
su su su su su su su su su su su su su
su
)).
16. a. ∅; cardinality 1
s u su su b. ∅, {a}; cardinality 2
s u su su su c. ∅, {a}, {b}, {a, b}; cardinality 4
s u su su su su su su
d. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}; cardinality 8
s u su su su su su su su su su su su su su su
17. Conjecture: |P(A)| = 2s = 2|A|. su su su su
Proof The number of subsets of a set A depends only on the cardinality of A, not on what the
su su su su su su su su su su su su su su su su su su su
elements of A actually are. Suppose B = {1, 2, 3, · · · , s − 1} and A = {1, 2, 3,
su su , s}. Then
su su su s u su su su su su su su su su su su su su su su su su su s u s u su s u
A has all
su su su
the elements of B plus the one additional element s. All subsets of B are also subsets of A;
su su su su su su su su su s u su su su su su su su su
these are precisely the subsets of A that do not contain s, so the number of subsets of A not
su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su
containing s is |P(B)|. Any other subset of A must contain s, and removal of the s would
su su su su s u su su su su su su su su su su su su su
produce a subset of
su su su su
su su
First Course in Abstract Algebra A
su su su su su su
8th Edition by John B. Fraleigh
su su su su su su
All Chapters Full Complete
su su su su
, CONTENTS
0. Sets and Relations 1
su su
I. Groups and Subgroups s u s u
1. Introduction and Examples 4 s u s u
2. Binary Operations 7
s u
3. Isomorphic Binary Structures 9 s u s u
4. Groups 13
5. Subgroups 17
6. Cyclic Groups 21
s u
7. Generators and Cayley Digraphs 24 s u s u s u
II. Permutations, Cosets, and Direct Products su su su su
8. Groups of Permutations 26
su su
9. Orbits, Cycles, and the Alternating Groups 30
su su su su su
10. Cosets and the Theorem of Lagrange 34
su su su su su
11. Direct Products and Finitely Generated Abelian Groups
s u s u s u s u s u s u 37
12. Plane Isometries 42
s u
III. Homomorphisms and Factor Groups s u s u s u
13. Homomorphisms 44
14. Factor Groups 49
s u
15. Factor-Group Computations and Simple Groups s u s u s u s u 53
16. Group Action on a Set 58
su su su su
17. Applications of G-Sets to Counting 61 su su su su
IV. Rings and Fields s u s u
18. Rings and Fields 63
su su
19. Integral Domains 68 s u
20. Fermat’s and Euler’s Theorems 72
s u s u s u
21. The Field of Quotients of an Integral Domain
s u su s u su s u s u s u 74
22. Rings of Polynomials 76
s u s u
23. Factorization of Polynomials over a Field 79 su su su su su
24. Noncommutative Examples 85 s u
25. Ordered Rings and Fields 87 s u s u s u
V. Ideals and Factor Rings s u s u s u
26. Homomorphisms and Factor Rings 89 su su su
27. Prime and Maximal Ideals 94
su su su
28. Gröbner Bases for Ideals 99 su su su
, VI. Extension Fields s u
29. Introduction to Extension Fields 103 su su su
30. Vector Spaces 107s u
31. Algebraic Extensions 111 s u
32. Geometric Constructions 115 su
33. Finite Fields 116
s u
VII. Advanced Group Theory su su
34. Isomorphism Theorems 117 su
35. Series of Groups 119
su su
36. Sylow Theorems 122
s u
37. Applications of the Sylow Theory 124 su s u s u su
38. Free Abelian Groups 128
s u s u
39. Free Groups 130
su
40. Group Presentations 133
s u
VIII. Groups in Topology s u s u
41. Simplicial Complexes and Homology Groups 136
s u s u s u s u
42. Computations of Homology Groups 138 su su su
43. More Homology Computations and Applications 140
su su su su
44. Homological Algebra 144 su
IX. Factorization
45. Unique Factorization Domains 148
s u s u
46. Euclidean Domains 151 s u
47. Gaussian Integers and Multiplicative Norms 154
s u s u s u s u
X. Automorphisms and Galois Theory s u s u s u
48. Automorphisms of Fields 159 su su
49. The Isomorphism Extension Theorem 164
s u s u s u
50. Splitting Fields 165 s u
51. Separable Extensions 167 su
52. Totally Inseparable Extensions 171
su su
53. Galois Theory 173
s u
54. Illustrations of Galois Theory 176 su su su
55. Cyclotomic Extensions 183 su
56. Insolvability of the Quintic 185 su s u su
APPENDIX s u Matrix s u Algebra 187
iv
, 0. Sets and Relations
s u su su 1
0. Sets and Relations s u s u
√ √
1. { 3, − 3} su 2. The set is empty. s u s u s u s u
3. s u{1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 5, −5, 6, −6, 10, −10, 12, −12, 15, −15, 20, −20, 30, −30,
su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su
60, −60} su
4. {−10, −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
s u su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su
5. It is not a well-defined set. (Some may argue that no element of Z+ is large, because every
su su su su su s u su su su su su su su su su su su
element exceeds only a finite number of other elements but is exceeded by an infinite number of other
su su su su su su su su su su su su su su su su su su
elements. Such people might claim the answer should be ∅.)
su su su su su su su su su su
6. ∅ 7. The set is ∅ because 33 = 27 and 43 = 64.
s u su su su su su su su su su su su
8. It is not a well-defined set.
s u su su su su su 9. Q s u
10. The set containing all numbers that are (positive, negative, or zero) integer multiples of
s u s u s u s u s u s u s u s u s u s u s u s u s u
1, 1/2, or 1/3.
s u s u s u su
11. {(a, 1), (a, 2), (a, c), (b, 1), (b, 2), (b, c), (c, 1), (c, 2), (c, c)}
su su su su su su su su su su su su su su su su su
12. a. It is a function. It is not one-to-one since there are two pairs with second member 4. It is
s u su su su s u su su su su su su su su su su su su s u su
not onto
su su
B because there is no pair with second member 2.
su su su su su su su su su
b. (Same answer as Part(a).) s u s u s u
c. It is not a function because there are two pairs with first member 1.
su su su su su su su su su su su su su
d. It is a function. It is one-to-one.
su su su s u su su s u It is onto B because every element of B appears
su su su su su su su su su
as second member of some pair.
su su su su su su
e. It is a function. It is not one-to-one because there are two pairs with second member 6. It is
su su su su su su su su su su su su su su su su su su
not onto B because there is no pair with second member 2.
su su su su su su su su su su su su
f. It is not a function because there are two pairs with first member 2.
su su su su su su su su su su su su su
13. Draw the line through P and x, and let y be its point of intersection with the line segment
su su su su s u su su su su su su su su su su su su su
CD.su
14. a. φ : [0, 1] → [0, 2] where φ(x) = 2x
s u su su su su su su su su su su b. φ : [1, 3] → [5, 25] where φ(x) = 5 + 10(x − 1)
s u su su su su su su su su su su su su su su
d− c
c. φ : [a, b]→ [c, d] where φ(x) = c +
s u su su su su s u s u su su su su (−x a) u
s
b−a
1
15. Let φ : S → R be defined by φ(x) = tan(π(x2 −
su su su su su su su su su su su su su
su
)).
16. a. ∅; cardinality 1
s u su su b. ∅, {a}; cardinality 2
s u su su su c. ∅, {a}, {b}, {a, b}; cardinality 4
s u su su su su su su
d. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}; cardinality 8
s u su su su su su su su su su su su su su su
17. Conjecture: |P(A)| = 2s = 2|A|. su su su su
Proof The number of subsets of a set A depends only on the cardinality of A, not on what the
su su su su su su su su su su su su su su su su su su su
elements of A actually are. Suppose B = {1, 2, 3, · · · , s − 1} and A = {1, 2, 3,
su su , s}. Then
su su su s u su su su su su su su su su su su su su su su su su su s u s u su s u
A has all
su su su
the elements of B plus the one additional element s. All subsets of B are also subsets of A;
su su su su su su su su su s u su su su su su su su su
these are precisely the subsets of A that do not contain s, so the number of subsets of A not
su su su su su su su su su su su su su su su su su su su su
containing s is |P(B)|. Any other subset of A must contain s, and removal of the s would
su su su su s u su su su su su su su su su su su su su
produce a subset of
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