Samenvatting Getallen en
bewerkingen
H1 Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
Betekenis van getallen hangt af van de verschijningsvorm of functie van het getal:
Telgetal/ordinaal getal geeft rangorde in telrij aan, maar ook een nummer.
Hoeveelheidsgetal/kardinaal getal geeft bepaalde hoeveelheid aan.
Naamgetal geeft het getal een naam (buslijn 4 had ook 13 kunnen zijn)
Meetgetal geeft een maat aan (vier jaar, vier meter, vier graden)
Formeel getal is een kaal rekengetal zoals in een rekenopgave (36 x 125 = 4500)
Hele getallen bestaan uit alle natuurlijke getallen (15, 47 enz) en negatieve hele getallen.
Leren rekenen met negatieve getallen vindt vooral in de onderbouw van het voortgezet onderwijs
plaats.
Controlegetal: getallen die machinaal verwerkt moeten worden: kans op het maken van fouten
verkleinen.
Om aan het controlegetal te komen, ondergaan de cijfers van de code een ingewikkelde bewerking
die als uitkomst het controlegetal oplevert (meestal het laatste cijfer van de code)
Bijv. BSN nummer: 0 voor BSN met 8 cijfers en dan eerste cijfer x9, 2 e x8 t/m 8e x2. Optellen en
uitkomst /11, de rest die het getal oplevert moet het laatste cijfer zijn: rest x 11 = laatste cijfer.
1.2 Ons getalsysteem
Talstelsel / getalsysteem / getallenstelsel = systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven.
Ons getalsysteem; het decimale stelsel met Hindoe-Arabische cijfers is omstreeks 1202 door
Leonardo van Pisa (Fibonacci) in West-Europa geïntroduceerd.
Eigenschappen:
Arabisch getalsysteem kent een decimale structuur: tientallig. Het bestaat uit 10 cijfers, alle getallen
kunnen ermee geschreven worden door de plaats van een cijfer in een getal =
plaatswaarde/positiewaarde. Een getal bestaat uit één of meer cijfersymbolen.
Positionele notatie is kenmerkend voor een positioneel getalsysteem. Er zijn nog andere
voorbeelden, bijvoorbeeld bij de Maya’s
In ons getalsysteem neemt het cijfer 0 een belangrijke plaats in, het zorg voor de correcte positie van
andere getallen. Elk cijfer in een getal heeft een positiewaarde die correspondeert met een macht
van 10.
Andere getalsystemen
Additief getalsysteem (waarde wordt bepaald door het totaal van de symbolen):
- Het Egyptische getalsysteem
- Het Romeinse getalsysteem (met substractief principe: als een symbool met een kleinere
waarde voor een symbool met een hogere waarde staat, wordt de waarde van het 1 e
symbool afgetrokken van het 2e symbool zoals IV – alleen bij bepaalde combinaties).
, Romeinen gebruikten de Abacus een ingenieus rekenapparaatje (soort telraam), wordt in
sommige Aziatische landen nog gebruikt.
Computerwereld draait op het binaire en hexadecimale talstelsel. Ook het sexagesimale (zestigtallig)
of Babylonische getalsysteem is nog terug te vinden in onze tijd- en hoekmeting.
Deze hebben allemaal een andere basis: tweetallige bundeling, basis 16, basis 8 in het octale stelsel
en basis 60.
Tijdens de Franse revolutie (eind 18e eeuw) werd het metriek stelsel ingevoerd, kernmerk is dat elke
eenheid in stappen van 10 groter of kleiner wordt. Tijd werd ook zo ingedeeld (i.p.v. met het
zestigtallig stelsel), maar dit systeem is niet lang in gebruik geweest.
Oefenopgaven Rekenen in andere stelsels (herhaald optellen) snap ik nog niet (blz 17)
1.3 Eigenschappen van getallen
Splitsen en ontbinden zijn belangrijke vaardigheden bij het rekenen met hele getallen. Een getal is
deelbaar door een ander getal als de rest na delen 0 is.
Deelbaar door 3: een getal is deelbaar door drie als de som van de cijfers van dat getal deelbaar is
door drie.
Deelbaar door 9: een getal is deelbaar door drie als de som van de cijfers van dat getal deelbaar is
door negen.
Priemgetallen
Een priemgetal / strookgetal is een getal dat alleen zichzelf en 1 als deler heeft. Tekenen in een
strook kan alleen in een rechthoek met 1 zijde = 1.
Kleine priemgetallen kun je makkelijk vinden door Zeef van Eratosthenes te gebruiken: 1 wegstrepen
(heeft maar 1 deler), 2 en 3 zijn priemgetallen, dan alle veelvouden van 2 en 3 wegstrepen en wat
overblijft zijn priemgetallen tot 100:
(onthoud de priemgetallen t/m 19: komen vaak voor)
Getallen ontbinden in factoren is het zoeken naar getallen die met elkaar vermenigvuldigd weer het
oorspronkelijke getal opleveren. Je rekent uit door welke priemgetallen je het getal kunt delen. Bijv.
5 x 17 = 85
GGD = grootste gemene deler; grootste getal dat deler is van 2 of meer getallen. Bijv 36 en 54 = 18.
Bij het zoeken naar de GGD kun je gebruik maken van de ontbinding in priemfactoren.
De GGD vindt je door de overeenkomstige priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen.
Bijv: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 gelijke priemfactoren zijn 2x2 = 4 = GGD
, 92 = 2 x 2 x 23
KGV = kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat veelvoud is van twee of meer
getallen. Bijv KGV van 6 en 15 = 30
Volmaakt getal = een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf: onder de
100 zijn dit 6 (1+2+3) en 28 (1+2+4+7+14). Het volgende volmaakte getal is 496.
Figuraal getal = een getal dat je in een stippenpatroon kunt leggen, zoals een driehoek
(driekhoeksgetallen), vierkant (vierkantsgetallen / kwadraten), piramide of kubus. Een vierkantsgetal
is een bijzonder rechthoeksgetal, namelijk als beide zijden van de rechthoek gelijk zijn.
Driedimensionale bouwsels zijn kubus (kubusgetallen) en piramide (piramidegetallen).
Stippenpatronen: stippendriehoek lagen > 1, 3, 6, 10, 15, (+2, +3, +4, +5 enz.) = totalen = 1, 4, 10, 20,
35 enz. Wanneer je deze totalen x6 doet heb je piramide.
Piramidelagen bouw je ook als volgt op met stippen (sinaasappels): laag 1 = 1x2x3 / laag 2 = 2x3x4 /
laag 3 = 3x4x5 enz. dit geeft per laag de totalen.
Met blokjes is de regelmaat voor de piramide als volgt: 1x2x3=x3x5=x4x7=x5x9=180
enz.
Ieder driehoeksgetal is het product van twee getallen >1.
Elk vierkantsgetal is het product van een getal>1 met zichzelf
Dit betekent dat ze geen priemgetallen kunnen zijn.
Een driehoeksgetal kan wel een vierkantsgetal zijn, bijv. 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 6 × 6.
Deelbaarheid
Drie opeenvolgende getallen zijn altijd deelbaar door opeenvolgende getallen zijn altijd
deelbaar door 120.
Er zijn altijd minstens één tweevoud en één drievoud onder drie opeenvolgende getallen, dus het
product is deelbaar door zowel 2 als 3. En daarom ook door 2 × 3 = 6.
Er zijn altijd minstens twee 2-vouden en minstens één 3-voud en minstens één 5-voud, dus
deelbaarheid door 60 is al gegarandeerd; van twee opeenvolgende even getallen is altijd 1 een
viervoud. Daarmee is aangetoond dat het getal kunt delen door 2 × 4 × 3 × 5 = 120.
Toepassen GGD en KGV
Voor het vinden van de KGV van twee getallen is het handig om ze in factoren te ontbinden.
1.4 Basisbewerkingen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
Optellen: samen nemen, aanvullen, toevoegen
Aftrekken: eraf halen, weghalen, wegnemen, verminderen, wegdenken en verschil bepalen tussen
twee getallen
Vermenigvuldigen: herhaald optellen, oppervlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen maken en
op schaal vergroten.
Delen: herhaald aftrekken, opdelen en verdelen
Eigenschappen van bewerkingen
, Bij het rekenen kun je eigenschappen van bewerkingen flexibel inzetten. Bij optellen en
vermenigvuldigen kun je gebruik maken van de commutatieve of wisseleigenschap, waarbij je de
termen (bij optellen) of factoren (bij vermenigvuldigen) mag verwisselen:
8+5=5+8
8x5=5x8
De wisseleigenschap geldt niet voor aftrekken en delen.
Je kunt ook gebruik maken van de associatieve eigenschap, je kunt kiezen welke getallen je eerst
optelt of vermenigvuldigt:
16 + (4 + 5) = (16 + 4) + 5
(16 x 4) x 5 = 16 x (4 x 5)
Bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kun je ook gebruikmaken van de distributieve
eigenschap:
3 x 14 = 3 x (10+ 4) = 3 x 10 + 3 x 4
of verdeeleigenschap
31.936 : 8 = (32.000 – 64) : 8 = 32.000 : 8 – 64 : 8 = 4.000 – 8 = 3.992
Tot slot kun je de inversie relatie tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen
benutten:
56 : 8 = 7 want 7 x 8 = 56
17 – 9 = 8 want 8 + 9 = 17
Voorbeelden:
bewerkingen
H1 Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
Betekenis van getallen hangt af van de verschijningsvorm of functie van het getal:
Telgetal/ordinaal getal geeft rangorde in telrij aan, maar ook een nummer.
Hoeveelheidsgetal/kardinaal getal geeft bepaalde hoeveelheid aan.
Naamgetal geeft het getal een naam (buslijn 4 had ook 13 kunnen zijn)
Meetgetal geeft een maat aan (vier jaar, vier meter, vier graden)
Formeel getal is een kaal rekengetal zoals in een rekenopgave (36 x 125 = 4500)
Hele getallen bestaan uit alle natuurlijke getallen (15, 47 enz) en negatieve hele getallen.
Leren rekenen met negatieve getallen vindt vooral in de onderbouw van het voortgezet onderwijs
plaats.
Controlegetal: getallen die machinaal verwerkt moeten worden: kans op het maken van fouten
verkleinen.
Om aan het controlegetal te komen, ondergaan de cijfers van de code een ingewikkelde bewerking
die als uitkomst het controlegetal oplevert (meestal het laatste cijfer van de code)
Bijv. BSN nummer: 0 voor BSN met 8 cijfers en dan eerste cijfer x9, 2 e x8 t/m 8e x2. Optellen en
uitkomst /11, de rest die het getal oplevert moet het laatste cijfer zijn: rest x 11 = laatste cijfer.
1.2 Ons getalsysteem
Talstelsel / getalsysteem / getallenstelsel = systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven.
Ons getalsysteem; het decimale stelsel met Hindoe-Arabische cijfers is omstreeks 1202 door
Leonardo van Pisa (Fibonacci) in West-Europa geïntroduceerd.
Eigenschappen:
Arabisch getalsysteem kent een decimale structuur: tientallig. Het bestaat uit 10 cijfers, alle getallen
kunnen ermee geschreven worden door de plaats van een cijfer in een getal =
plaatswaarde/positiewaarde. Een getal bestaat uit één of meer cijfersymbolen.
Positionele notatie is kenmerkend voor een positioneel getalsysteem. Er zijn nog andere
voorbeelden, bijvoorbeeld bij de Maya’s
In ons getalsysteem neemt het cijfer 0 een belangrijke plaats in, het zorg voor de correcte positie van
andere getallen. Elk cijfer in een getal heeft een positiewaarde die correspondeert met een macht
van 10.
Andere getalsystemen
Additief getalsysteem (waarde wordt bepaald door het totaal van de symbolen):
- Het Egyptische getalsysteem
- Het Romeinse getalsysteem (met substractief principe: als een symbool met een kleinere
waarde voor een symbool met een hogere waarde staat, wordt de waarde van het 1 e
symbool afgetrokken van het 2e symbool zoals IV – alleen bij bepaalde combinaties).
, Romeinen gebruikten de Abacus een ingenieus rekenapparaatje (soort telraam), wordt in
sommige Aziatische landen nog gebruikt.
Computerwereld draait op het binaire en hexadecimale talstelsel. Ook het sexagesimale (zestigtallig)
of Babylonische getalsysteem is nog terug te vinden in onze tijd- en hoekmeting.
Deze hebben allemaal een andere basis: tweetallige bundeling, basis 16, basis 8 in het octale stelsel
en basis 60.
Tijdens de Franse revolutie (eind 18e eeuw) werd het metriek stelsel ingevoerd, kernmerk is dat elke
eenheid in stappen van 10 groter of kleiner wordt. Tijd werd ook zo ingedeeld (i.p.v. met het
zestigtallig stelsel), maar dit systeem is niet lang in gebruik geweest.
Oefenopgaven Rekenen in andere stelsels (herhaald optellen) snap ik nog niet (blz 17)
1.3 Eigenschappen van getallen
Splitsen en ontbinden zijn belangrijke vaardigheden bij het rekenen met hele getallen. Een getal is
deelbaar door een ander getal als de rest na delen 0 is.
Deelbaar door 3: een getal is deelbaar door drie als de som van de cijfers van dat getal deelbaar is
door drie.
Deelbaar door 9: een getal is deelbaar door drie als de som van de cijfers van dat getal deelbaar is
door negen.
Priemgetallen
Een priemgetal / strookgetal is een getal dat alleen zichzelf en 1 als deler heeft. Tekenen in een
strook kan alleen in een rechthoek met 1 zijde = 1.
Kleine priemgetallen kun je makkelijk vinden door Zeef van Eratosthenes te gebruiken: 1 wegstrepen
(heeft maar 1 deler), 2 en 3 zijn priemgetallen, dan alle veelvouden van 2 en 3 wegstrepen en wat
overblijft zijn priemgetallen tot 100:
(onthoud de priemgetallen t/m 19: komen vaak voor)
Getallen ontbinden in factoren is het zoeken naar getallen die met elkaar vermenigvuldigd weer het
oorspronkelijke getal opleveren. Je rekent uit door welke priemgetallen je het getal kunt delen. Bijv.
5 x 17 = 85
GGD = grootste gemene deler; grootste getal dat deler is van 2 of meer getallen. Bijv 36 en 54 = 18.
Bij het zoeken naar de GGD kun je gebruik maken van de ontbinding in priemfactoren.
De GGD vindt je door de overeenkomstige priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen.
Bijv: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 gelijke priemfactoren zijn 2x2 = 4 = GGD
, 92 = 2 x 2 x 23
KGV = kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat veelvoud is van twee of meer
getallen. Bijv KGV van 6 en 15 = 30
Volmaakt getal = een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf: onder de
100 zijn dit 6 (1+2+3) en 28 (1+2+4+7+14). Het volgende volmaakte getal is 496.
Figuraal getal = een getal dat je in een stippenpatroon kunt leggen, zoals een driehoek
(driekhoeksgetallen), vierkant (vierkantsgetallen / kwadraten), piramide of kubus. Een vierkantsgetal
is een bijzonder rechthoeksgetal, namelijk als beide zijden van de rechthoek gelijk zijn.
Driedimensionale bouwsels zijn kubus (kubusgetallen) en piramide (piramidegetallen).
Stippenpatronen: stippendriehoek lagen > 1, 3, 6, 10, 15, (+2, +3, +4, +5 enz.) = totalen = 1, 4, 10, 20,
35 enz. Wanneer je deze totalen x6 doet heb je piramide.
Piramidelagen bouw je ook als volgt op met stippen (sinaasappels): laag 1 = 1x2x3 / laag 2 = 2x3x4 /
laag 3 = 3x4x5 enz. dit geeft per laag de totalen.
Met blokjes is de regelmaat voor de piramide als volgt: 1x2x3=x3x5=x4x7=x5x9=180
enz.
Ieder driehoeksgetal is het product van twee getallen >1.
Elk vierkantsgetal is het product van een getal>1 met zichzelf
Dit betekent dat ze geen priemgetallen kunnen zijn.
Een driehoeksgetal kan wel een vierkantsgetal zijn, bijv. 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 6 × 6.
Deelbaarheid
Drie opeenvolgende getallen zijn altijd deelbaar door opeenvolgende getallen zijn altijd
deelbaar door 120.
Er zijn altijd minstens één tweevoud en één drievoud onder drie opeenvolgende getallen, dus het
product is deelbaar door zowel 2 als 3. En daarom ook door 2 × 3 = 6.
Er zijn altijd minstens twee 2-vouden en minstens één 3-voud en minstens één 5-voud, dus
deelbaarheid door 60 is al gegarandeerd; van twee opeenvolgende even getallen is altijd 1 een
viervoud. Daarmee is aangetoond dat het getal kunt delen door 2 × 4 × 3 × 5 = 120.
Toepassen GGD en KGV
Voor het vinden van de KGV van twee getallen is het handig om ze in factoren te ontbinden.
1.4 Basisbewerkingen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
Optellen: samen nemen, aanvullen, toevoegen
Aftrekken: eraf halen, weghalen, wegnemen, verminderen, wegdenken en verschil bepalen tussen
twee getallen
Vermenigvuldigen: herhaald optellen, oppervlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen maken en
op schaal vergroten.
Delen: herhaald aftrekken, opdelen en verdelen
Eigenschappen van bewerkingen
, Bij het rekenen kun je eigenschappen van bewerkingen flexibel inzetten. Bij optellen en
vermenigvuldigen kun je gebruik maken van de commutatieve of wisseleigenschap, waarbij je de
termen (bij optellen) of factoren (bij vermenigvuldigen) mag verwisselen:
8+5=5+8
8x5=5x8
De wisseleigenschap geldt niet voor aftrekken en delen.
Je kunt ook gebruik maken van de associatieve eigenschap, je kunt kiezen welke getallen je eerst
optelt of vermenigvuldigt:
16 + (4 + 5) = (16 + 4) + 5
(16 x 4) x 5 = 16 x (4 x 5)
Bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kun je ook gebruikmaken van de distributieve
eigenschap:
3 x 14 = 3 x (10+ 4) = 3 x 10 + 3 x 4
of verdeeleigenschap
31.936 : 8 = (32.000 – 64) : 8 = 32.000 : 8 – 64 : 8 = 4.000 – 8 = 3.992
Tot slot kun je de inversie relatie tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen
benutten:
56 : 8 = 7 want 7 x 8 = 56
17 – 9 = 8 want 8 + 9 = 17
Voorbeelden:
