Hoofdstuk 30: Inductie, Elektromagnetische Trillingen en
Wisselstroomschakelingen
Een veranderende stroom in een draadspoel induceert een emk in
een dichtbij geplaatste tweede spoel.
Wederzijdse inductie 𝑴 = De evenredigheidsconstante tussen de
geïnduceerde emk in de tweede spoel en de verandering v/d stroom
per tijdseenheid in de eerste.
𝑑𝐼1
→ ℰ = −𝑀 .
𝑑𝑡
𝑁2 Φ21
We kunnen 𝑀 ook schrijven als 𝑀 = waarin Φ21 de magnetische flux door
𝐼1
spoel 2 is met 𝑁2 windingen, opgewekt door de stroom 𝐼1 in spoel 1.
𝑉∙𝑠
Eenheid = 1 henry = 1𝐻 = 1 = 1Ω ∙ 𝑠.
𝐴
Voorbeeld 30.1:
Een lange, dunne solenoïde met lengte 𝑙 en dwarsdoorsnede
met oppervlakte 𝐴 bevat 𝑁1 dicht op elkaar gewikkelde
draadwindingen. Eromheen gewikkeld is een geïsoleerde
spoel met 𝑁2 windingen. Neem aan dat alle flux uit spoel 1
(de solenoïde) door spoel 2 gaat en bereken de wederzijdse inductie.
→ De solenoïde is dicht gewikkeld, dus nemen we aan dat alle flux in de
solenoïde binnen de secundaire spoel blijft. Dus is de flux Φ21 door spoel 2 gelijk
𝑁1 𝑁2 Φ21
aan Φ21 = 𝐵𝐴 = 𝜇0 𝐼1 𝐴. De wederzijdse inductie is de gelijk aan 𝑀 = =
𝑙 𝐼1
𝜇0 𝑁1 𝑁2 𝐴
.
𝑙
Een veranderende stroom induceert een tegenwerkende emk binnen 1 spoel.
𝑑𝐼
Zelfinductie 𝑳 = Gedefinieerd door 𝜀 = −𝐿 𝑑𝑡.
Deze geïnduceerde emk werkt als een impedantie op het lopen v/e wisselstroom.
Φ𝐵
We kunnen 𝐿 ook schrijven als 𝐿 = 𝑁 waarin Φ𝐵 de flux is door de spoel
𝐼
wanneer er een stroom door de 𝑁 windingen loopt.
Voorbeeld 30.3:
(a) Bepaal een formule voor de zelfinductie 𝐿 v/e dicht gewikkelde en lange
solenoïde met 𝑁 draadwindingen en lengte 𝑙 en een dwarsdoorsnede gelijk aan 𝐴.
(b) Bereken de waarde van 𝐿 als 𝑁 = 100, 𝑙 = 5,0 𝑐𝑚, 𝐴 = 0,30 𝑐𝑚2 en de solenoïde
gevuld is met lucht.
→ (a) Op grond v/d vergelijking voor magnetisch veld binnen een solenoïde
𝑁
(𝐵 = 𝜇0 𝑛𝐼 = 𝜇0 𝑙 𝐼) is het magnetisch veld binnen een solenoïde constant. De flux
𝜇0 𝑁𝐼𝐴 Φ𝐵 𝜇0 𝑁 2 𝐴
is Φ𝐵 = 𝐵𝐴 = , dus hebben we dat 𝐿 = 𝑁 = .
𝑙 𝐼 𝑙
𝑇∙𝑚
(4𝜋∙10−7 )(100)2 (3,0∙10−5 𝑚2 )
→ (b) 𝐿 = 𝐴
(5,0∙10−2 𝑚)
= 7,5𝜇𝐻.
1
, Voorbeeld 30.5:
Bepaal de inductie per lengte-eenheid v/e coaxkabel waarvan
de binnenste geleider straal 𝑟1 heeft en de buitenste geleider
straal 𝑟2 . Neem aan dat de geleiders dunne, holle buizen zijn,
zodat er binnen de binnenste geleider geen magnetisch veld
heerst en het magnetisch veld binnen beide dunne geleiders
kan worden verwaarloosd. In de geleiders lopen gelijke
stromen 𝐼 in tegengestelde richtingen.
→ We moeten de magnetische flux Φ𝐵 = ∫ 𝐵 ⃗ ∙ 𝑑𝐴 tussen de geleiders bepalen. Op
grond v/d wet van Ampère, ∮ 𝐵 ⃗ ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼, is de grootte v/h veld langs de cirkel op
een afstand 𝑟 v/h middelpunt, wanneer er door de binnenste geleider een stroom 𝐼
𝜇0 𝐼
loopt (voorbeeld 28.6), gelijk aan 𝐵 = 2𝜋𝑟 . De magnetische
flux door een rechthoek met breedte 𝑑𝑟 en lengte 𝑙 (langs de
kabel), op een afstand 𝑟 v/h middelpunt, is gelijk aan 𝑑Φ𝐵 =
𝜇0 𝐼
𝐵(𝑙 𝑑𝑟) = 2𝜋𝑟 𝑙 𝑑𝑟. De totale flux in een kabel met lengte 𝑙 is
𝜇0 𝐼𝑙 𝑟2 𝑑𝑟 𝜇0 𝐼𝑙 𝑟
dus Φ𝐵 = ∫ 𝑑Φ𝐵 = ∫𝑟 = ln 𝑟2 . Omdat de stroom 𝐼 in
2𝜋 1 𝑟 2𝜋 1
de binnenste geleider 1 kant op loopt en dezelfde stroom 𝐼 de
andere kant op, hebben we slechts 1 winding dus is 𝑁 = 1 in de vergelijking voor
Φ𝐵 𝜇0 𝑙 𝑟
zelfinductie. Dus is de zelfinductie voor een lengte 𝑙 gelijk aan 𝐿 = = ln 𝑟2.
𝐼 2𝜋 1
𝐿 𝜇0 𝑟2
De inductie per lengte-eenheid is 𝑙 = 2𝜋 ln 𝑟 .
1
Conceptvoorbeeld 30.4:
De stroom loopt door de spoel in de figuur van links naar recht
zoals weergeven. (a) Als de stroom toeneemt met de tijd, welke
richting heeft dan de geïnduceerde emk? (b) Als de stroom
afneemt met de tijd, wat is dan de richting v/d geïnduceerde emk?
→ (a) Uit de wet van Lenz weten we dat de geïnduceerde emk de verandering v/d
magnetische flux moet tegenwerken. Als de stroom toeneemt, geldt dat ook voor
de magnetische flux. De geïnduceerde emk gaat de toename v/d flux tegen door te
fungeren als een emk-bron die de externe emk-bron die de stroom 𝐼 in de spoel
aanstuurt, tegenwerkt. M.a.w. de spoel zou kunnen worden gezien als een
batterij met een positieve uitgang in punt A (geneigd om de bij A ingaande
stroom te blokkeren) en een negatieve uitgang in punt B.
→ (b) Als de stroom afneemt, dan wil de geïnduceerde emk op grond v/d wet van
Lenz de afname v/d flux tegenwerken, als een bron van emk die de externe emk
versterkt. De geïnduceerde emk werkt om 𝐼 te verhogen, dus in deze situatie kun
je de geïnduceerde emk zien als een batterij met het negatieve eindpunt in punt
A om meer (+) stroom naar rechts te bewegen.
2
Wisselstroomschakelingen
Een veranderende stroom in een draadspoel induceert een emk in
een dichtbij geplaatste tweede spoel.
Wederzijdse inductie 𝑴 = De evenredigheidsconstante tussen de
geïnduceerde emk in de tweede spoel en de verandering v/d stroom
per tijdseenheid in de eerste.
𝑑𝐼1
→ ℰ = −𝑀 .
𝑑𝑡
𝑁2 Φ21
We kunnen 𝑀 ook schrijven als 𝑀 = waarin Φ21 de magnetische flux door
𝐼1
spoel 2 is met 𝑁2 windingen, opgewekt door de stroom 𝐼1 in spoel 1.
𝑉∙𝑠
Eenheid = 1 henry = 1𝐻 = 1 = 1Ω ∙ 𝑠.
𝐴
Voorbeeld 30.1:
Een lange, dunne solenoïde met lengte 𝑙 en dwarsdoorsnede
met oppervlakte 𝐴 bevat 𝑁1 dicht op elkaar gewikkelde
draadwindingen. Eromheen gewikkeld is een geïsoleerde
spoel met 𝑁2 windingen. Neem aan dat alle flux uit spoel 1
(de solenoïde) door spoel 2 gaat en bereken de wederzijdse inductie.
→ De solenoïde is dicht gewikkeld, dus nemen we aan dat alle flux in de
solenoïde binnen de secundaire spoel blijft. Dus is de flux Φ21 door spoel 2 gelijk
𝑁1 𝑁2 Φ21
aan Φ21 = 𝐵𝐴 = 𝜇0 𝐼1 𝐴. De wederzijdse inductie is de gelijk aan 𝑀 = =
𝑙 𝐼1
𝜇0 𝑁1 𝑁2 𝐴
.
𝑙
Een veranderende stroom induceert een tegenwerkende emk binnen 1 spoel.
𝑑𝐼
Zelfinductie 𝑳 = Gedefinieerd door 𝜀 = −𝐿 𝑑𝑡.
Deze geïnduceerde emk werkt als een impedantie op het lopen v/e wisselstroom.
Φ𝐵
We kunnen 𝐿 ook schrijven als 𝐿 = 𝑁 waarin Φ𝐵 de flux is door de spoel
𝐼
wanneer er een stroom door de 𝑁 windingen loopt.
Voorbeeld 30.3:
(a) Bepaal een formule voor de zelfinductie 𝐿 v/e dicht gewikkelde en lange
solenoïde met 𝑁 draadwindingen en lengte 𝑙 en een dwarsdoorsnede gelijk aan 𝐴.
(b) Bereken de waarde van 𝐿 als 𝑁 = 100, 𝑙 = 5,0 𝑐𝑚, 𝐴 = 0,30 𝑐𝑚2 en de solenoïde
gevuld is met lucht.
→ (a) Op grond v/d vergelijking voor magnetisch veld binnen een solenoïde
𝑁
(𝐵 = 𝜇0 𝑛𝐼 = 𝜇0 𝑙 𝐼) is het magnetisch veld binnen een solenoïde constant. De flux
𝜇0 𝑁𝐼𝐴 Φ𝐵 𝜇0 𝑁 2 𝐴
is Φ𝐵 = 𝐵𝐴 = , dus hebben we dat 𝐿 = 𝑁 = .
𝑙 𝐼 𝑙
𝑇∙𝑚
(4𝜋∙10−7 )(100)2 (3,0∙10−5 𝑚2 )
→ (b) 𝐿 = 𝐴
(5,0∙10−2 𝑚)
= 7,5𝜇𝐻.
1
, Voorbeeld 30.5:
Bepaal de inductie per lengte-eenheid v/e coaxkabel waarvan
de binnenste geleider straal 𝑟1 heeft en de buitenste geleider
straal 𝑟2 . Neem aan dat de geleiders dunne, holle buizen zijn,
zodat er binnen de binnenste geleider geen magnetisch veld
heerst en het magnetisch veld binnen beide dunne geleiders
kan worden verwaarloosd. In de geleiders lopen gelijke
stromen 𝐼 in tegengestelde richtingen.
→ We moeten de magnetische flux Φ𝐵 = ∫ 𝐵 ⃗ ∙ 𝑑𝐴 tussen de geleiders bepalen. Op
grond v/d wet van Ampère, ∮ 𝐵 ⃗ ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼, is de grootte v/h veld langs de cirkel op
een afstand 𝑟 v/h middelpunt, wanneer er door de binnenste geleider een stroom 𝐼
𝜇0 𝐼
loopt (voorbeeld 28.6), gelijk aan 𝐵 = 2𝜋𝑟 . De magnetische
flux door een rechthoek met breedte 𝑑𝑟 en lengte 𝑙 (langs de
kabel), op een afstand 𝑟 v/h middelpunt, is gelijk aan 𝑑Φ𝐵 =
𝜇0 𝐼
𝐵(𝑙 𝑑𝑟) = 2𝜋𝑟 𝑙 𝑑𝑟. De totale flux in een kabel met lengte 𝑙 is
𝜇0 𝐼𝑙 𝑟2 𝑑𝑟 𝜇0 𝐼𝑙 𝑟
dus Φ𝐵 = ∫ 𝑑Φ𝐵 = ∫𝑟 = ln 𝑟2 . Omdat de stroom 𝐼 in
2𝜋 1 𝑟 2𝜋 1
de binnenste geleider 1 kant op loopt en dezelfde stroom 𝐼 de
andere kant op, hebben we slechts 1 winding dus is 𝑁 = 1 in de vergelijking voor
Φ𝐵 𝜇0 𝑙 𝑟
zelfinductie. Dus is de zelfinductie voor een lengte 𝑙 gelijk aan 𝐿 = = ln 𝑟2.
𝐼 2𝜋 1
𝐿 𝜇0 𝑟2
De inductie per lengte-eenheid is 𝑙 = 2𝜋 ln 𝑟 .
1
Conceptvoorbeeld 30.4:
De stroom loopt door de spoel in de figuur van links naar recht
zoals weergeven. (a) Als de stroom toeneemt met de tijd, welke
richting heeft dan de geïnduceerde emk? (b) Als de stroom
afneemt met de tijd, wat is dan de richting v/d geïnduceerde emk?
→ (a) Uit de wet van Lenz weten we dat de geïnduceerde emk de verandering v/d
magnetische flux moet tegenwerken. Als de stroom toeneemt, geldt dat ook voor
de magnetische flux. De geïnduceerde emk gaat de toename v/d flux tegen door te
fungeren als een emk-bron die de externe emk-bron die de stroom 𝐼 in de spoel
aanstuurt, tegenwerkt. M.a.w. de spoel zou kunnen worden gezien als een
batterij met een positieve uitgang in punt A (geneigd om de bij A ingaande
stroom te blokkeren) en een negatieve uitgang in punt B.
→ (b) Als de stroom afneemt, dan wil de geïnduceerde emk op grond v/d wet van
Lenz de afname v/d flux tegenwerken, als een bron van emk die de externe emk
versterkt. De geïnduceerde emk werkt om 𝐼 te verhogen, dus in deze situatie kun
je de geïnduceerde emk zien als een batterij met het negatieve eindpunt in punt
A om meer (+) stroom naar rechts te bewegen.
2
