KTV- Samenvatting
Rekenen-wiskunde
Hoofdlijnenmodel
Begripsvorming: Ervaren en begrijpen. Handelen, hardop denken en doen.
Ontwikkelen van procedures: Herkennen van passende bewerkingen en procedures,
gebruik maken van modellen, combineren van bewerkingen.
Vlot leren rekenen: Strategieën inoefenen en verkorten, automatiseren van bewerkingen en
procedures.
Flexibel toepassen: Selecteren en combineren van eerder opgedane inzichten, kennis en
vaardigheden. Opgedane vaardigheden kunnen toepassen in een nieuwe context.
Johan verdient vijf euro per uur. Hij werkt zeven uur. Hoeveel euro krijgt Johan?
1
, KTV- Samenvatting
Handelingsmodel
Formeel handelen: Formele bewerkingen uitvoeren
Voorstellen, abstract: Representeren van de werkelijkheid aan de hand van denkmodellen
Voorstellen, concreet: Representeren van objecten en werkelijkheidssituaties in concrete
afbeeldingen
Doen: Informeel handelen in werkelijkheidssituaties
Mentaal handelen Verwoorden/communiceren
Voorbeeld:
Informeel handelen (doen)
Het doel van de les is het delen met rest met getallen boven de honderd. Als voorbeeld
nemen we de som 128 : 12. De leerkracht heeft uit het magazijn een flink aantal
potlodendoosjes meegenomen. De potloden zijn uit de doosjes gehaald en liggen in een lage
bak. Op het bureau liggen een onbekend aantal lege doosjes. De leerkracht vertelt dat er
128 potloden in de bak zitten en dat er 12 potloden in een doosje passen. De vraag is
hoeveel doosjes er gevuld worden. Een leerling wordt naar voren gehaald die de potloden in
de doosjes gaat doen.
Voorstellen – concreet (afbeelden)
Dat duurt best even, dus de leerkracht stelt ondertussen de vraag of het kan helpen om iets
te tekenen. Op het bord komt een afbeelding van de concrete situatie: een aantal doosjes en
daarnaast een hoop losse potloden. Bij de pot- loden wordt het getal 128 gezet. In een of
meer doosjes worden 12 potloden ingetekend. Ook hier wordt het aantal erbij gezet. Bij alles
wat de leerkracht tekent of laat tekenen wordt duidelijk in woorden uitgedrukt wat het
betekent. Voortdurend wordt de koppeling gelegd naar het vorige handelingsniveau.
Voorstellen – abstract (denkmodel)
De stap van de afbeelding naar een abstracte voorstelling is snel gemaakt. Een groot vak met
daarin het getal 128 en een aantal kleine vakken met daarin het getal 12. De link naar de
werkelijkheidssituatie blijft nog steeds beschikbaar
en de vraag is helder: Hoeveel van die kleine vakjes (doosjes) worden gevuld met 12
potloden? Ook nu weer zorgt
de leerkracht door verbale ondersteuning voor de verbinding tussen het abstracte
voorstellingsniveau en de concrete handeling. Inmiddels heeft de leerling die de doosjes
2
, KTV- Samenvatting
potloden aan het inpakken is het antwoord gevonden: Er zijn 10 doosjes en 8 losse potloden;
of 11 doosjes, maar in het 11e doosje ontbreken 4 potloden.
Formeel handelen (formele bewerking)
Op het formele niveau wordt aandacht geschonken aan de notatie. Hoe schrijven we dit op?:
128 : 12 = 10 rest 8. Het is uiteraard ondoenlijk om ook alle volgende sommen op deze
concrete manier uit te werken. Zeker als bijvoorbeeld 168:14 gevraagd wordt. Maar de
conceptuele rekenhandeling is zichtbaar en beschikbaar in de potloden en de doos- jes. En
bij elke volgende som kan de leerkracht de brug slaan tussen de verschillende
handelingsniveaus ook al wordt het niet uitgevoerd. ‘Stel dat we 168 potloden hebben en
dat er 14 in een doosje passen...’ En opnieuw via concreet tekenen en een abstract model
naar de formele bewerking.
3
, KTV- Samenvatting
Drieslagmodel
Het ultieme doel van reken-wiskunde onderwijs is functionele gecijferdheid: Leerlingen
kunnen buiten school en later als volwassenen hun rekenvaardigheid optimaal gebruiken in
dagelijkse situaties. Het rekenen in het dagelijks leven is altijd ingebed in een authentieke
functionele situatie. Zo’n situatie noemen we de context.
Iedereen die met een context geconfronteerd wordt doorloopt altijd drie vaste stappen:
* Plannen; het in kaart brengen van de situatie.
* Uitvoeren; iets doen, uitrekenen bijvoorbeeld.
* Reflecteren; nagaan of het resultaat van onze actie klopt en past bij de situatie.
We noemen dit het probleemoplossend handelen. Het eigenlijke rekenen is daar slechts een
onderdeel van, maar wel essentieel voor het resultaat. Het proces van het
probleemoplossend handelen is i gevisualiseerd in het drieslagmodel .
Voorbeeld:
Een kaars kost € 2. Je koopt 3 kaarsen. Hoeveel moet je betalen? De meeste kinderen
hebben gelukkig € 6,- als ant- woord. Vier leerlingen hebben het fout. Hun antwoorden zijn
achtereenvolgens 5, 1, 8 en 9 euro.
De leerling met antwoord € 5,- heeft gedaan 3 + 2 = 5. De leerling met antwoord €1,- heeft
gedaan 3 – 2 = 1. Deze kinderen hebben een som (bewerking) opgeschreven en uitgevoerd.
De oplossing van hun som klopte ook nog, maar het probleem speelt zich af op de beide
schuine zijden van het model: plannen en reflecteren. Het lukt deze leerlingen niet om de
context te vertalen naar een juiste bewerking. Ook is het lastig voor hen om na te gaan of
het antwoord klopt. Wat betekenen die 5 en die 1? De kinderen hebben niet het besef dat zij
kaarsen en euro’s bij elkaar hebben opgeteld.
De andere leerlingen hebben de som als volgt uitgerekend: 2 + 2 + 2 = 8 en 3 x 2 = 9. Zij
hebben wel een juiste bewerking gekozen, maar in de uitvoering een fout gemaakt. De
leerling die de euro’s drie keer heeft opgeteld heeft nog onvoldoende begrip van het
concept vermenigvuldigen. Wanneer zij hun antwoord gereflecteerd hadden op de context
hadden zij waarschijnlijk geconcludeerd dat het een redelijk groot bedrag is voor drie
kaarsen van €2 - . Alleen voor de leerling met het antwoord 9 is het zinvol om de tafels
verder te oefen. De andere kinderen moeten ondersteuning krijgen op het gebied van
plannen en reflecteren; het betekenis verlenen aan de context.
4
Rekenen-wiskunde
Hoofdlijnenmodel
Begripsvorming: Ervaren en begrijpen. Handelen, hardop denken en doen.
Ontwikkelen van procedures: Herkennen van passende bewerkingen en procedures,
gebruik maken van modellen, combineren van bewerkingen.
Vlot leren rekenen: Strategieën inoefenen en verkorten, automatiseren van bewerkingen en
procedures.
Flexibel toepassen: Selecteren en combineren van eerder opgedane inzichten, kennis en
vaardigheden. Opgedane vaardigheden kunnen toepassen in een nieuwe context.
Johan verdient vijf euro per uur. Hij werkt zeven uur. Hoeveel euro krijgt Johan?
1
, KTV- Samenvatting
Handelingsmodel
Formeel handelen: Formele bewerkingen uitvoeren
Voorstellen, abstract: Representeren van de werkelijkheid aan de hand van denkmodellen
Voorstellen, concreet: Representeren van objecten en werkelijkheidssituaties in concrete
afbeeldingen
Doen: Informeel handelen in werkelijkheidssituaties
Mentaal handelen Verwoorden/communiceren
Voorbeeld:
Informeel handelen (doen)
Het doel van de les is het delen met rest met getallen boven de honderd. Als voorbeeld
nemen we de som 128 : 12. De leerkracht heeft uit het magazijn een flink aantal
potlodendoosjes meegenomen. De potloden zijn uit de doosjes gehaald en liggen in een lage
bak. Op het bureau liggen een onbekend aantal lege doosjes. De leerkracht vertelt dat er
128 potloden in de bak zitten en dat er 12 potloden in een doosje passen. De vraag is
hoeveel doosjes er gevuld worden. Een leerling wordt naar voren gehaald die de potloden in
de doosjes gaat doen.
Voorstellen – concreet (afbeelden)
Dat duurt best even, dus de leerkracht stelt ondertussen de vraag of het kan helpen om iets
te tekenen. Op het bord komt een afbeelding van de concrete situatie: een aantal doosjes en
daarnaast een hoop losse potloden. Bij de pot- loden wordt het getal 128 gezet. In een of
meer doosjes worden 12 potloden ingetekend. Ook hier wordt het aantal erbij gezet. Bij alles
wat de leerkracht tekent of laat tekenen wordt duidelijk in woorden uitgedrukt wat het
betekent. Voortdurend wordt de koppeling gelegd naar het vorige handelingsniveau.
Voorstellen – abstract (denkmodel)
De stap van de afbeelding naar een abstracte voorstelling is snel gemaakt. Een groot vak met
daarin het getal 128 en een aantal kleine vakken met daarin het getal 12. De link naar de
werkelijkheidssituatie blijft nog steeds beschikbaar
en de vraag is helder: Hoeveel van die kleine vakjes (doosjes) worden gevuld met 12
potloden? Ook nu weer zorgt
de leerkracht door verbale ondersteuning voor de verbinding tussen het abstracte
voorstellingsniveau en de concrete handeling. Inmiddels heeft de leerling die de doosjes
2
, KTV- Samenvatting
potloden aan het inpakken is het antwoord gevonden: Er zijn 10 doosjes en 8 losse potloden;
of 11 doosjes, maar in het 11e doosje ontbreken 4 potloden.
Formeel handelen (formele bewerking)
Op het formele niveau wordt aandacht geschonken aan de notatie. Hoe schrijven we dit op?:
128 : 12 = 10 rest 8. Het is uiteraard ondoenlijk om ook alle volgende sommen op deze
concrete manier uit te werken. Zeker als bijvoorbeeld 168:14 gevraagd wordt. Maar de
conceptuele rekenhandeling is zichtbaar en beschikbaar in de potloden en de doos- jes. En
bij elke volgende som kan de leerkracht de brug slaan tussen de verschillende
handelingsniveaus ook al wordt het niet uitgevoerd. ‘Stel dat we 168 potloden hebben en
dat er 14 in een doosje passen...’ En opnieuw via concreet tekenen en een abstract model
naar de formele bewerking.
3
, KTV- Samenvatting
Drieslagmodel
Het ultieme doel van reken-wiskunde onderwijs is functionele gecijferdheid: Leerlingen
kunnen buiten school en later als volwassenen hun rekenvaardigheid optimaal gebruiken in
dagelijkse situaties. Het rekenen in het dagelijks leven is altijd ingebed in een authentieke
functionele situatie. Zo’n situatie noemen we de context.
Iedereen die met een context geconfronteerd wordt doorloopt altijd drie vaste stappen:
* Plannen; het in kaart brengen van de situatie.
* Uitvoeren; iets doen, uitrekenen bijvoorbeeld.
* Reflecteren; nagaan of het resultaat van onze actie klopt en past bij de situatie.
We noemen dit het probleemoplossend handelen. Het eigenlijke rekenen is daar slechts een
onderdeel van, maar wel essentieel voor het resultaat. Het proces van het
probleemoplossend handelen is i gevisualiseerd in het drieslagmodel .
Voorbeeld:
Een kaars kost € 2. Je koopt 3 kaarsen. Hoeveel moet je betalen? De meeste kinderen
hebben gelukkig € 6,- als ant- woord. Vier leerlingen hebben het fout. Hun antwoorden zijn
achtereenvolgens 5, 1, 8 en 9 euro.
De leerling met antwoord € 5,- heeft gedaan 3 + 2 = 5. De leerling met antwoord €1,- heeft
gedaan 3 – 2 = 1. Deze kinderen hebben een som (bewerking) opgeschreven en uitgevoerd.
De oplossing van hun som klopte ook nog, maar het probleem speelt zich af op de beide
schuine zijden van het model: plannen en reflecteren. Het lukt deze leerlingen niet om de
context te vertalen naar een juiste bewerking. Ook is het lastig voor hen om na te gaan of
het antwoord klopt. Wat betekenen die 5 en die 1? De kinderen hebben niet het besef dat zij
kaarsen en euro’s bij elkaar hebben opgeteld.
De andere leerlingen hebben de som als volgt uitgerekend: 2 + 2 + 2 = 8 en 3 x 2 = 9. Zij
hebben wel een juiste bewerking gekozen, maar in de uitvoering een fout gemaakt. De
leerling die de euro’s drie keer heeft opgeteld heeft nog onvoldoende begrip van het
concept vermenigvuldigen. Wanneer zij hun antwoord gereflecteerd hadden op de context
hadden zij waarschijnlijk geconcludeerd dat het een redelijk groot bedrag is voor drie
kaarsen van €2 - . Alleen voor de leerling met het antwoord 9 is het zinvol om de tafels
verder te oefen. De andere kinderen moeten ondersteuning krijgen op het gebied van
plannen en reflecteren; het betekenis verlenen aan de context.
4
