MAT2611 Assignment SEVEN 2023

MAT2611 ASSIGNMENT 7 2023

Problem 23

Let 〈 , 〉 be an inner product space.

Let 𝒖, 𝒗 be vectors in the inner product space.

‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = 〈𝒖 + 𝒗, 𝒖 + 𝒗〉 + 〈𝒖 − 𝒗, 𝒖 − 𝒗〉

Consider the following definition of an inner product space:




So, inner product spaces satisfy four properties.


‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = 〈𝒖 + 𝒗, 𝒖 + 𝒗〉 + 〈𝒖 − 𝒗, 𝒖 − 𝒗〉

‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = 〈𝒖 + 𝒗, 𝒖 + 𝒗〉 + 〈𝒖 + (−𝒗), 𝒖 + (−𝒗)〉

To apply property (a):

‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = 〈𝒖, 𝒖 + 𝒗〉 + 〈𝒗, 𝒖 + 𝒗〉 + 〈𝒖, 𝒖 + (−𝒗)〉 + 〈−𝒗, 𝒖 + (−𝒗)〉

To apply property (c):

‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖 + 𝒗, 𝒖〉 + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖 + 𝒗, 𝒗〉 + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖 + (−𝒗), 𝒖〉 + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖 + (−𝒗), −𝒗〉

To apply property (a):

‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖, 𝒖〉 + ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒗, 𝒖〉 + ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖, 𝒗〉 + ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒗, 𝒗〉 + ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖, 𝒖〉 + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈−𝒗, 𝒖〉 + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖, −𝒗〉 + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈−𝒗, −𝒗〉

To apply property (b) on the sixth and eighth terms on the RHS:

‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖, 𝒖〉 + ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒗, 𝒖〉 + ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖, 𝒗〉 + ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒗, 𝒗〉 + ̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒖, 𝒖〉 − ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒗, 𝒖〉 + 〈𝒖, −𝒗〉 − ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
〈𝒗, −𝒗〉

To apply property (c):

‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = 〈𝒖, 𝒖〉 + 〈𝒖, 𝒗〉 + 〈𝒗, 𝒖〉 + 〈𝒗, 𝒗〉 + 〈𝒖, 𝒖〉 − 〈𝒖, 𝒗〉 + 〈−𝒗, 𝒖〉 − 〈−𝒗, 𝒗〉

To apply property (b) on the seventh and eight terms on the RHS:

‖𝒖 + 𝒗‖2 + ‖𝒖 − 𝒗‖2 = 〈𝒖, 𝒖〉 + 〈𝒖, 𝒗〉 + 〈𝒗, 𝒖〉 + 〈𝒗, 𝒗〉 + 〈𝒖, 𝒖〉 − 〈𝒖, 𝒗〉 − 〈𝒗, 𝒖〉 + 〈𝒗, 𝒗〉