Statistiek II: Kansrekening en inferentiële statistiek
Deductieve of beschrijvende statistiek: globale patronen en kenmerken ontdekken aan de hand van (doel):
• Kerngetallen = karakteristieke waarden = beschrijvende maten (gemiddelde, standaardafwijking,
correlatiecoëfficiënt en , etc.)
• Figuren (histogram, spreidingsdiagram….)
Inductieve of inferentiële statistiek:
o Verklarende statistiek, vergelijkt onderzoeksgegevens met wat mogelijk is voor TOEVAL, gebaseerd op
kansrekening
o Op basis van een beperkt aantal gegevens wordt gebracht om algemene uitspaken te formuleren over de gehele
populatie
1. Steekproef geeft informatie over de populatie
We vertrekken vanuit een populatie, waaruit er een steekproef
getrokken wordt. Inductie (inductieve – en/of inferentiële
statistiek) is het einddoel van statistiek. Er is bijvoorbeeld een
steekproef getrokken, indien 19 v/d studenten die je uit een
steekproef trekt, vrouwelijk zijn en 2 mannelijk. Kunnen ons dan de
vraag stellen: ‘Kunnen we besluiten dat meer dan 75% v/d bachelor
studenten psychologie meisjes zijn?’
Indien in België evenveel jongens als meisjes kiezen om psychologie
te gaan studeren (de populatie). Als er een steekproef getrokken
wordt met evenveel jongens als meisjes (een representatieve
steekproef). Indien er alleen meisjes uit de populatie getrokken
worden, als steekproef, dan is het niet-representatief.
o Een representatieve steekproef wilt zeggen dat je in de
steekproef een gelijkaardige vertegenwoordiging hebt
van kenmerken zoals in de populatie
o Een niet-representatieve steekproef
De vraag die vooral gesteld wordt tijdens statistiek 2: ‘Hoe groot is de kans dat in een toevallige steekproef van 10 studenten
1BA, zoveel meisjes zitten, indien in de populatie de verdeling 50/50 is?’
Het is de bedoeling om situaties die we met onderzoek kunnen bekijken, te vergelijken met toeval.
2. Verzamelingen en combinatieleer
Een verzameling A (een verzameling wordt voorgesteld met een
hoofdletter) is een groepering van n elementen a1, a2, …. (elementen
met een kleine letter).
Notatie: A = (a1, a2, …. an)
Een verzameling B is een
deelverzameling van A die
elementen a3 en an bevat
Notatie: BÌA
1
, 2.1 Unie en Doorsnede
Er kunnen verzamelingen samengenomen worden, er
wordt gekeken naar alle objecten die minstens in 1 van
de 2 verzamelingen zitten (= de unie) of we kunnen
verzamelingen van elkaar aftrekken, de overlapping
gaan bepalen (= de doorsnede).
2.2 Speciale situatie
2.3 Het verschil
De verzameling A wordt genomen en alles wat in verzameling B zit, wordt
weggenomen waardoor de doorsnede weg gaat uit A.
Voorbeeld: de dagen van de week
A zijn de werkdagen (maandag tot vrijdag), B zijn de weekenddagen
(zaterdag en zondag en C zijn de weekdagen (de volledige verzameling).
2
,Er zijn géén twee van de deelverzamelingen die elkaar overlappen (de doorsnedes moeten leeg zijn). Uiteindelijk moet de
volledige oppervlakte v/d verzameling benut worden. De twee aan twee mogen geen overlap hebben, ze moeten disjunct
zijn (belangrijk bij een partitie). Als ze allemaal samen genomen worden, moet de volledige verzameling bekeken worden.
Het moet exhaustief zijn, uitputtend zijn, alle mogelijkheden moeten voorzien zijn.
Complement van een deelverzameling
Het complement van een deelverzameling B in A is (A \ B) (alles wat niet in
het gele ellips valt).
3. Combinatieleer
Combinatieleer: ‘op hoeveel verschillende manieren kan je bepaalde
dingen met elkaar combineren.’ Er zijn verschillende situaties die
beschreven kunnen worden, die becijferd moeten worden. Enkele
belangrijke begrippen:
o Hoeveel codes van 4 cijfers kan men maken (herhalen mag) met 10 cijfers: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
o Permutaties: # volgorden (van ganse verzameling) met 10 cijfers (0-9), hoeveel codes van 10 verschillende cijfers
kan men maken? 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
o Variaties: # geordende deelverzamelingen. Hoeveel getallen van 3 verschillende cijfers. 10 x 9 x 8
o Combinaties: # deelverzamelingen met de 10 cijfers (0-9), hoeveel deelverzamelingen van 3 verschillende cijfers
kan men maken? (10 x 9 x 8) / (3 x 2)
3.1 Permutaties
Permutaties: het aantal volgorden van n verschillende objecten (er wordt gekeken naar een verzameling en van die
verzamelingen worden alle mogelijke volgorden opgeschreven). Het aantal permutaties van een verzameling van n
elementen = n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1
3
, 3.2 Variaties
Variaties is het aantal geordende deelverzamelingen. Het aantal
geordende deelverzamelingen van r elementen uit een verzameling
van n elementen (waarbij de volgorde belangrijk is).
n×(n-1)×…×(n-r+1)
Op hoeveel manieren kan men 2 kleuren uit 4 kiezen en ordenen?
Hoeveel verschillende geordende deelverzamelingen heeft A (rood, groen, blauw)
#0 (lege verzameling)
#1 (rood) (groen) (blauw)
#2 (rood, groen) (rood, blauw) (groen, blauw) (groen, rood) (blauw, rood) (blauw,
groen)
#3 (rood, groen, blauw) (rood, blauw, groen) (groen, rood, blauw) (groen, blauw,
rood) (blauw, rood, groen) (blauw, groen rood)
3.3 Combinaties
Het aantal combinaties van r elementen uit een
verzameling van n elementen (waarbij de volgorde
onbelangrijk is, #deelverzamelingen).
#niet-geordende deelverzamelingen
Bijvoorbeeld 5 kiezen uit 8: alle volgorden van 8 objecten:
8x7x6x5x4x3x2x1
De volgrode v/d gekozen objecten: 5 x 4 x 3 x 2 x 1
De volgorde niet-gekozen objecten: 3 x 2 x 1
4
Deductieve of beschrijvende statistiek: globale patronen en kenmerken ontdekken aan de hand van (doel):
• Kerngetallen = karakteristieke waarden = beschrijvende maten (gemiddelde, standaardafwijking,
correlatiecoëfficiënt en , etc.)
• Figuren (histogram, spreidingsdiagram….)
Inductieve of inferentiële statistiek:
o Verklarende statistiek, vergelijkt onderzoeksgegevens met wat mogelijk is voor TOEVAL, gebaseerd op
kansrekening
o Op basis van een beperkt aantal gegevens wordt gebracht om algemene uitspaken te formuleren over de gehele
populatie
1. Steekproef geeft informatie over de populatie
We vertrekken vanuit een populatie, waaruit er een steekproef
getrokken wordt. Inductie (inductieve – en/of inferentiële
statistiek) is het einddoel van statistiek. Er is bijvoorbeeld een
steekproef getrokken, indien 19 v/d studenten die je uit een
steekproef trekt, vrouwelijk zijn en 2 mannelijk. Kunnen ons dan de
vraag stellen: ‘Kunnen we besluiten dat meer dan 75% v/d bachelor
studenten psychologie meisjes zijn?’
Indien in België evenveel jongens als meisjes kiezen om psychologie
te gaan studeren (de populatie). Als er een steekproef getrokken
wordt met evenveel jongens als meisjes (een representatieve
steekproef). Indien er alleen meisjes uit de populatie getrokken
worden, als steekproef, dan is het niet-representatief.
o Een representatieve steekproef wilt zeggen dat je in de
steekproef een gelijkaardige vertegenwoordiging hebt
van kenmerken zoals in de populatie
o Een niet-representatieve steekproef
De vraag die vooral gesteld wordt tijdens statistiek 2: ‘Hoe groot is de kans dat in een toevallige steekproef van 10 studenten
1BA, zoveel meisjes zitten, indien in de populatie de verdeling 50/50 is?’
Het is de bedoeling om situaties die we met onderzoek kunnen bekijken, te vergelijken met toeval.
2. Verzamelingen en combinatieleer
Een verzameling A (een verzameling wordt voorgesteld met een
hoofdletter) is een groepering van n elementen a1, a2, …. (elementen
met een kleine letter).
Notatie: A = (a1, a2, …. an)
Een verzameling B is een
deelverzameling van A die
elementen a3 en an bevat
Notatie: BÌA
1
, 2.1 Unie en Doorsnede
Er kunnen verzamelingen samengenomen worden, er
wordt gekeken naar alle objecten die minstens in 1 van
de 2 verzamelingen zitten (= de unie) of we kunnen
verzamelingen van elkaar aftrekken, de overlapping
gaan bepalen (= de doorsnede).
2.2 Speciale situatie
2.3 Het verschil
De verzameling A wordt genomen en alles wat in verzameling B zit, wordt
weggenomen waardoor de doorsnede weg gaat uit A.
Voorbeeld: de dagen van de week
A zijn de werkdagen (maandag tot vrijdag), B zijn de weekenddagen
(zaterdag en zondag en C zijn de weekdagen (de volledige verzameling).
2
,Er zijn géén twee van de deelverzamelingen die elkaar overlappen (de doorsnedes moeten leeg zijn). Uiteindelijk moet de
volledige oppervlakte v/d verzameling benut worden. De twee aan twee mogen geen overlap hebben, ze moeten disjunct
zijn (belangrijk bij een partitie). Als ze allemaal samen genomen worden, moet de volledige verzameling bekeken worden.
Het moet exhaustief zijn, uitputtend zijn, alle mogelijkheden moeten voorzien zijn.
Complement van een deelverzameling
Het complement van een deelverzameling B in A is (A \ B) (alles wat niet in
het gele ellips valt).
3. Combinatieleer
Combinatieleer: ‘op hoeveel verschillende manieren kan je bepaalde
dingen met elkaar combineren.’ Er zijn verschillende situaties die
beschreven kunnen worden, die becijferd moeten worden. Enkele
belangrijke begrippen:
o Hoeveel codes van 4 cijfers kan men maken (herhalen mag) met 10 cijfers: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
o Permutaties: # volgorden (van ganse verzameling) met 10 cijfers (0-9), hoeveel codes van 10 verschillende cijfers
kan men maken? 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
o Variaties: # geordende deelverzamelingen. Hoeveel getallen van 3 verschillende cijfers. 10 x 9 x 8
o Combinaties: # deelverzamelingen met de 10 cijfers (0-9), hoeveel deelverzamelingen van 3 verschillende cijfers
kan men maken? (10 x 9 x 8) / (3 x 2)
3.1 Permutaties
Permutaties: het aantal volgorden van n verschillende objecten (er wordt gekeken naar een verzameling en van die
verzamelingen worden alle mogelijke volgorden opgeschreven). Het aantal permutaties van een verzameling van n
elementen = n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1
3
, 3.2 Variaties
Variaties is het aantal geordende deelverzamelingen. Het aantal
geordende deelverzamelingen van r elementen uit een verzameling
van n elementen (waarbij de volgorde belangrijk is).
n×(n-1)×…×(n-r+1)
Op hoeveel manieren kan men 2 kleuren uit 4 kiezen en ordenen?
Hoeveel verschillende geordende deelverzamelingen heeft A (rood, groen, blauw)
#0 (lege verzameling)
#1 (rood) (groen) (blauw)
#2 (rood, groen) (rood, blauw) (groen, blauw) (groen, rood) (blauw, rood) (blauw,
groen)
#3 (rood, groen, blauw) (rood, blauw, groen) (groen, rood, blauw) (groen, blauw,
rood) (blauw, rood, groen) (blauw, groen rood)
3.3 Combinaties
Het aantal combinaties van r elementen uit een
verzameling van n elementen (waarbij de volgorde
onbelangrijk is, #deelverzamelingen).
#niet-geordende deelverzamelingen
Bijvoorbeeld 5 kiezen uit 8: alle volgorden van 8 objecten:
8x7x6x5x4x3x2x1
De volgrode v/d gekozen objecten: 5 x 4 x 3 x 2 x 1
De volgorde niet-gekozen objecten: 3 x 2 x 1
4
