Exámenes resueltos de Matemáticas

Seminario de Ejercicios Curso 2012-2013

23/110 Evalué el límite si existe
x 2  81
lim
x 9 x 3
Respuesta:
0
Si se sustituye se observa que se obtiene una indeterminación del tipo por lo que es
0
preciso descomponer y racionalizar para eliminar dicha indeterminación Racionalizando

x 2  81 x 2  81 x  3 x 2  81 x  3
  


  
x 2  81 x  3 
x 3 x 3 x 3
2
 
x  3
2 x 9
Descomponiendo en factores y simplificando


 
x  9x  9 x  3  x  9 x  3 
x 9
x  81
   
2
lim  lim x  9 x  3  9  9 9  3  18  6  108
x 9 x  3 x 9
x 2  81
lim 108
x 9 x 3

16/131 Explique por qué la función es discontinua en el punto dado. Bosqueje la gráfica
 1
 x 1
f ( x)   x  1 a 1
 2 x 1
Respuesta:
1
lim    . Pues como x  1 indefine la función es una Asíntota Vertical y al
x 1 x  1

acercarse a 1 por valores menores que 1 (por la izquierda) el denominador queda
negativo por lo que dicho límite es negativo (   )
1
lim    . Pues como x  1 indefine la función es una Asíntota Vertical y al
x 1 x  1

acercarse a 1 por valores mayores que 1 (por la derecha) el denominador queda positivo
por lo que dicho límite es positivo (   )
Luego como no existe al menos uno de los límites laterales (en este caso no existe
ninguno de los dos límites laterales), no existe el límite en el punto, por tanto no es
continua la función en x  1. En x  1 hay una discontinuidad infinita o inevitable.
Para trazar la gráfica es preciso seguir los siguientes pasos:
- Dominio: Todo  pues el tramo de arriba está bien definido fuera de x  1
1
- Ceros:  0 , o sea 1=0 lo cual es falso por lo tanto esta función no tiene
x 1
ceros (intercepto con el eje X)
1
- Intercepto con el eje Y: y    1 , luego corta al eje Y en -1
0 1
- Asíntota Vertical: x  1, ya lo sabíamos
1 1
- Asíntota Horizontal: lim  0 , lim  0 , o sea y  0 es la AH.
x   x  1 x   x  1

, 19/131 Explique por qué la función es discontinua en el punto dado. Bosqueje la gráfica
 x2  2 x  8
 x4
f ( x)   x  4 a4

 3 x4
Respuesta:

lim
x2  2 x  8
 lim
x  2x  4  lim x  2  4  2  6 .
x 4 x4 x4 x4 x4

f (4)  3
Existe el límite y la función está definida en el punto pero con diferente valor por lo
tanto hay una discontinuidad evitable en 4.

Para trazar la gráfica es preciso seguir los siguientes pasos:
- Dominio: Todo  pues el tramo de arriba está bien definido fuera de x  4
- Ceros:
x2  2 x  8
0
x4
x2  2x  8  0
x  2x  4  0
x20 x40
x  2 x  4
Pero en x  4 esta no es la función por lo que sólo nos queda como cero x  2
(intercepto con el eje X)
02  2  0  8  8
- Intercepto con el eje Y: y    2 , luego corta al eje Y en 2
04 4
- Asíntota Vertical: no tiene pues no está indefinida en ningún punto
- Asíntota Horizontal:
x2 2 x 8 8
  x2
x2  2 x  8 x     2  0  
lim  lim x x x  lim
x   x4 x   x 4

x  
1
4 1 0
x x x