SÄNMMGNNKÄOT beschreibt eine der
Steig
EINTEILEN IN FLÄCHEN A, & Az
pyoefurkfgegef
(T
sinau na.ae#eren*ernar.g
soistaua.fm*asaerproau reg)
" "" "
" ""
°
" "
Ist die Funktion f das Produkt differenzierbarer Polynome
"" "" "
=/ !
zweier und
f A f ᵈ"
u v. so
wurde ob mit oder
"
J × " ✗
egal ohne abso gilt 1.
Ab
:
-
,
FIF.ME#FhstaTbn
t
1-2=5^9
✗
=
" " '
" ×
ᵈ
Glied '
-
✗ "
hutes der
.
gx
[µµµyµgg
" " ↓ " differenzierbar Für f
'
=/ ! f ; glxldx gilt
:
1- An Az flxldx
.
fhop
= - -
f
' ' '
✗ ✗ t V ✗
✗ n
=
u ✗
unbestimmtes integral
. •
beschreibt alle „ „
☐ „ ftp.Enzpunxy , an ☐ „DEN
yyyge.gg
-
sokan kxmiu-asaerken-enrega bge eitetweraenunaesg.it#J
'
f / x
% 1ˢᵗ ¥ × eine
Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen f Md
9
also :
h (× )
Jgg ) -91×1
.
=
"
h (×) f. (
verbal ×
„
zusammengenommen ^
ᵗ t
=/ ! 9
✗ "
rgfffffgg
=
1- " " ok f. Ix
*
Diese Variante wird mit dem absoluten
>
; ; ; ×
Glied C
ausgedrückt
+
f
'
k
'
✗
g x
g. ×
= •
SCHNITTPUNKTE ERMITTELN
bestimmtes jptegpqf bezeichnet man
" Äußere mal innere
Ableitung
'
f × =
×
des unbestimmten g 1 Differenzfunktion bilden
das
Ergebnis Integrals Gwththetntegef
ffxi-gxdx-ffxdxi.gg/dx=Fx+GY-f
,
+ ""
^
" "" ")
auteiTE-imm-TE-aiie.TN
" 9
'
+ =
. 2
Bestimmtes
Integral mit
•
2
Oberer
" " "" " " " " " " " "" " " A
" "
""" "
^
" °
f! f- dx ; ;
>
1- =/ % h " ok
✗ ; ×
.
>
Differential
Fouktotfegel
faifxdx-a.lt/dx=a.FxaLRF+-
unteren
Grenze
HAUPTSATZ
%fxdx=Fxba=Fb-FL✓_
:
Welch
extrema
Rofietrygesehge einges
etwas-OMUU
1. Erste Ableitung berechnen BESONDERHEITEN tdotepygesetye
-
TETgiFTFa.in 1. ✗
m
.
✗
n
=
✗
min
4. ✗
-
n
=
¥
f ) ? ^
1
'
" " I × =
=
✗
f. ( )
.
x =
n .
a. ×
"
≈ ,
'
2
" "
mir
2.
KELLEREIEN 2.x
y xy
5. =3
'
=
✗ , ×
=
= ,
F Stamm funktion
3.lt#
×
3 f × = ✗
"
=
✗
±
" M " M
^ ✗
± 2- 3 ✗
=
!
integrieren p q Formel
-
.
q
>
- -
:
f ? ? ? I:-. { !
' '
> ✗ = =
'
=
× ×
: ×
f- ✗
Ausgangsfunktion
ableiten
Wendepunkte
×
f
'
Ableitung
✗ 1.
3. Zweite b.
Leitung berechnen
-
m m n
Ein Wendepunkt P ist der Punkt an dem sich das
Nullstellen
,
ableiten y -
der ersten Ableitung
Krümmung
v
erhalten ändert das heißt
TÄTE Ableitung
sv ,
:
"
einsetzen
f ✗
einfassend
2.
Ableitung
>2.Ableiung::HochputNʰ
>
oder
hnks-rechls-we.ch#-f
>
ein
ableiten "
2.
Ableitung
>
"
f
ftp.ne-ussagemguc
Die Wendepunkte liegen den Extrem stellen
'
Ableitung
✗
3. von an
Ableitung
>
2. :
f '
Hat f TP
liegt
'
von einen so ein r
-
L -
Wechsel
Y Kardinal
,
.
.
5. -
der
, * ß]
Mit
logba bezeichnet man die
" " "" "" " """ "
" " °
Exponentialfunktionen beschreiben zeitlich Dabei
"
b -
-
a .
nehmen wir an ,
dass
Zahlen
exponentielle Wachstums b und a positive sind
Vorgänge
.
"
b
at a
=
N t =
N -
>
✗ =
logb a
STARTWERT
'
EXPONENT
:
WACHSTUMSFAKTOR 7^-9 *
Produkt zu Summe
• .
↳ b
a. c
=
109s a
+109 -
C
1ˢᵗ " " " "t
>
° " " " " " *
① " dient Zu Differenz
exponentiellem Wachstum "
logo { logis
-
=
a
logis c
-
.
TENFGARTTHMTYERTEgjy.gg
{
Ist AUFGABE VERSTEHEN
{
%
1. 1.
spricht m a n so
>
a von
Potenz Produkt
exponentiellem Zerfall
*
Zu
AUF EINE SEITE SODASS DIE E FUNKTION Was ist in der
Aufgabenstellung geg
-
.
,
" -
↳ •
" =
' '
109 "
"
" IEFAKTIALLELESTEII.mn was ist
gesucht ?
Allgemeine
i :
Funktion :
*
Text
genau lesen
*
Situation vorstellen
tat genau
a > 0
Streckung
Streckung Stauchung Spiegelung ◦ < la ,
*
evtl Skizze
anfertigen und beschrift
,
stauchung
<
.
in ×
Richtung -
-
Verschiebung in Ha -
0
Spiegelung
Richtung
>
✗ -
zur x-Achse
' '
×
-
d
f ✗ =
q .
b +
e
CICI > 0
Streckung
Die
Integration einer verketteten Funktion KH ) =
flglx ) ) ist
Verschiebung
>
°" " "
Stauchung Allgemeinen schwierig Liegt jedoch der besonders
'
Richtung im recht
-
in
y
-
Streckung / Stauchung 0
.
( <
Spiegelung
" "'
9- Achse einfache Fall dass die innere Funktion eine lineare Funktion Eigenschaften einer Funktio
Spiegelung vor aus
in
y Richtung
-
,
Basis = >
beschreibt die
f lax b) lässt
ist d. h
gilt KH ) sich die Integration häufige Eigenschaften
*
Wachstums zerfall es
= + SO
Geschwindigkeit des
:
. .
,
;
MEIST NUR VEREINFACHTE FORM :
problemlos durchgeführt ,
sofern man die äußere Funktion f
im Text Geschieht
kann
integrieren .
" " "" "" "
UMRECHNUNG UND
"
ZWISCHEN DEN BASEN 9 e " "
Vgf
" " "
f × =
a
-
b + e "
Achsen
f ( c. ax c. e
symmetrisch
Beispiel
× = =
× d
>
µ =
fn a
:
Gesucht ist das unbestimmte
Integral / ( 5×+112 dx
f bc
-
durch P 1115
✗ =
a
.
>
a =
ek
Funktion
geht
× -
d
a b, F hat NS bei -4
¥
=
✗
.
=
.
" "
Bsp N ( te 100-1.034 1.034 Es / dx ( Also könnte vermuten dass
gilt
: =
e =
2 +
✗
=
man
.
.
ekt
,
a 100 In „„
„„
'
N t k 1,034 „ „„ ,
a. „
„
„„
= =
„
.
, „ =
a. a. „„ „ „
= = .
1<=0,33 „„ „ „ „ 3
+ (
gilt .
N t, =
100 .
e
"" "
F .
hat WP bei ✗ = -
Y
Dies der Fall da
ist aber nicht ,
die
Ableitung des
rechtsseitigen F. Es
hat
Steigung bei 0
-
von ✗ =
Turms den nden 5×+12 sondern 5.15×+112
Es
nicht
Integra ergibt , ,
da
F. hat
gibt Exponentialfunktionen die als ,
natürliche waagrechte Tangente bei
Ketten
nach der
regel mit der
Ableitung 5 des inneren Turms nach -
Exponentialfunktionen oder auch als e- Funktionen ✗
=
-1 ist parallel zur x-Achse bei
bezeichnet werden .
Sie besitzt eine besondere Basis e ,
differenziert wird .
Wir müssen also unsere
Vermutung durch Hinzunahme
✗
=
-
1
die Eulersche Zahl . Für diese Funktion ist die des Korrekturfaktor ¥ abändern und erhalten als korrektes Resultat :
Ableitung gleich der Funktion .
/ 15×+112 dx =
E.
'"
I
"
+ ( 1 .
Allgemeiner Ansatz :
Die
ges
f ✗ =
ex >
f
'
✗ =
ex unbekannte Koeffizienten en
Man kann diese Korrektur methode stets dann anwenden wenn der
Eigenschaften der Funktion
,
mumm 2. :
verkettete Funktion
Integrand
mmmnmmmnmmnmmnmnn
eine linear darstellt
-
.
FunktionsSchreibweise mithilfe
Eigenschaften
m u m m
:
ergibt sich ein
Gleichungssy
•
:
Ifla ✗ + b) dx =
G- •
Flax + b) + C
Steig
EINTEILEN IN FLÄCHEN A, & Az
pyoefurkfgegef
(T
sinau na.ae#eren*ernar.g
soistaua.fm*asaerproau reg)
" "" "
" ""
°
" "
Ist die Funktion f das Produkt differenzierbarer Polynome
"" "" "
=/ !
zweier und
f A f ᵈ"
u v. so
wurde ob mit oder
"
J × " ✗
egal ohne abso gilt 1.
Ab
:
-
,
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t
1-2=5^9
✗
=
" " '
" ×
ᵈ
Glied '
-
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hutes der
.
gx
[µµµyµgg
" " ↓ " differenzierbar Für f
'
=/ ! f ; glxldx gilt
:
1- An Az flxldx
.
fhop
= - -
f
' ' '
✗ ✗ t V ✗
✗ n
=
u ✗
unbestimmtes integral
. •
beschreibt alle „ „
☐ „ ftp.Enzpunxy , an ☐ „DEN
yyyge.gg
-
sokan kxmiu-asaerken-enrega bge eitetweraenunaesg.it#J
'
f / x
% 1ˢᵗ ¥ × eine
Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen f Md
9
also :
h (× )
Jgg ) -91×1
.
=
"
h (×) f. (
verbal ×
„
zusammengenommen ^
ᵗ t
=/ ! 9
✗ "
rgfffffgg
=
1- " " ok f. Ix
*
Diese Variante wird mit dem absoluten
>
; ; ; ×
Glied C
ausgedrückt
+
f
'
k
'
✗
g x
g. ×
= •
SCHNITTPUNKTE ERMITTELN
bestimmtes jptegpqf bezeichnet man
" Äußere mal innere
Ableitung
'
f × =
×
des unbestimmten g 1 Differenzfunktion bilden
das
Ergebnis Integrals Gwththetntegef
ffxi-gxdx-ffxdxi.gg/dx=Fx+GY-f
,
+ ""
^
" "" ")
auteiTE-imm-TE-aiie.TN
" 9
'
+ =
. 2
Bestimmtes
Integral mit
•
2
Oberer
" " "" " " " " " " " "" " " A
" "
""" "
^
" °
f! f- dx ; ;
>
1- =/ % h " ok
✗ ; ×
.
>
Differential
Fouktotfegel
faifxdx-a.lt/dx=a.FxaLRF+-
unteren
Grenze
HAUPTSATZ
%fxdx=Fxba=Fb-FL✓_
:
Welch
extrema
Rofietrygesehge einges
etwas-OMUU
1. Erste Ableitung berechnen BESONDERHEITEN tdotepygesetye
-
TETgiFTFa.in 1. ✗
m
.
✗
n
=
✗
min
4. ✗
-
n
=
¥
f ) ? ^
1
'
" " I × =
=
✗
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2.
KELLEREIEN 2.x
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'
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F Stamm funktion
3.lt#
×
3 f × = ✗
"
=
✗
±
" M " M
^ ✗
± 2- 3 ✗
=
!
integrieren p q Formel
-
.
q
>
- -
:
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' '
> ✗ = =
'
=
× ×
: ×
f- ✗
Ausgangsfunktion
ableiten
Wendepunkte
×
f
'
Ableitung
✗ 1.
3. Zweite b.
Leitung berechnen
-
m m n
Ein Wendepunkt P ist der Punkt an dem sich das
Nullstellen
,
ableiten y -
der ersten Ableitung
Krümmung
v
erhalten ändert das heißt
TÄTE Ableitung
sv ,
:
"
einsetzen
f ✗
einfassend
2.
Ableitung
>2.Ableiung::HochputNʰ
>
oder
hnks-rechls-we.ch#-f
>
ein
ableiten "
2.
Ableitung
>
"
f
ftp.ne-ussagemguc
Die Wendepunkte liegen den Extrem stellen
'
Ableitung
✗
3. von an
Ableitung
>
2. :
f '
Hat f TP
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'
von einen so ein r
-
L -
Wechsel
Y Kardinal
,
.
.
5. -
der
, * ß]
Mit
logba bezeichnet man die
" " "" "" " """ "
" " °
Exponentialfunktionen beschreiben zeitlich Dabei
"
b -
-
a .
nehmen wir an ,
dass
Zahlen
exponentielle Wachstums b und a positive sind
Vorgänge
.
"
b
at a
=
N t =
N -
>
✗ =
logb a
STARTWERT
'
EXPONENT
:
WACHSTUMSFAKTOR 7^-9 *
Produkt zu Summe
• .
↳ b
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=
109s a
+109 -
C
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>
° " " " " " *
① " dient Zu Differenz
exponentiellem Wachstum "
logo { logis
-
=
a
logis c
-
.
TENFGARTTHMTYERTEgjy.gg
{
Ist AUFGABE VERSTEHEN
{
%
1. 1.
spricht m a n so
>
a von
Potenz Produkt
exponentiellem Zerfall
*
Zu
AUF EINE SEITE SODASS DIE E FUNKTION Was ist in der
Aufgabenstellung geg
-
.
,
" -
↳ •
" =
' '
109 "
"
" IEFAKTIALLELESTEII.mn was ist
gesucht ?
Allgemeine
i :
Funktion :
*
Text
genau lesen
*
Situation vorstellen
tat genau
a > 0
Streckung
Streckung Stauchung Spiegelung ◦ < la ,
*
evtl Skizze
anfertigen und beschrift
,
stauchung
<
.
in ×
Richtung -
-
Verschiebung in Ha -
0
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Richtung
>
✗ -
zur x-Achse
' '
×
-
d
f ✗ =
q .
b +
e
CICI > 0
Streckung
Die
Integration einer verketteten Funktion KH ) =
flglx ) ) ist
Verschiebung
>
°" " "
Stauchung Allgemeinen schwierig Liegt jedoch der besonders
'
Richtung im recht
-
in
y
-
Streckung / Stauchung 0
.
( <
Spiegelung
" "'
9- Achse einfache Fall dass die innere Funktion eine lineare Funktion Eigenschaften einer Funktio
Spiegelung vor aus
in
y Richtung
-
,
Basis = >
beschreibt die
f lax b) lässt
ist d. h
gilt KH ) sich die Integration häufige Eigenschaften
*
Wachstums zerfall es
= + SO
Geschwindigkeit des
:
. .
,
;
MEIST NUR VEREINFACHTE FORM :
problemlos durchgeführt ,
sofern man die äußere Funktion f
im Text Geschieht
kann
integrieren .
" " "" "" "
UMRECHNUNG UND
"
ZWISCHEN DEN BASEN 9 e " "
Vgf
" " "
f × =
a
-
b + e "
Achsen
f ( c. ax c. e
symmetrisch
Beispiel
× = =
× d
>
µ =
fn a
:
Gesucht ist das unbestimmte
Integral / ( 5×+112 dx
f bc
-
durch P 1115
✗ =
a
.
>
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Funktion
geht
× -
d
a b, F hat NS bei -4
¥
=
✗
.
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.
" "
Bsp N ( te 100-1.034 1.034 Es / dx ( Also könnte vermuten dass
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man
.
.
ekt
,
a 100 In „„
„„
'
N t k 1,034 „ „„ ,
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= =
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.
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a. a. „„ „ „
= = .
1<=0,33 „„ „ „ „ 3
+ (
gilt .
N t, =
100 .
e
"" "
F .
hat WP bei ✗ = -
Y
Dies der Fall da
ist aber nicht ,
die
Ableitung des
rechtsseitigen F. Es
hat
Steigung bei 0
-
von ✗ =
Turms den nden 5×+12 sondern 5.15×+112
Es
nicht
Integra ergibt , ,
da
F. hat
gibt Exponentialfunktionen die als ,
natürliche waagrechte Tangente bei
Ketten
nach der
regel mit der
Ableitung 5 des inneren Turms nach -
Exponentialfunktionen oder auch als e- Funktionen ✗
=
-1 ist parallel zur x-Achse bei
bezeichnet werden .
Sie besitzt eine besondere Basis e ,
differenziert wird .
Wir müssen also unsere
Vermutung durch Hinzunahme
✗
=
-
1
die Eulersche Zahl . Für diese Funktion ist die des Korrekturfaktor ¥ abändern und erhalten als korrektes Resultat :
Ableitung gleich der Funktion .
/ 15×+112 dx =
E.
'"
I
"
+ ( 1 .
Allgemeiner Ansatz :
Die
ges
f ✗ =
ex >
f
'
✗ =
ex unbekannte Koeffizienten en
Man kann diese Korrektur methode stets dann anwenden wenn der
Eigenschaften der Funktion
,
mumm 2. :
verkettete Funktion
Integrand
mmmnmmmnmmnmmnmnn
eine linear darstellt
-
.
FunktionsSchreibweise mithilfe
Eigenschaften
m u m m
:
ergibt sich ein
Gleichungssy
•
:
Ifla ✗ + b) dx =
G- •
Flax + b) + C
