Departamento de Análisis Matemático y Matemática Aplicada
GRADO EN INGENIERÍA GEOLÓGICA.
Matemáticas I.
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
1. Espacios vectoriales
1.1. Definición de espacio vectorial V sobre un conjunto de escalares
K.
Se define IRn como el conjunto de vectores columna (o fila) cuyos componentes
son n números reales.
Así IR= números reales; IR2 = vectores del plano; IR3 = vectores del espacio,...
En IRn , para ~u = (u1 , u2 , ..., un ), ~v = (v1 , v2 , ..., vn ) y λ ∈ IR, se definen las
operaciones:
Suma: ~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn )
Producto de un número por un vector: λ~u = (λu1 , λu2 , ..., λun )
Definición
Se define como espacio vectorial un conjunto V en el que se definen las
operaciones de suma de dos de sus elementos y producto de uno de sus elementos
por un número(escalar)de K que cumplen las siguientes propiedades:
(~u + ~v ) + w~ = ~u + (~v + w)
~ k(~u + ~v ) = k~u + k~v
~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u (k1 + k2 )~u = k1~u + k2~u
~u + (−~u) = ~0 (k1 · k2 )~u = k1 (k2~u)
~u + ~v = ~v + ~u 1 · ~u = ~u
1.2. Algunos espacios vectoriales
IRn es un espacio vectorial, con K = IR
Mm×n matrices de dimensión m × n es un espacio vectorial con K = IR
, Pn (t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ... + an tn polinomios de grado n y variable t forman
un espacio vectorial sobre IR.
1.3. Combinación lineal de vectores.
Dados a1 , a2 , ... an ∈ IR, ~u1 , ~u2 , ... ~un ∈ V = IRn , se llama combinación
lineal de los vectores al vector a1~u1 + a2~u2 + ... + an~un
1.4. Vectores linealmente dependientes e independientes.
Se dice que un conjunto de vectores ~u1 , ~u2 , ... ~un ∈ V son linealmente
dependientes si existen a1 , a2 , ... an ∈ K, no todos nulos tales que a1~u1 +
a2~u2 + ... + an~un = ~0
Se dice que un conjunto de vectores ~u1 , ~u2 , ... ~un ∈ V son linealmente
independientes si cualquier combinación lineal de ellos,
a1~u1 + a2~u2 + ... + an~un = ~0 ⇒ a1 = a2 = ... = an = 0
Los vectores ~u1 , ~u2 , ... ~un ∈ V son linealmente dependientes si y solo si uno
de ellos es combinación lineal de los demás.
1.5. Base de un espacio vectorial.
Se dice que un conjunto de vectores S = {~u1 , ~u2 , ... ~un } forman una base de
V si cumplen:
~u1 , ~u2 , ... ~un son linealmente independientes
~u1 , ~u2 , ... ~un generan V, es decir, cualquier vector de V se puede poner
como combinación lineal de ellos.
Un espacio vectorial puede tener varias bases pero todas tienen el mismo nú-
mero de elementos n, al que se llama dimensión del espacio vectorial.
Se llama base canónica de IRn a:
B = {(1, 0, 0, ..,0), (0, 1, 0, ..,0), (0, 0, 1, ..,0), ..., (0, 0, 0, ..,1)}
y análogamente para otros espacios vectoriales.
, 1.6. Coordenadas.
Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K y S = {~u1 , ~u2 , ... ~un }
una base de V.
Cualquier vector ~v ∈ V puede expresarse en forma de combinación lineal de
los vectores de la base:
~v = a1~u1 + a2~u2 + ... + an~un
Se dice entonces que a1 , a2 , ... an son las coordenadas o componentes de
~v en la base S.
Se puede expresar como antes o simplemente ~v = (a1 , a2 ..., an ), teniendo
cuidado ya que un mismo vector tiene diferentes coordenadas según la base en la
que está expresado.
1.7. Cambio de base. Matriz de paso.
Conocidas las coordenadas de un vector en una base, ¿cómo podemos conocer
las coordenadas de ese vector en otra base?
Sea S = {~u1 , ~u2 , ... ~un } una base de V y sea S 0 = {~v1 , ~v2 , ... ~vn } otra base
de V.
Por ser S base de V, todos los vectores de V y, en particular los de S 0 se pueden
escribir como combinación lineal de los vectores de S:
~v1 = a11~u1 + a12~u2 + ... + a1n~un
~v2 = a21~u1 + a22~u2 + ... + a2n~un
..................
~vn = an1~u1 + an2~u2 + ... + ann~un
Sea ~x un vector cualquiera de V. Tendrá unas coordenadas en la base S y
otras coordenadas en la base S 0 . Sean estas (x1 , x2 , ... xn ) y (x01 , x02 , ... x0n ) ,
respectivamente.
~x = x01~v1 + x02~v2 + ... + x0n~vn =
= x01 (a11 ~u1 +a12 ~u2 +...+a1n ~un )+x02 (a21 ~u1 +a22 ~u2 +...+a2n ~un )+...+x0n (an1 ~u1 +an2 ~u2 +...+ann ~un )
= (x01 a11 +x02 a21 +...+x0n an1 )~u1 +(x01 a12 +x02 a22 +...+x0n an2 )~u2 +...+(x01 a1n +x02 a2n +...+x0n ann )~un
Por tanto:
GRADO EN INGENIERÍA GEOLÓGICA.
Matemáticas I.
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
1. Espacios vectoriales
1.1. Definición de espacio vectorial V sobre un conjunto de escalares
K.
Se define IRn como el conjunto de vectores columna (o fila) cuyos componentes
son n números reales.
Así IR= números reales; IR2 = vectores del plano; IR3 = vectores del espacio,...
En IRn , para ~u = (u1 , u2 , ..., un ), ~v = (v1 , v2 , ..., vn ) y λ ∈ IR, se definen las
operaciones:
Suma: ~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn )
Producto de un número por un vector: λ~u = (λu1 , λu2 , ..., λun )
Definición
Se define como espacio vectorial un conjunto V en el que se definen las
operaciones de suma de dos de sus elementos y producto de uno de sus elementos
por un número(escalar)de K que cumplen las siguientes propiedades:
(~u + ~v ) + w~ = ~u + (~v + w)
~ k(~u + ~v ) = k~u + k~v
~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u (k1 + k2 )~u = k1~u + k2~u
~u + (−~u) = ~0 (k1 · k2 )~u = k1 (k2~u)
~u + ~v = ~v + ~u 1 · ~u = ~u
1.2. Algunos espacios vectoriales
IRn es un espacio vectorial, con K = IR
Mm×n matrices de dimensión m × n es un espacio vectorial con K = IR
, Pn (t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ... + an tn polinomios de grado n y variable t forman
un espacio vectorial sobre IR.
1.3. Combinación lineal de vectores.
Dados a1 , a2 , ... an ∈ IR, ~u1 , ~u2 , ... ~un ∈ V = IRn , se llama combinación
lineal de los vectores al vector a1~u1 + a2~u2 + ... + an~un
1.4. Vectores linealmente dependientes e independientes.
Se dice que un conjunto de vectores ~u1 , ~u2 , ... ~un ∈ V son linealmente
dependientes si existen a1 , a2 , ... an ∈ K, no todos nulos tales que a1~u1 +
a2~u2 + ... + an~un = ~0
Se dice que un conjunto de vectores ~u1 , ~u2 , ... ~un ∈ V son linealmente
independientes si cualquier combinación lineal de ellos,
a1~u1 + a2~u2 + ... + an~un = ~0 ⇒ a1 = a2 = ... = an = 0
Los vectores ~u1 , ~u2 , ... ~un ∈ V son linealmente dependientes si y solo si uno
de ellos es combinación lineal de los demás.
1.5. Base de un espacio vectorial.
Se dice que un conjunto de vectores S = {~u1 , ~u2 , ... ~un } forman una base de
V si cumplen:
~u1 , ~u2 , ... ~un son linealmente independientes
~u1 , ~u2 , ... ~un generan V, es decir, cualquier vector de V se puede poner
como combinación lineal de ellos.
Un espacio vectorial puede tener varias bases pero todas tienen el mismo nú-
mero de elementos n, al que se llama dimensión del espacio vectorial.
Se llama base canónica de IRn a:
B = {(1, 0, 0, ..,0), (0, 1, 0, ..,0), (0, 0, 1, ..,0), ..., (0, 0, 0, ..,1)}
y análogamente para otros espacios vectoriales.
, 1.6. Coordenadas.
Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K y S = {~u1 , ~u2 , ... ~un }
una base de V.
Cualquier vector ~v ∈ V puede expresarse en forma de combinación lineal de
los vectores de la base:
~v = a1~u1 + a2~u2 + ... + an~un
Se dice entonces que a1 , a2 , ... an son las coordenadas o componentes de
~v en la base S.
Se puede expresar como antes o simplemente ~v = (a1 , a2 ..., an ), teniendo
cuidado ya que un mismo vector tiene diferentes coordenadas según la base en la
que está expresado.
1.7. Cambio de base. Matriz de paso.
Conocidas las coordenadas de un vector en una base, ¿cómo podemos conocer
las coordenadas de ese vector en otra base?
Sea S = {~u1 , ~u2 , ... ~un } una base de V y sea S 0 = {~v1 , ~v2 , ... ~vn } otra base
de V.
Por ser S base de V, todos los vectores de V y, en particular los de S 0 se pueden
escribir como combinación lineal de los vectores de S:
~v1 = a11~u1 + a12~u2 + ... + a1n~un
~v2 = a21~u1 + a22~u2 + ... + a2n~un
..................
~vn = an1~u1 + an2~u2 + ... + ann~un
Sea ~x un vector cualquiera de V. Tendrá unas coordenadas en la base S y
otras coordenadas en la base S 0 . Sean estas (x1 , x2 , ... xn ) y (x01 , x02 , ... x0n ) ,
respectivamente.
~x = x01~v1 + x02~v2 + ... + x0n~vn =
= x01 (a11 ~u1 +a12 ~u2 +...+a1n ~un )+x02 (a21 ~u1 +a22 ~u2 +...+a2n ~un )+...+x0n (an1 ~u1 +an2 ~u2 +...+ann ~un )
= (x01 a11 +x02 a21 +...+x0n an1 )~u1 +(x01 a12 +x02 a22 +...+x0n an2 )~u2 +...+(x01 a1n +x02 a2n +...+x0n ann )~un
Por tanto:
