Travaux dirigés - Fonctions
Chaque feuille de TD correspond à un cours en amphi et se décompose de la façon suivante :
– les pré-requis à connaître avant de s’attaquer aux exercices (et donc avant de venir en TD),
– les objectifs d’apprentissage des exercices présents dans la feuille,
– des exercices classiques qu’il convient de savoir faire après le TD,
– des exercices complémentaires qui peuvent remplacer ou compléter les exercices classiques.
À l’issue du TD, il est primordial de vérifier que les objectifs d’apprentissage ont bien été acquis et que les
exercices classiques ont été compris. Les exercices proposés en complément permettent de s’entraîner en dehors
du TD, seul ou en groupe, de façon à consolider les compétences acquises. Ils peuvent également être vus en TD et
remplacer un exercice classique lorsque l’enseignant trouve cela pertinent.
Il est aussi possible de s’exercer en travaillant sur des livres d’exercices disponibles à la Bibliothèque Univer-
sitaire. Les références présentes dans le polycopié de cours proposent en général un grand nombre d’exercices
corrigés.
Les exercices marqués par le symbole sont des exercices pour lesquels l’aspect raisonnement l’emporte sur
l’aspect calculatoire.
Il est inutile de lire ou d’apprendre la correction d’un exercice sans avoir pris le temps d’y réfléchir. Les cor-
rections présentes à la fin de chaque feuille de TD sont là pour vous permettre de vérifier vos résultats et vous
donner des idées de rédaction. Faites cependant attention au fait que les exercices ne sont pas tous corrigés de
façon détaillée. Il est donc parfois nécessaire d’enrichir le corrigé avec les détails manquants. Merci de signaler à
votre enseignant toute erreur que vous trouverez.
1
, 2
TD n°1
Pré-requis : Objectifs :
– pas de pré-requis particuliers – être capable de lire et de comprendre une assertion donnée à
l’aide de connecteurs logiques et de quantificateurs
– mener une démonstration de façon rigoureuse
Exercice 1
1. Écrire les tables de vérité des assertions (P ou Q ) et (non P =⇒ Q ).
2. En déduire un schéma de rédaction pour démontrer l’assertion (P ou Q ).
3. Montrer que : ∀ x ∈ R, x Ê 0 ou x2 > x3 .
Exercice 2
1. Écrire la table de vérité du “ou exclusif”.
2. Écrire la négation de P ⇒ Q et celle de (P et (Q ou R )).
3. Traduire les propositions suivantes dans le formalisme mathématique :
– Tout entier naturel est pair ou impair. – L’équation exp( x) = x possède une unique solution dans R.
4. Traduire les propositions suivantes dans le langage courant :
p p
– ∀ p ∈ Z, ∀ q ∈ N∗ , q 6= 2 – ∀ n, n0 ∈ N∗ , ∃ p, p0 ∈ N, q ∈ N∗ , q = pn et q = p0 n0 .
Exercice 3
a+ b
p
1. (Raisonnement direct) Soient a, b ∈ R+ . Montrer que si a É b alors a É 2 É b et a É ab É b.
2. (Disjonction par cas) Montrer que pour tout n ∈ N, n( n + 1) est divisible par 2.
3. (Contre-exemple) Est-ce que pour tout x ∈ R on a x < 2 ⇒ x2 < 4 ?
4. (Contraposée) Montrer que si n2 est impair, alors n est impair.
p
5. (Absurde) Soit n ∈ N∗ . Montrer que n2 + 1 n’est pas un entier.
n( n+1)
6. (Récurrence) Montrer que pour tout n Ê 1, 1 + 2 + · · · + n = 2 .
Compléments
Exercice 4
Soit P, Q, R des propositions. Montrer les propositions suivantes :
1. (non (P et Q )) ⇔ ((non P ) ou (non Q )),
2. ((P ou Q ) et R ) ⇔ ((P et R ) ou (Q et R )).
Exercice 5
1. Traduire dans le formalisme mathématique la proposition “0 n’admet pas d’inverse”.
2. Écrire la négation de cette proposition.
3. Montrer cette proposition.
Exercice 6.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 10n − 1 est un multiple de 3.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, si 10n + 1 est un multiple de 3 alors 10n+1 + 1 est un multiple
de 3. Que peut-on en déduire ?
, 3
Solution de l’exercice 1
1. Pour non P =⇒ Q On trouve la table de vérité suivante :
P V F V F
Q V V F F
non P F V F V
non P =⇒ Q V V V F
qui est la même table que celle de l’assertion (P ou Q ) vue en cours. On a donc l’équivalence
(P ou Q ) ⇐⇒ (non P =⇒ Q ).
2. Pour démontrer l’assertion (P ou Q ), on peut, utilisant l’équivalence précédente, écrire :
(a) Supposons (non P ).
(b) Montrons Q . + démonstration.
(c) Donc P ou Q .
3. On applique le schéma précédent avec P : “ x Ê 0” et Q :“ x2 > x3 ”.
Soit x ∈ R. Supposons que x < 0, alors par opérations x2 > 0 et 0 > x3 . D’où (transitivité de la relation d’ordre)
x2 > x3 .
Solution de l’exercice 2
1. On trouve la table de vérité suivante :
P V F V F
Q V V F F
P ou exclusif Q F V V F
2. La négation de P ⇒ Q est (P et non Q ) (il suffit de considérer les tables de vérité pour le voir). La négation
de (P et (Q ou R )) est (non P ou (non Q et non R )).
3. – ∀ n ∈ N, (∃ m ∈ N, n = 2 m) ou (∃ m0 ∈ N, n = 2 m0 + 1),
– ∃! x ∈ R, exp( x) = x.
p
4. – 2 n’est pas un nombre rationnel,
– Deux entiers naturels non nuls admettent un multiple commun.
Solution de l’exercice 3
p
1. On suppose a É b. Montrons que a É a+2 b É b et a É ab É b, c’est-à-dire montrons a É a+2 b É b puis montrons
p
a É ab É b.
Montrons a É a+2 b É b. Comme a É b, on a a = a+2 a É a+2 b É b+2 b = b.
p p p p p p p p
Et montrons a É ab É b. Comme a É b et a, b ∈ R+ , on a a = a a É a b = ab É b b = b.
p p
Donc a É a+2 b É b et a É ab É b et ainsi si a É b alors a É a+2 b É b et a É ab É b.
2. Soit n ∈ N. Montrons que n( n + 1) est divisible par 2. Nous distinguons deux cas.
Premier cas : supposons n pair. Alors il existe n0 ∈ N tel que n = 2 n0 et ainsi n( n + 1) = 2 n0 ( n + 1) est divisible
par 2.
Deuxième cas : supposons n impair. Alors il existe n0 ∈ N tel que n = 2 n0 + 1. Ainsi n( n + 1) = n(2 n0 + 1 + 1) =
2 n( n0 + 1) est divisible par 2.
Conclusion : dans tous les cas, n( n + 1) est divisible par 2.
3. Pour x = −3, on a x2 = 9 > 4 donc l’assertion x < 2 ⇒ x2 < 4 est fausse.
4. La contraposée de l’énoncé est : si n est pair, alors n2 est pair. Montrons que cette proposition est vraie.
Comme nous supposons que n est pair, il existe un entier k tel que n = 2 k. On a alors n2 = (2 k)2 = 4 k2 =
2 × (2 k2 ). Ainsi, n2 est pair et on a bien montré par contraposée que si n2 est impair, alors n est impair.
p p
5. Supposons par l’absurde que n2 + 1 ∈ N. Alors il existe m ∈ N tel que n2 + 1 = m. Ainsi, en élevant au carré,
on trouve n2 +1 = m2 . Comme m2 = n2 +1 > n2 , on a m > n. De la même façon, m2 = n2 +1 < n2 +2 n+1 = ( n+1)2
puisque n > 0. Donc m < n + 1.
p
Nous aboutissons à une contradiction. Donc n2 + 1 n’est pas un entier.
Chaque feuille de TD correspond à un cours en amphi et se décompose de la façon suivante :
– les pré-requis à connaître avant de s’attaquer aux exercices (et donc avant de venir en TD),
– les objectifs d’apprentissage des exercices présents dans la feuille,
– des exercices classiques qu’il convient de savoir faire après le TD,
– des exercices complémentaires qui peuvent remplacer ou compléter les exercices classiques.
À l’issue du TD, il est primordial de vérifier que les objectifs d’apprentissage ont bien été acquis et que les
exercices classiques ont été compris. Les exercices proposés en complément permettent de s’entraîner en dehors
du TD, seul ou en groupe, de façon à consolider les compétences acquises. Ils peuvent également être vus en TD et
remplacer un exercice classique lorsque l’enseignant trouve cela pertinent.
Il est aussi possible de s’exercer en travaillant sur des livres d’exercices disponibles à la Bibliothèque Univer-
sitaire. Les références présentes dans le polycopié de cours proposent en général un grand nombre d’exercices
corrigés.
Les exercices marqués par le symbole sont des exercices pour lesquels l’aspect raisonnement l’emporte sur
l’aspect calculatoire.
Il est inutile de lire ou d’apprendre la correction d’un exercice sans avoir pris le temps d’y réfléchir. Les cor-
rections présentes à la fin de chaque feuille de TD sont là pour vous permettre de vérifier vos résultats et vous
donner des idées de rédaction. Faites cependant attention au fait que les exercices ne sont pas tous corrigés de
façon détaillée. Il est donc parfois nécessaire d’enrichir le corrigé avec les détails manquants. Merci de signaler à
votre enseignant toute erreur que vous trouverez.
1
, 2
TD n°1
Pré-requis : Objectifs :
– pas de pré-requis particuliers – être capable de lire et de comprendre une assertion donnée à
l’aide de connecteurs logiques et de quantificateurs
– mener une démonstration de façon rigoureuse
Exercice 1
1. Écrire les tables de vérité des assertions (P ou Q ) et (non P =⇒ Q ).
2. En déduire un schéma de rédaction pour démontrer l’assertion (P ou Q ).
3. Montrer que : ∀ x ∈ R, x Ê 0 ou x2 > x3 .
Exercice 2
1. Écrire la table de vérité du “ou exclusif”.
2. Écrire la négation de P ⇒ Q et celle de (P et (Q ou R )).
3. Traduire les propositions suivantes dans le formalisme mathématique :
– Tout entier naturel est pair ou impair. – L’équation exp( x) = x possède une unique solution dans R.
4. Traduire les propositions suivantes dans le langage courant :
p p
– ∀ p ∈ Z, ∀ q ∈ N∗ , q 6= 2 – ∀ n, n0 ∈ N∗ , ∃ p, p0 ∈ N, q ∈ N∗ , q = pn et q = p0 n0 .
Exercice 3
a+ b
p
1. (Raisonnement direct) Soient a, b ∈ R+ . Montrer que si a É b alors a É 2 É b et a É ab É b.
2. (Disjonction par cas) Montrer que pour tout n ∈ N, n( n + 1) est divisible par 2.
3. (Contre-exemple) Est-ce que pour tout x ∈ R on a x < 2 ⇒ x2 < 4 ?
4. (Contraposée) Montrer que si n2 est impair, alors n est impair.
p
5. (Absurde) Soit n ∈ N∗ . Montrer que n2 + 1 n’est pas un entier.
n( n+1)
6. (Récurrence) Montrer que pour tout n Ê 1, 1 + 2 + · · · + n = 2 .
Compléments
Exercice 4
Soit P, Q, R des propositions. Montrer les propositions suivantes :
1. (non (P et Q )) ⇔ ((non P ) ou (non Q )),
2. ((P ou Q ) et R ) ⇔ ((P et R ) ou (Q et R )).
Exercice 5
1. Traduire dans le formalisme mathématique la proposition “0 n’admet pas d’inverse”.
2. Écrire la négation de cette proposition.
3. Montrer cette proposition.
Exercice 6.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 10n − 1 est un multiple de 3.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, si 10n + 1 est un multiple de 3 alors 10n+1 + 1 est un multiple
de 3. Que peut-on en déduire ?
, 3
Solution de l’exercice 1
1. Pour non P =⇒ Q On trouve la table de vérité suivante :
P V F V F
Q V V F F
non P F V F V
non P =⇒ Q V V V F
qui est la même table que celle de l’assertion (P ou Q ) vue en cours. On a donc l’équivalence
(P ou Q ) ⇐⇒ (non P =⇒ Q ).
2. Pour démontrer l’assertion (P ou Q ), on peut, utilisant l’équivalence précédente, écrire :
(a) Supposons (non P ).
(b) Montrons Q . + démonstration.
(c) Donc P ou Q .
3. On applique le schéma précédent avec P : “ x Ê 0” et Q :“ x2 > x3 ”.
Soit x ∈ R. Supposons que x < 0, alors par opérations x2 > 0 et 0 > x3 . D’où (transitivité de la relation d’ordre)
x2 > x3 .
Solution de l’exercice 2
1. On trouve la table de vérité suivante :
P V F V F
Q V V F F
P ou exclusif Q F V V F
2. La négation de P ⇒ Q est (P et non Q ) (il suffit de considérer les tables de vérité pour le voir). La négation
de (P et (Q ou R )) est (non P ou (non Q et non R )).
3. – ∀ n ∈ N, (∃ m ∈ N, n = 2 m) ou (∃ m0 ∈ N, n = 2 m0 + 1),
– ∃! x ∈ R, exp( x) = x.
p
4. – 2 n’est pas un nombre rationnel,
– Deux entiers naturels non nuls admettent un multiple commun.
Solution de l’exercice 3
p
1. On suppose a É b. Montrons que a É a+2 b É b et a É ab É b, c’est-à-dire montrons a É a+2 b É b puis montrons
p
a É ab É b.
Montrons a É a+2 b É b. Comme a É b, on a a = a+2 a É a+2 b É b+2 b = b.
p p p p p p p p
Et montrons a É ab É b. Comme a É b et a, b ∈ R+ , on a a = a a É a b = ab É b b = b.
p p
Donc a É a+2 b É b et a É ab É b et ainsi si a É b alors a É a+2 b É b et a É ab É b.
2. Soit n ∈ N. Montrons que n( n + 1) est divisible par 2. Nous distinguons deux cas.
Premier cas : supposons n pair. Alors il existe n0 ∈ N tel que n = 2 n0 et ainsi n( n + 1) = 2 n0 ( n + 1) est divisible
par 2.
Deuxième cas : supposons n impair. Alors il existe n0 ∈ N tel que n = 2 n0 + 1. Ainsi n( n + 1) = n(2 n0 + 1 + 1) =
2 n( n0 + 1) est divisible par 2.
Conclusion : dans tous les cas, n( n + 1) est divisible par 2.
3. Pour x = −3, on a x2 = 9 > 4 donc l’assertion x < 2 ⇒ x2 < 4 est fausse.
4. La contraposée de l’énoncé est : si n est pair, alors n2 est pair. Montrons que cette proposition est vraie.
Comme nous supposons que n est pair, il existe un entier k tel que n = 2 k. On a alors n2 = (2 k)2 = 4 k2 =
2 × (2 k2 ). Ainsi, n2 est pair et on a bien montré par contraposée que si n2 est impair, alors n est impair.
p p
5. Supposons par l’absurde que n2 + 1 ∈ N. Alors il existe m ∈ N tel que n2 + 1 = m. Ainsi, en élevant au carré,
on trouve n2 +1 = m2 . Comme m2 = n2 +1 > n2 , on a m > n. De la même façon, m2 = n2 +1 < n2 +2 n+1 = ( n+1)2
puisque n > 0. Donc m < n + 1.
p
Nous aboutissons à une contradiction. Donc n2 + 1 n’est pas un entier.
